徐佳梅

[摘? 要] 著眼于學(xué)生認(rèn)知與思維、已有方法與經(jīng)驗(yàn)、經(jīng)歷等學(xué)習(xí)起點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì)與教學(xué)，能更加充分地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性與學(xué)習(xí)探究的熱情，因此，教師在具體教學(xué)中應(yīng)不時(shí)關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，并善于在學(xué)生起點(diǎn)處進(jìn)行各種有意義的設(shè)計(jì)與落實(shí).

[關(guān)鍵詞] 起點(diǎn);認(rèn)知;思維;方法;經(jīng)驗(yàn);經(jīng)歷;有效教學(xué)

大多數(shù)教師在平時(shí)的教學(xué)中都會(huì)根據(jù)自己預(yù)先準(zhǔn)備的教案設(shè)計(jì)按部就班地完成課堂教學(xué)，教學(xué)目標(biāo)也尤其現(xiàn)實(shí)地僅僅圍繞預(yù)設(shè)目標(biāo)，這種嚴(yán)重忽略學(xué)生主動(dòng)性與創(chuàng)造性的機(jī)械化教學(xué)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展極為不利. 數(shù)學(xué)是思維的體操，在課堂教學(xué)中注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，才是數(shù)學(xué)教學(xué)最應(yīng)該關(guān)注的內(nèi)容. 因此，教師在平時(shí)的課堂教學(xué)中不僅不能忽視學(xué)生這一學(xué)習(xí)主體，還應(yīng)在具體的教學(xué)中將學(xué)生主體凸顯出來，以促進(jìn)他們數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面發(fā)展. 下面，筆者用具體例題表達(dá)自己在數(shù)學(xué)教學(xué)中的一點(diǎn)體會(huì).

如圖1，在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，∠1=∠2，BD=CD，求證：AB=AC.

這是教材上的一個(gè)例題，筆者在此題的教學(xué)分析中比較關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知與思維起點(diǎn)，著眼于學(xué)生思維能力的提高，于是與學(xué)生一起進(jìn)行了例題的解析.

1. 環(huán)節(jié)1：著眼于學(xué)生的認(rèn)知與思維起點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突與探求欲望

此階段的學(xué)生已經(jīng)基本掌握了等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、逆命題、真假命題、圖形運(yùn)動(dòng)等知識(shí)與定理，學(xué)生懂得在AB=AC時(shí)，已知①∠1=∠2，②BD=CD，③AD⊥BC這三個(gè)條件中的任何一個(gè)就可以得到其他兩個(gè)，因此，筆者在此題的解析之初就著眼于學(xué)生已經(jīng)掌握的等腰三角形知識(shí)拋出了下列問題：如果從①②③這三個(gè)條件中任意選出兩個(gè)作為題設(shè)，能夠得到AB=AC這一結(jié)論嗎？學(xué)生聯(lián)想逆命題的相關(guān)知識(shí)很快得出了三種情況，運(yùn)用全等三角形的知識(shí)對(duì)其中兩種情況進(jìn)行了證明. 不過，當(dāng)①②兩條件作為題設(shè)時(shí)，原有圖形中已知等量關(guān)系的“SSA”結(jié)構(gòu)卻無法判斷△ABD與△ACD全等，于是AB=AC這一結(jié)論也就無法說明了. 學(xué)生原有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)對(duì)于這一問題的解決，明顯不夠，認(rèn)知沖突自然產(chǎn)生的同時(shí)也將學(xué)生的求知欲望激發(fā)了出來：如果將②③作為已知條件，是否能得到AB=AC呢？筆者關(guān)注到了學(xué)生的疑問與思考，并及時(shí)提出了以下建議：大家可曾想過借助幾何畫板來判斷這一命題的真假呢？大家可以在圖形的運(yùn)動(dòng)中得到符合條件①②的△ABC，度量出AB和AC的長度后，再比較它們是否相等. 學(xué)生在教師的啟發(fā)之下很快投入到了積極而熱烈的討論與交流中：在∠MAN的平分線AE上任取一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作直線BC與AM，AN分別交于B，C兩點(diǎn)，在交點(diǎn)B，C運(yùn)動(dòng)的過程中顯示BD，DC，AB，AC的度量值. 在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)中我們可以直觀觀察到：當(dāng)BD≠DC時(shí)，AB≠AC;只有當(dāng)BD=DC時(shí)，AB=AC. 由此可見，將①②作為題設(shè)確實(shí)能得到AB=AC這一結(jié)論. 具備一定質(zhì)疑意識(shí)的學(xué)生此時(shí)不禁納悶：證明AB=AC又有什么用呢？順著學(xué)生的這一疑惑，后續(xù)例題解析的呈現(xiàn)也就水到渠成了.

