姜銳紅

(上海電機(jī)學(xué)院 機(jī)械學(xué)院，上海 201306)

基于包絡(luò)定位的譜峭度方法在滾動軸承故障診斷中的應(yīng)用

姜銳紅

(上海電機(jī)學(xué)院 機(jī)械學(xué)院，上海 201306)

短時傅里葉變換(STFT)譜峭度(SK)(STFT-SK)方法將信號劃分為任意頻率中心與帶寬組合的窄帶，峭度最大的窄帶信號可以精確定位滾動軸承故障信息的最優(yōu)頻帶。然而，巨大的計算量限制了該方法的實際應(yīng)用。根據(jù)滾動軸承故障調(diào)幅信號的頻譜特性，提出包絡(luò)定位頻率中心的譜峭度方法(EL-SK)。先由滾動軸承故障信號頻譜多次包絡(luò)的極值確定窄帶中心頻率，再以一定步長變換頻域窗寬，加窗截取頻譜窄帶；然后，對所截窄帶進(jìn)行傅里葉反變換后計算信號的峭度值，由最大峭度值確定最佳窄帶的頻率中心與寬度；最后，對最佳窄帶信號做包絡(luò)分析，即可提取軸承故障特征。利用STFT-SK和EL-SK兩種方法對實測滾動軸承故障的診斷對比分析，驗證了EL-SK方法的有效性與實用性。

短時傅里葉變換譜峭度； 包絡(luò)定位譜峭度； 滾動軸承； 故障診斷

滾動軸承是各類旋轉(zhuǎn)機(jī)械中使用最廣泛的零部件之一。由于滾動軸承使用壽命離散性大[1]，定期更換的設(shè)備維護(hù)方式顯然會降低對設(shè)備的有效利用度，同時也難確保設(shè)備的安全使用。因此，對滾動軸承狀態(tài)的正確監(jiān)測與診斷極其重要。共振解調(diào)是識別滾動軸承故障的有效方法[2-4]，而合理選擇最優(yōu)共振解調(diào)窄帶信號是該方法的關(guān)鍵[5-8]。短時傅里葉變換(Shot-time Fourier Transform，STFT)譜峭度(Spectral Kurtosis，SK)方法(STFT-SK)以頻率中心與帶寬為變量，兩參數(shù)的精細(xì)劃分為自適應(yīng)精確定位包含滾動軸承故障信息最強(qiáng)的最優(yōu)窄帶信號提供了可能途徑[9-10]。然而，巨大的計算量限制了該方法的實際應(yīng)用[11]。在STFT-SK方法的基礎(chǔ)上，改進(jìn)的Protrugram方法根據(jù)滾動軸承故障解調(diào)特征及故障頻率值，預(yù)先給定窄帶寬度，再以定步長移動窗函數(shù)，計算各窄帶信號包絡(luò)譜的峭度值，以峭度最大的窄帶信號確定最佳窄帶中心頻率[12]。該方法雖然大大降低了計算量，但因人為給定帶寬而喪失了帶寬自適應(yīng)性。本文根據(jù)滾動軸承故障調(diào)幅信號所表現(xiàn)出的頻譜特性，提出一種自適應(yīng)定位窄帶的方法。通過對故障信號頻譜多次包絡(luò)，以包絡(luò)極值確定窄帶中心頻率，再以定步長改變窗寬截取窄帶，由窄帶傅里葉反變換信號的峭度最大值確定最佳帶寬。頻率中心與帶寬參數(shù)分兩步自適應(yīng)定位，降低了計算量，提高了實用性。

1 STFT-SK

STFT是將SK理論聯(lián)系到實際應(yīng)用中的有效途徑[9-10]。假設(shè)連續(xù)信號x(t)的離散采樣為x(n)，采樣周期為1。給定窗寬為Nw的分析窗w(n)以步長P移動，則信號x(n)的STFT為

(1)

