沈作翔

【摘要】 導(dǎo)數(shù)是微積分中的一個(gè)重要概念，能夠大大簡(jiǎn)化解不等式及方程的步驟，在高中數(shù)學(xué)中占有很重要的地位，新課改中要求學(xué)生能夠熟練掌握導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)及應(yīng)用.在此背景下，本文對(duì)導(dǎo)數(shù)解題方法進(jìn)行了相關(guān)探究，希望對(duì)大家有所幫助.

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學(xué);導(dǎo)數(shù)法;解題應(yīng)用

在歷年高考試卷中，導(dǎo)數(shù)占據(jù)著非常大比例的分?jǐn)?shù)，命題人通常將導(dǎo)數(shù)與不等式、函數(shù)和生活實(shí)際問題相結(jié)合，在試卷中呈現(xiàn)不同難度的試題，從而考查學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的綜合能力.

一、鞏固基礎(chǔ)，把握概念

基礎(chǔ)知識(shí)是綜合能力的前提，在授課過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生了解導(dǎo)數(shù)的概念及其在某些運(yùn)用中的背景（如，加速度、瞬時(shí)速度、光滑曲線的斜率等），使他們熟記導(dǎo)數(shù)的基本公式，掌握和、差、積、商的求導(dǎo)法則，理解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.在學(xué)習(xí)中，學(xué)生要能夠把握函數(shù)在一點(diǎn)處的定義，牢記導(dǎo)數(shù)的幾何意義.只有在理解概念的基礎(chǔ)之上，通過深挖和外延導(dǎo)數(shù)的概念，才能鞏固自身的基礎(chǔ)知識(shí)，進(jìn)而順利拿到該拿的基礎(chǔ)分?jǐn)?shù)，最終取得理想的成績(jī).

以下面這道習(xí)題為例：

例1 ??已知函數(shù)f（x）=-x3+ax2-4在x=2處取得極值，若m，n∈[-1，1]，則f（m）+f′（n）的最小值為 .

分析 ?∵f′（x）=-3x2+2ax，

函數(shù)f（x）=-x3+ax2-4在x=2處取得極值.

∴-12+4a=0，

解得a=3，∴f′（x）=-3x2+6x，

∴n∈[-1，1]時(shí)，f′（n）=-3n2+6n，當(dāng)n=-1時(shí)，f′（n）最小，最小為-9.

當(dāng)m∈[-1，1]時(shí)，f（m）=-m3+3m2-4，

f′（m）=-3m2+6m，

令f′（m）=0得m=0，m=2，

所以m=0時(shí)，f（m）最小為-4，

故f（m）+f′（n）的最小值為-9+（-4）=-13.

本題是由一道選擇題改編而成，過程較為簡(jiǎn)單，學(xué)生在考試時(shí)，需要牢牢把握住這類分?jǐn)?shù).

二、全面分析，求解函數(shù)單調(diào)性

在試題中，命題人利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性，是近年來命題的熱點(diǎn)，其中由單調(diào)性證明不等式是綜合試題中的一個(gè)難點(diǎn).教師可以著重講授函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，指導(dǎo)學(xué)生能夠靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來求取極值和最值，在中學(xué)范圍內(nèi)，所涉及求導(dǎo)問題的函數(shù)都是可導(dǎo)函數(shù)，因此，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)利器.在做題過程中，學(xué)生可以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)對(duì)試題進(jìn)行全面分析，從而提升解決函數(shù)單調(diào)性的能力.單調(diào)性的題目在試卷中屬于中等難度，學(xué)生要想取得理想的成績(jī)，就要牢牢抓住這部分的分?jǐn)?shù).

三、提升能力，解決應(yīng)用問題

在綜合試題中，命題人常常將不等式、方程解綜合起來，整體考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.在此背景下，教師傳授學(xué)生導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容，提升他們解應(yīng)用題的能力，使其通過仔細(xì)審題抓住題目的本質(zhì)，理解題干材料中每句話的意思，解答綜合性的試題.學(xué)生要在理解題目的基礎(chǔ)上，認(rèn)真分析題干的要求，正確選擇合理的解題方法，從而快速解決問題，多爭(zhēng)取這部分難度較高的分?jǐn)?shù).

例2 ??（2016年江蘇高考卷）現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1（如右圖所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的四倍.

（1）若AB=6 m，PO1=2 m，則倉庫的容積為多少？

（2）若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6 m，則當(dāng)PO1為多少時(shí)，倉庫的容積最大？

這道題是考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，體現(xiàn)出一種較高的命題水準(zhǔn)，需要學(xué)生綜合運(yùn)用立體幾何中的棱錐、棱柱體積及轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想.

分析 ?（1）由正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的四倍，可得PO1=2 m時(shí)，O1O=8 m，進(jìn)而可得倉庫的容積;

（2） 設(shè)PO1=x m，則O1O=8 m=4 m，A1O1= 36-x2 ?m ，A1B1= 2? 36-x2 ?m，代入體積公式，則可以求出容積的相關(guān)表達(dá)式，從而利用導(dǎo)數(shù)的方法，取得最大值.

總之，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)重視導(dǎo)數(shù)的教學(xué)工作，通過講練結(jié)合的方式，規(guī)范學(xué)生的答題步驟，爭(zhēng)取將基礎(chǔ)和中等難度的試題分?jǐn)?shù)拿到手，“跳一跳”拿到拔高的分?jǐn)?shù)，從而取得較好的考試成績(jī)，最終進(jìn)入理想的高校進(jìn)行深造.

【參考文獻(xiàn)】

[1]張雨桐.芻議高中數(shù)學(xué)中的立體幾何解題技巧[J].科技風(fēng)，2017（4）：30.

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