筆者緊接著以學(xué)生的原有知識(shí)基礎(chǔ)對(duì)等腰三角形、全等三角形知識(shí)進(jìn)行了復(fù)習(xí)，后續(xù)問題的解決也因?yàn)榍懊胬}的討論獲得了很好的方法思考. 借助逆命題滲透問題形成的方法，也在關(guān)注學(xué)生認(rèn)識(shí)與思維起點(diǎn)的教學(xué)中得以實(shí)現(xiàn).

2. 環(huán)節(jié)2：著眼于學(xué)生已有方法這一起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生自主探究

此階段的學(xué)生已經(jīng)掌握了利用全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定來證明線段的一些方法，但因?yàn)橹暗膰L試在此題的解決中不起作用，因此從AB=AC這一結(jié)論出發(fā)進(jìn)行證明，是行不通的. 因此，學(xué)生轉(zhuǎn)換角度并著眼于條件開始嘗試. 學(xué)生面對(duì)∠1=∠2這一已知條件進(jìn)行了以下思考：一個(gè)角關(guān)于角平分線呈軸對(duì)稱，可以將其翻折. 筆者關(guān)注到學(xué)生的這一思考并適時(shí)拋出問題：大家從角平分線上有沒有聯(lián)想到什么圖形呢？學(xué)生很快意識(shí)到圖形中有軸對(duì)稱圖形. 筆者順著學(xué)生的思維又拋出問題：大家可否從軸對(duì)稱圖形上聯(lián)想到什么操作運(yùn)動(dòng)？（翻折）怎樣翻折呢？通過翻折來說明AB=AC又該怎樣進(jìn)行呢？筆者提出這些問題正是基于學(xué)生已有翻折這一實(shí)踐活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)而做出的考慮. 學(xué)生在問題的啟發(fā)下很快想到沿角平分線AD進(jìn)行翻折的實(shí)踐操作，但解釋B點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)卻又產(chǎn)生了新的問題：已知條件中并沒有告訴我們∠ADB，∠ADC是否相等，B，C，D這三個(gè)點(diǎn)是否在同一條直線上也就無法說明了. 因此，借助角平分線的知識(shí)來解決此題也行不通.

從前面一個(gè)條件出發(fā)來解決問題已經(jīng)行不通，學(xué)生也就自然會(huì)再考慮第二個(gè)問題“BD=CD”. 借助角平分線知識(shí)雖然無法解決問題，但學(xué)生卻在這一階段的思考中獲得了圖形運(yùn)動(dòng)的思路，因此，筆者趕緊結(jié)合學(xué)生的這一認(rèn)知，以及題中所給的中點(diǎn)這一條件啟發(fā)學(xué)生：大家看到點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)這一條件了嗎？看到這一條件，大家可曾聯(lián)想到什么操作？（旋轉(zhuǎn)）學(xué)生的反應(yīng)很快，但緊接著卻發(fā)現(xiàn)線段BD繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°后點(diǎn)B和點(diǎn)C是能夠重合的，看上去跟AB，AC沒有聯(lián)系. 筆者關(guān)注到學(xué)生的思維發(fā)展后追問：點(diǎn)A能不能納入這一旋轉(zhuǎn)過程呢？學(xué)生的思考在教師的這一問題下變得更加深入：可以將△ABD繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得到△ECD，AB和AC就融進(jìn)了同一個(gè)三角形中. 不僅如此，∠1與∠2本來是在兩個(gè)小三角形中的，現(xiàn)在都在△CAE中了（如圖2）. 根據(jù)等角對(duì)等邊可知AC=EC，因此AB=AC，問題獲解.