式中，f為頻率變量；e-j2πnf為傅里葉變換因子；m為窗函數(shù)移動數(shù)；Xw(mP,f)的偶階經(jīng)驗譜為

(2)

文獻(xiàn)[9]中以Wold-Cramér分解條件非平穩(wěn)過程定義并解釋了SK，將條件非平穩(wěn)過程的SK定義為能量歸一化4階譜累積量，即

(3)

式中，S4X(f)和S2X(f)分別為窄帶信號頻譜的4階與2階瞬時矩，在STFT與SK之間搭起了橋梁。

式(3)是一種時頻估計，其中，Xw(kP,f)是信號x(n)以f為頻率中心的一定帶寬內(nèi)濾波得到的復(fù)解調(diào)[9]。因此，基于STFT的SK是對Xw(kP,f)包絡(luò)的能量時間分布測量。由于SK受所加窗寬的影響，最佳頻帶的確定需要對所有可能的窗寬作STFT計算，最終得到的三維Kurtogram是以Nw和f為二元變量的函數(shù)[10]。完成這個過程，對于長度為N的信號需要[N3/(2P)]lbN次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算加上(N3/P)lbN次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算量。如此龐大的計算量使得STFT-SK的實用性受到限制。

2 EL-SK方法

2.1 EL-SK定義

Wold-Cramér分解實際上是濾波器組分解[9]，條件非平穩(wěn)過程或信號x(t)可以視為經(jīng)一系列無限窄的頻帶濾波結(jié)果之和。通過對信號頻域的加窗傅里葉反變換可以實現(xiàn)窄帶濾波。若信號x(t)的傅里葉變換為

(4)

則對應(yīng)的窄帶時域信號為

xw(t)=IFFT(X(f)wNw)=

(5)

式中，wNw為截斷頻譜所加的窗函數(shù)；窗函數(shù)寬度Nw為變量；IFFT為傅里葉反變換運(yùn)算符。于是，窄帶信號的偶階瞬時矩為

(6)

將式(6)代入式(3)得到SK的另一種定義形式，為

(7)

2.2 滾動軸承故障的調(diào)幅模型

軸承早期故障響應(yīng)可視為彈簧-質(zhì)量-阻尼單自由度系統(tǒng)[13]，軸承系統(tǒng)的加速度頻響為

(8)

式中，fC為軸承系統(tǒng)的共振頻率；F0為輸入的外力幅值；k為軸承系統(tǒng)剛度；ζ為阻尼系數(shù)。

軸承故障信號可視為一系列這樣的調(diào)幅信號迭加而成。結(jié)合滾動軸承故障沖擊發(fā)生時刻具有因滑動引起的隨機(jī)不確定性，以及幅值調(diào)制因素，滾動軸承振動信號模型為[13]

x(t)=A(t)·

(9)

式中，A(t)為調(diào)制函數(shù)；T為故障沖擊發(fā)生的周期；IFFT(Xa(f))為沖擊頻響經(jīng)傅里葉反變換的時域波；U(t-(kT+ΔT))為沖擊時刻的階躍函數(shù)；ΔT為故障沖擊時刻的隨機(jī)波動。

2.3 中心頻率定位

離散信號x(n)的傅里葉變換為

(10)

對于調(diào)幅信號，有

(11)

式中，fb為調(diào)制頻率；fS為采樣頻率；m為調(diào)制度；A0為信號振動幅值；θ0為載波的初始相位；θm為調(diào)制波的初始相位。

將式(11)代入式(10)，得

XAM(f)=A0[δ(f+fC)e-jθ0+δ(f-fC)ejθ0]+

δ(f-fC-fb)ejθm]ejθ0

(12)

由式(12)可知，載波頻率幅值A(chǔ)0是邊帶頻率幅值mA0/2的2倍。通常，m<1[13]，調(diào)幅信號的頻譜有如下特點：以幅值較大的載波頻率為中心，兩側(cè)對稱分布有幅值較小的調(diào)制頻率譜線。頻譜包絡(luò)線的輪廓包含了信號幅值變化趨勢以及極值點位置等信息。因此，載波頻率位置可通過信號頻譜包絡(luò)線的極值點確定。包絡(luò)線為

