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例談應用幾何畫板編寫動點幾何的綜合題

2018-01-02 01:14:22劉維兵
數(shù)學學習與研究 2017年18期
關(guān)鍵詞:幾何畫板

劉維兵

【摘要】動點幾何問題一直是中考的熱點,突破這類試題的關(guān)鍵在于教師會應用幾何畫板編寫動點幾何的綜合題,用案例的形式說明編寫試題的四個步驟——畫基本圖、增添動點、尋找特例、取舍試題,以啟迪他人.

【關(guān)鍵詞】動點幾何;幾何畫板;編寫試題

動點幾何問題一直是中考的熱點,這類問題綜合性強、題目靈活多變、難度較大,學生常感到困難甚至無從入手,問題出現(xiàn)在學生身上,但問題的根源卻在教師,本文結(jié)合自己教學案例來介紹這類問題的求解策略——畫基本圖、增添動點、尋找特例、取舍試題,供同仁們學習參考.

一、一般選擇特殊的圖形入手,這樣可以避免繁難的計算

已知一個直角三角形紙片ABC,其中∠ACB=90°,AC=4,BC=3.

畫圖:如圖1所示.

畫出線段AC=4:應用“線段直尺工具”畫出線段AC,選中AC應用“度量”中“長度”度量AC,選中AC長度單擊右鍵,選中“屬性”下“數(shù)值”中“精確度”修改為“十分之一”,應用“移動箭頭工具”單擊A點,再應用鍵盤中箭頭鍵左右調(diào)整,使AC=4.

畫出線段BC=3:應用“移動箭頭工具”單擊C點和線段AC,應用“構(gòu)造”中“垂線”做出垂線,應用“點工具”在直線上取一點B使BC=3,選中直線BC應用“顯示”中“隱藏對象”.

畫出線段AB:應用“線段直尺工具”連接AB兩點,就得到直角三角形ABC.

二、應用幾何畫板中“變換”進行幾何作圖

點E,F(xiàn)分別是直角三角形紙片ABC中AC,AB邊上點,連接EF,將紙片中∠BAC沿EF折疊,折疊后點A落在直角三角形紙片ABC邊上的點D處.

思考:點A落在直角三角形紙片ABC邊上可能有三種情況:分別落在AB,AC,BC.

畫圖:點A落在AB上,如圖2所示,點A落在AC上,如圖3所示,點A落BC在上,如圖4所示.

應用“點工具”在邊上取一點D,應用“線段直尺工具”連接AD兩點,應用“構(gòu)造”中“中點”做出中點,選中線段AD和中點應用“構(gòu)造”中“垂線”做出垂線分別交AB,AC于E,F(xiàn),連接DE,DF,EF.

三、拖動動點,觀察點的變化,尋找特殊位置,思考關(guān)聯(lián)知識

如圖2所示,點A落在AB上,當F為AC的中點時,EF的長由三角形相似求出.

如圖3所示,點A落在AC上,當F為AC的中點時,EF的長度由中位線求出.

如圖4所示,點A落在BC上,當DE∥AC時,四邊形AEDF是一個菱形,考查菱形的知識.

如圖5所示,點A落在線段BC上,AF的長是在一定范圍變化的,考查求取值范圍的方法.

點A落在直線BC上,讓學生學會分類思考:當DB=1,點D可能在線段BC上,如圖5所示,要運用全等三角形的知識,也可能在CB延長線上,如圖6所示,要運用勾股定律解決.

四、根據(jù)教學內(nèi)容,按照由易到難,合理取舍題目,適當增加逆向思考試題

如圖5所示,試題選擇折疊后點A落在直線CB上的點D處.

(1)當D運動到DE∥AC時,試判斷四邊形AEDF的形狀,并證明你的結(jié)論;

(2)當DB=1時,求AF的長;

(3)當D在BC邊上時,求AF的取值范圍.

解析(1)如圖4所示,當D運動到DE∥AC時,四邊形AEDF為菱形.

由題意得AE=ED,AF=DF,∠AFE=∠DFE.

由DE∥AC,得∠AFE=∠DEF,∠DEF=∠DFE,DE=DF.

∴AE=ED=DF=AF,∴四邊形AEDF為菱形.

設計目的:讓學生掌握平行線的性質(zhì)、三角形全等、等腰三角形的判定、菱形的判定等知識,并會靈活應用.

(2)如圖5所示,當DB在線段B上.

∵DC=3-1=2,設AF=DF=x,CF=4-x,

在Rt△CDF中,22+(4-x)2=x2,解得x=2.5=AF.

如圖6所示,當DB在BC的延長線上.

∵DC=4=AC,∠A=∠D,DE=AE,

∴△CDE≌△CAE,

由折疊得△FDE≌△FAE得CE=EF,AF=4.

設計目的:讓學生掌握三角形全等、勾股定律等知識,會運用勾股定律列方程求線段的長,讓學生學會分類思考的數(shù)學思想方法.

(3)如圖5所示,設AF=DF=y,CF=4-y,DC=x.

在Rt△CDF中,x2+(4-y)2=y2,y=0.125(x2+16).

∵0≤x≤3,y隨x增大而增大,

∴當x=0時,AF=2;當x=3時,AF=3.125,

∴2≤AF≤3.125.

設計目的:讓學生掌握求取值范圍可以轉(zhuǎn)化成函數(shù)來求.

逆向變式訓練設△DFG的面積為S1,△ACD的面積為S2,p=S1∶S2,當516≤p≤13時,求CD的變化范圍.

設計目的:通過逆向思維訓練,讓學生靈活地掌握求取值范圍的常用方法:幾何特殊值法、函數(shù)最值法.

此題巧妙地利用幾何畫板把幾何多種情況集中到一起,做到化繁為簡,轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形,從變換和運動的角度來研究幾何圖形,通過幾何畫板中“變換”“構(gòu)造”等研究手段和方法,來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化,在解題過程中滲透空間觀念和合情推理,培養(yǎng)學生的分析、解決問題的能力、空間觀念和推理能力.

【參考文獻】

[1]芮炳輝.幾何畫板在高中數(shù)學教學中的應用例談[J].中國教育技術(shù)裝備,2011(19):145.

[2]張建軍,陳唐明.巧用幾何畫板開展數(shù)學實驗教學[J].中國現(xiàn)代教育裝備,2011(10):36-38.

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