筆者在探究證明思路的解析過程中一直關(guān)注學(xué)生已經(jīng)掌握的方法，并對(duì)學(xué)生的討論、交流進(jìn)行了有效的引導(dǎo)和組織，解題思路也得到了很好的滲透：從待證結(jié)論或已知條件都可以進(jìn)行一定的考慮，以證明幾何問題，如果行不通，應(yīng)趕緊聯(lián)想已知相關(guān)知識(shí)與已有解題方法.

3. 環(huán)節(jié)3：著眼于學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)這一起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生自主反思

學(xué)生從失敗到成功的探究體驗(yàn)中積累了問題形成、利用中點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)解決相關(guān)問題等經(jīng)驗(yàn)，筆者在學(xué)生已具備的抽象思維與概括能力的基礎(chǔ)上又拋出了以下問題：（1）嘗試運(yùn)用旋轉(zhuǎn)這一操作，一般在出現(xiàn)什么樣的已知條件時(shí)可以運(yùn)用呢？（2）大家以為在此題的解決中將圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)是為了什么呢？這些問題能促進(jìn)學(xué)生自主反思與總結(jié). 很快，學(xué)生的思維產(chǎn)生了碰撞，并進(jìn)行了總結(jié)：圖形中出現(xiàn)對(duì)稱圖形時(shí)可以考慮旋轉(zhuǎn)這一操作，圖形重合的現(xiàn)象就會(huì)因此產(chǎn)生. 本題中的已知條件與待證結(jié)論在圖形的旋轉(zhuǎn)下得到了新的分布，待證結(jié)論和已知條件之間的距離因旋轉(zhuǎn)而得到了有效縮小，所以促進(jìn)了問題順利解決.

學(xué)生的總結(jié)將學(xué)生在具體經(jīng)驗(yàn)中進(jìn)行抽象概括的水平充分展現(xiàn)了出來，結(jié)論以及知識(shí)發(fā)生的過程都在概括中得到了完美體現(xiàn).

4. 環(huán)節(jié)4：著眼于學(xué)生已有經(jīng)歷這一起點(diǎn)，設(shè)計(jì)反饋練習(xí)

學(xué)生的小結(jié)以及解題探究過程在筆者的心里留下了極為深刻的印象，因此，筆者在本課的教學(xué)結(jié)尾階段，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知狀態(tài)，進(jìn)行了以下課堂反饋練習(xí)設(shè)計(jì).

練習(xí)1 如圖3，已知∠BED=∠DAC，BD=CD，求證：BE=AC.

練習(xí)2 如圖4，在△ABC中，BD=CD，BF與AC，AD分別交于點(diǎn)F和點(diǎn)E，且AF=EF，求證：BE=AC.

練習(xí)3 如圖5，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，BM=CM，過點(diǎn)M作AD的平行線與AB交于點(diǎn)E，與CA的延長線交于點(diǎn)F，求證：BE=CF.

已知一邊的中點(diǎn)，并能通過圖形的旋轉(zhuǎn)求證結(jié)論是這三個(gè)練習(xí)題共同的特征. 實(shí)際上，這是基于本課例題所做的變式. 學(xué)生在不同程度的變式中進(jìn)行循序漸進(jìn)的思考，學(xué)習(xí)參與的“廣度”與“深度”都得到了很好的保障，學(xué)生在不同程度的思考、探究與練習(xí)中對(duì)本課中所涉及的添線方法形成了牢固的掌握，認(rèn)知與思維能力也在不同程度的思考中得到了有意義的鍛煉.

事實(shí)上，教師在具體教學(xué)中能夠不時(shí)關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，并善于在學(xué)生起點(diǎn)處進(jìn)行各種有意義的設(shè)計(jì)與落實(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性以及學(xué)習(xí)的熱情、探究新知的欲望，必能得到極其充分的激發(fā)，并最終實(shí)現(xiàn)思維能力的提升.