Xen=fitsp(maxlo(abs(X(f))))

(13)

式中，abs(·)為絕對值算子；maxlo(·)為局部極大值算子；fitsp(·)為樣條擬合算子。最終通過包絡(luò)線的局部極值即可確定中心載波頻率值，即

(14)

以如下包含3個載波頻率的調(diào)幅仿真信號為例：

x(t)=[1+0.5sin(2πfbt)]sin(2πfC1t)+

(1+sin(2πfbt))sin(2πfC2t)+

(1+0.8sin(2πfbt))sin(2πfC3t)

其中，fb=90 Hz；3個載波頻率為fC1=2.0 kHz，fC2=2.9 kHz，fC3=3.5 kHz。上述加性調(diào)幅信號的波形及其頻譜如圖1所示。在頻譜圖中，3個載波頻率幅值明顯大于邊帶頻率幅值。頻譜包絡(luò)線的3個極大值點恰好為載波頻率值。

2.4 窄帶帶寬確定

以下步驟可實現(xiàn)最佳窄帶帶寬的搜索：

(1) 以包絡(luò)極值點對應(yīng)的頻率值為頻帶中心(載波頻率)，在頻率正、負(fù)半軸上對稱加窗函數(shù)截取頻譜，再對所截頻帶作傅里葉反變換，即得到相應(yīng)的窄帶信號為

(15)

(a) 時域波

(b) 頻譜包絡(luò)

(2) 依據(jù)式(7)計算窄帶信號的峭度為K(xw)=

(16)

(3) 由步驟(1)中確定的頻率中心向左、右兩側(cè)逐點對稱加大窗寬，重復(fù)步驟(1)、(2)，得到全部可能窗寬截取的窄帶信號峭度。窗寬最大值為Nf/2，其中，Nf為正頻率最大值(即采樣頻率的1/2)對應(yīng)的點數(shù)。

(4) 由譜峭度值最大的窄帶確定帶寬。

因此，理論上，這種包絡(luò)定位最優(yōu)窄帶的方法需要[N2/(2P)]lbN次復(fù)數(shù)乘法以及(N2/P)lbN次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算，其運(yùn)算量為STFT-SK方法的1/N倍。

3 診斷實例

為檢驗EL-SK方法的有效性，將STFT-SK法與EL-SK方法分別應(yīng)用于滾動軸承內(nèi)圈實測故障的診斷，并將診斷結(jié)果進(jìn)行對比分析。

實測軸承故障信號來自美國凱斯西儲大學(xué)軸承中心網(wǎng)站[14]。實驗故障模擬采用6205-2RS JEM SKF型號軸承，故障信號在1 797 r/min的軸承轉(zhuǎn)速工況下以12 kHz的采樣頻率測得。經(jīng)計算得到轉(zhuǎn)軸頻率為29.95 Hz，保持架公轉(zhuǎn)頻率為11.9 Hz，內(nèi)圈故障頻率為162.2 Hz。

實測信號的時域波形及頻譜如圖2所示。由頻譜圖可以初步判斷此軸承故障激發(fā)的共振頻率不止一個，其中在2.5～3.0 kHz以及3.6 kHz附近分別為能量明顯集中的區(qū)域，且兩個區(qū)域的頻率幅值大體呈現(xiàn)中間高、兩邊低的趨勢，這恰是調(diào)幅信號的頻譜特征，因此，可預(yù)測這是兩個共振頻率區(qū)。此外，還有幾處區(qū)域能量較低，但頻率幅值呈現(xiàn)中間高、兩側(cè)低的趨勢，也是軸承系統(tǒng)固有頻率可能存在的位置。具體哪個頻帶的信號最能夠反映滾動軸承故障，還需要做進(jìn)一步分析。

