金葉

【摘要】在高中教學(xué)中，基本不等式看似簡(jiǎn)單，但是應(yīng)用起來卻非常容易出錯(cuò)，有的學(xué)生甚至在高考考場(chǎng)上還會(huì)出現(xiàn)失分現(xiàn)象，究其原因，是由于學(xué)生不能夠正確地理解并加以應(yīng)用.有鑒于此，本文通過深入公式的本質(zhì)來突破學(xué)習(xí)中的難點(diǎn).

【關(guān)鍵詞】深挖公式;基本不等式;困惑

在高中數(shù)學(xué)中，基本不等式是學(xué)生容易犯錯(cuò)的主要內(nèi)容，其中“一正、二定、三相等”，即，a+b≥2ab，在a>0、b>0的前提下，a=b時(shí)，才取得最小值，如果ab不能為定值時(shí)是不是意味著a+b沒有最小值呢？這也是學(xué)生在應(yīng)用基本不等式時(shí)常犯的錯(cuò)誤，也是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn).下面，筆者在教學(xué)中深挖公式，以期突破教學(xué)中的困惑.

一、積為定值有和的最小值

在數(shù)學(xué)教材中，不等式“ab≤a+b2（a>0、b>0）”稱為基本不等式，在解題中有著廣泛地應(yīng)用.在教學(xué)中，筆者會(huì)用到這樣以下例子：用鐵絲網(wǎng)扎出一個(gè)矩形菜園，面積為100 m2，問，當(dāng)此矩形的長度和寬度分別為多少時(shí)，所用的鐵絲網(wǎng)最短，最短值是多少？在授課中，在明確指出了基本不等式成立所需要的三個(gè)條件后進(jìn)行了能力提升，筆者通過例題來啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行深入探討.

筆者：大家思考下，如果菜園的面積不是定值，是否可以求出周長的最小值？

學(xué)生：當(dāng)面積不確定時(shí)，不能求出周長的最小值.

筆者：回答得非常好.假設(shè)a，b分別為菜園的兩個(gè)邊，結(jié)合基本不等式的公式，有何發(fā)現(xiàn)呢？

學(xué)生：基本不等式可以視為矩形周長2≥2矩形面積，因此，如果面積不能確定，那么矩形的周長也不會(huì)有最小值.

筆者：回答得非常好，通過基本不等式求最值，必須要滿足“定”的條件，只有在積為定值的前提下才會(huì)有和的最小值.

通過思考，學(xué)生可以從宏觀方面來掌握基本不等式求最值需要滿足的條件，對(duì)此有個(gè)大概了解和掌握.

二、相等未必有和的最小值

在講授完上述理論內(nèi)容后，針對(duì)以往學(xué)生容易出錯(cuò)的地方來進(jìn)行試題鞏固.

題目：當(dāng)x≥0時(shí)，7x+1的最小值為多少？

筆者：學(xué)生進(jìn)行嘗試，有幾種不同的思路，均認(rèn)為7x+1是代數(shù)式，可以將其分為兩項(xiàng)，3x+（4x+1）、4x+（3x+1）、2x+（5x+1）、5x+（2x+1）、x+（6x+1）、6x+（x+1）、7x+1，學(xué)生都有不同的思路.

思路1：7x+1拆分為3x+（4x+1），則，7x+1=3x+（4x+1）≥23x·（4x+1），只有當(dāng)3x=（4x+1）時(shí)，即x=-1時(shí)，7x+1的最小值為-6.

思路2：7x+1拆分為2x+（5x+1），則，7x+1=2x+（5x+1）≥22x·（5x+1），只有當(dāng)2x=（5x+1）時(shí)，即，x=-13時(shí)，7x+1的最小值為-43.

思路3：7x+1拆分為6x+（x+1），則，7x+1=6x+（x+1）≥26x·（x+1），只有當(dāng)6x=（x+1）時(shí)，即，x=15時(shí)，7x+1的最小值為125.

思路4：帶入基本不等式，則，7x+1≥27x·1，只有當(dāng)7x=1時(shí)，即，x=17時(shí)，7x+1的最小值為2.

筆者：大家對(duì)這道題有很多的思路，那么請(qǐng)分別按照上述思路來算出3x·（4x+1）、2x·（5x+1）、6x·（x+1）、7x·1的值，看是否為定值？依照上一問題，這些問題中的x是否是根據(jù)“a=b”得出，相同的試題為何卻能得到不同的答案？大家能不能將7x+1與27x·1進(jìn)行比較？

通過以上分析，學(xué)生們有了以下深刻認(rèn)識(shí)：（1）如果ab不為定值，則7x+1所拆分到的值不確定，即使在基本不等式中存在“a=b”情形，不能得出a+b的最小值.而思路1和2求出的x值錯(cuò)誤，因此，只滿足“相等”條件并不能得到和的最小值;（2）在a>0，b>0的前提下，當(dāng)a=b時(shí)，a+b=2ab，在a≠b情形下，a+b>2ab.如果a=b不存在，a+b不存在2ab的最小值.因此，筆者引導(dǎo)學(xué)生對(duì)基本不等式進(jìn)行了深入討論，應(yīng)用習(xí)題來對(duì)理解的內(nèi)容進(jìn)行深入學(xué)習(xí)和探究，掌握正確的解題思路，通過辨析來從微觀角度掌握公式的具體應(yīng)用，提升基本不等式學(xué)習(xí)的質(zhì)量和效率.

三、基本不等式教學(xué)反思

本文所研究內(nèi)容是往年教學(xué)中學(xué)生都會(huì)出現(xiàn)的問題，我們應(yīng)當(dāng)從小處入手，緊抓教學(xué)細(xì)節(jié)，幫助學(xué)生辨識(shí)學(xué)習(xí)的內(nèi)容.在基本不等式講解過程中，有時(shí)候會(huì)很難處理學(xué)生的疑惑，加之教學(xué)過程不夠細(xì)致，導(dǎo)致他們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤.通過預(yù)見式教學(xué)，學(xué)生在最開始時(shí)就會(huì)從宏觀和微觀兩個(gè)角度進(jìn)行辨析，這有助于突破教學(xué)的困惑，最終真正掌握基本不等式的精髓.

總之，正確應(yīng)用基本不等式需要學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上來熟練應(yīng)用，對(duì)一些容易犯錯(cuò)的內(nèi)容，教師要深入分析錯(cuò)誤原因，挖掘其中的內(nèi)在本質(zhì)，幫助學(xué)生掌握解題技巧，使他們能夠正確、靈活地應(yīng)用基本不等式.

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