(a) 時域波

(b) 頻譜

4.1 EL-SK方法診斷

實際的軸承故障信號載波成分以及調(diào)制信號均不一定是可完全單一確定的調(diào)制關(guān)系，信號的頻譜往往較仿真信號復(fù)雜得多，需要對頻譜做多次包絡(luò)，方能夠確定載波頻率位置。如圖3所示為實測內(nèi)圈故障信號頻譜經(jīng)4次包絡(luò)后的結(jié)果。

由圖3可見，包絡(luò)形狀已基本勾勒出頻譜幅值輪廓，可較好地將頻譜劃分為一些中心高、兩側(cè)較低的區(qū)域。圖中，確定了7個幅值較大的極值點，表1給出了包絡(luò)定位的各窄帶信號峭度。其中，中心頻率2 805.5 Hz確定的頻帶峭度值最大，因此，該窄帶信號為目標(biāo)最優(yōu)頻帶。

圖3 原始信號頻譜及其4次包絡(luò)

表1 包絡(luò)定位的各窄帶信號峭度

圖4所示為最優(yōu)窄帶信號的時域波形及包絡(luò)譜圖。

(a) 時域波

(b) 包絡(luò)譜

由圖4可見，時域波形圖的沖擊現(xiàn)象在該窄帶中較原始信號表現(xiàn)得更加明顯，故峭度值顯著提高。在包絡(luò)譜中，162.6 Hz的頻率譜值與內(nèi)圈故障特征頻率162.2 Hz的非常接近，此窄帶信號很好地診斷出軸承故障；此外，包絡(luò)譜中29.3 Hz的譜值與11.72 Hz的譜值也明顯突出，與軸承轉(zhuǎn)軸頻率29.95 Hz以及保持架公轉(zhuǎn)頻率11.9 Hz相吻合。其余較為突出的譜線分別為這3個特征頻率的倍頻及三者相互調(diào)制的結(jié)果，軸承內(nèi)圈故障的所有特征在該窄帶信號中得到全面、清晰的體現(xiàn)。

4.2 STFT-SK方法診斷

理論上，由全部可能窗寬得到的STFT-SK圖能夠精確定位包含滾動軸承故障信息最強(qiáng)的窄帶。因此，本文對上述內(nèi)圈故障信號做STFT-SK分析，以便檢驗EL-SK方法的實用性。

由于STFT-SK方法巨大的計算量令人難以忍受。此處僅對Nw=9～81(帶寬范圍為148.15～1333.33 Hz，該窗寬范圍足以捕捉到上述內(nèi)圈故障信號的特征),并以擴(kuò)大P=8(帶寬為131.7 Hz)的10個窗來計算，得到STFT-SK方法的譜峭度如圖5所示。由圖可見，Nw=9的譜峭度曲線由于帶寬小于軸承故障特征頻率，無法將故障信息完整包含在內(nèi)，故峭度峰值并不明顯；而Nw=17(帶寬為279.8 Hz)的譜峭度線雖然有2處極大值，但與其余Nw下的峰值趨勢不一致，尤其是在4 887 Hz處的極大值，其在其他窗寬峭度線上的峭度值幾乎為極小值，這與Nw=17所對應(yīng)的頻帶仍然較窄有關(guān)；Nw=25(帶寬480 Hz)的峭度線與其余較大窗寬的峭度線趨勢一致，且峰值最大。因此，以Nw=25的峭度線最大值對應(yīng)的頻率2 630.6 Hz為中心頻率，分析該窄帶信號。

圖5 故障信號的STFT-SK

圖6所示為得到最佳窄帶信號及其包絡(luò)譜。由圖可見，該窄帶包絡(luò)譜圖與圖4的EL-SK最優(yōu)窄帶包絡(luò)譜圖基本一致，時域波形表現(xiàn)為明顯的周期沖擊，軸承的固有特征頻率軸轉(zhuǎn)頻率與保持架公轉(zhuǎn)頻率，以及內(nèi)圈故障特征頻率均表現(xiàn)突出。

表2給出了STFT-SK方法和EL-SK方法診斷實驗結(jié)果比較。實驗中，計算時間對應(yīng)的信號采樣長度為2 048，使用TOSHIBA Satellite U800型筆記本電腦，CPU為Intel(R) Core(TM) i3-3217U 1.80 GHz，RAM為4.00 GB。由表可見，STFT-SK方法確定的窄帶中心頻率為2 631 Hz，與EL-SK方法定位的中心頻率2 808.5 Hz有些偏差，但EL-SK方法確定的帶寬523.0 Hz略高于STFT-SK方法確定的帶寬 480 Hz，故可以認(rèn)為這兩種方法確定的最佳窄帶基本吻合。此外，雖然STFT-SK方法診斷的故障特征頻率幅值略高，而EL-SK方法診斷的故障特征頻率幅值略低，但兩種方法的診斷辨別度不相上下，最重要的是EL-SK方法計算所用時間僅為1.5 s，是STFT-SK方法用時的0.16%倍。因此，EL-SK方法對滾動軸承故障診斷具有一定的實用性。

(a) 時域波

(b) 包絡(luò)譜

表2 STFT-SK方法和EL-SK方法診斷實驗結(jié)果比較

4 結(jié) 語

本文針對STFT-SK方法同時盲識別頻帶中心與帶寬的巨大計算量局限性，提出分步定位頻率中心與窄帶帶寬的EL-SK方法。該方法理論計算量為STFT-SK方法的1/N倍。通過兩種方法對滾動軸承內(nèi)圈故障實測信號的診斷分析及性能對比，驗證了EL-SK方法對滾動軸承故障診斷的有效性與實用性。文中，EL-SK方法所使用的窗函數(shù)均為矩形窗，故窗函數(shù)變化對診斷結(jié)果的影響需要進(jìn)一步研究。另外，包絡(luò)定位頻率中心時，對信號頻譜的包絡(luò)次數(shù)確定如何實現(xiàn)自適應(yīng)識別，也是今后需要完成的工作。

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Application of Spectral Kurtosis Method Based on Envelope Location to Fault Diagnosis of Rolling Bearings

JIANGRuihong

(School of Mechanical Engineering, Shanghai Dianji University, Shanghai 201306, China)

The spectral kurtosis method based on short-time Fourier transform (STFT-SK) divides a signal to a narrow band with combination of an arbitrary frequency center and a bandwidth. The narrowband signal with maximum kurtosis can accurately locate the optimal frequency band containing the strongest rolling bearing fault information. However, STFT-SK is impractical due to huge computation. According to the spectral characteristic of the rolling bearing fault, which is an amplitude modulation signal, a method of spectral kurtosis based on the envelope locating frequency center is proposed. The narrowband center frequency is confirmed by extrema of the multiple-envelope spectrum of the rolling bearing fault signal. The narrowband spectrum is then extracted by windows with fixed width step. A narrowband signal is obtained with inverse Fourier transform. Kurtosis of the narrowband signal is calculated, and the optimal bandwidth determined with the maximum kurtosis. The fault feature of the rolling bearing is extracted by an envelope spectrum analysis for the best narrowband signal. Availability and practicality of the EL-SK method are validated in actual fault diagnosis of rolling bearings with both the STFT-SK and EL-SK methods.

short-time Fourier transform-spectral kurtosis (STFT-SK); envelop locating-spectral kurtosis (EL-SK); rolling bearing; fault diagnosis

2017 -10 -30

國家自然科學(xué)基金面上項目資助(51575331)；國家自然科學(xué)青年基金項目資助(61603238)；上海高校青年教師培養(yǎng)計劃項目資助(A1-5701-16-014-07)

姜銳紅(1973-)，女，講師，博士，主要研究方向為機(jī)電設(shè)備故障診斷，E-mail：jiangruihong2@163.com

2095 - 0020(2017)06 -0311 - 06

TH 133.33； TP 13

A