吳晉

（昆明經濟技術開發(fā)區(qū)第一中學，云南昆明 650217）

重視過程 培養(yǎng)能力 提高素質
——談我對“三角形內角和定理”一課的處理

吳晉

（昆明經濟技術開發(fā)區(qū)第一中學，云南昆明 650217）

數學課程改革以培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和實踐能力為重點，注重科學探究，提倡學習多樣化，“從生活走向數學，從數學走向社會”。實驗探究教學就是連接數學和生活的紐帶。因此，在數學實驗教學中，教師應運用自己的智慧和魅力不斷地培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和發(fā)散思維能力，鼓勵學生大膽實驗，小心求證，能使學生對實驗問題的理解不落俗套，敢于求異；在解決實際問題時能夠不拘一格，多方設法。這既能擺脫習慣思維的束縛，拓寬思維范圍，又能使創(chuàng)造性思維能力得到發(fā)展，以適應當前素質教育的需要。本文作者以人教版《八年級數學》上冊中11.2“三角形內角和定理”探索的一節(jié)公開課為例，采用自主探索的方式，讓他們在動口、動眼、動耳、動手、動腦、動筆的過程中去體驗、感悟，去探究、發(fā)現，使學生不但理解掌握了這一定理，而且從中學到了研究數學問題的方法，體會到勇于探索的快樂。

數學實驗探究教學；學習多樣化；創(chuàng)新精神；實踐能力

新課程的教學理念告訴我們，教師在教學過程中，主體作用應該逐漸隱蔽、逐漸減少，應讓學生的主體凸現出來，讓他們自己去體驗、感悟，去探究、發(fā)現。數學教學要適應現代教育的改革要求，進一步強化素質教育最主要的是對學生進行科學素質的教育，使學生在數學學習中受到科學方法、科學思維和科學態(tài)度等多方面的訓練，這對他們今后從事任何職業(yè)都將受益無窮。

“寓教于樂”是對青少年教育的一條基本原則，我們每個人的啟蒙教育都是從游戲中開始的?，F行初中數學教材比以往數學教材增加了許多探究，其中更是增添了不少學生思考及教學活動。

筆者在上《八年級數學》上冊中11.2“三角形內角和定理”探索的一課時，就做了一點這方面的嘗試。筆者將這節(jié)課設計為探索性課，創(chuàng)設問題情境，讓學生不斷進行實驗操作、觀察、抽象出幾何圖形，啟發(fā)學生運用邏輯思維、推理、歸納等方法，通過不斷的“實驗——結論——再實驗——再結論”，用自主探索的方式完成，使學生不但理解掌握這一定理，而且從中學到了研究數學問題的方法，體會到勇于探索的快樂。并且這樣的過程可以更好地培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力和發(fā)散思維能力。在“提出問題——求解問題——解決問題”的過程中加強了探究意識。為今后有效地學習數學奠定了堅實的基礎。

1 透視教材

眾所周知，“三角形內角和定理”是人教版初中數學八年級上冊第十一章第二節(jié)的內容?！叭切蝺冉呛投ɡ怼笔侨切蔚囊粋€重要性質，是“空間與圖形”領域的重要內容之一，三角形的內角和定理是從 “數量關系”來揭示三角形三個內角之間的關系的，這個定理是任意三角形的一個重要性質，它是學習以后知識的基礎，并且是計算角的度數的重要定理之一。在解決四邊形和多邊形的內角和時都將轉化為三角形的內角和來解決。其中輔助線的作法是把新知識轉化為舊知識、用代數方法解決幾何問題，為以后的學習打下良好的基礎，三角形內角和定理在理論和實踐中有廣泛的應用。因此它是平面幾何中的一條重要定理，它的探索過程是一個教學重點。

1.1 從探索方法來看

“三角形的內角和”其定理的抽象性和知識的復雜性比前面的知識高了一個層次。前面的學習是通過實驗得出的，通過觀察、試驗等可以尋找規(guī)律，但是由于觀察可能有誤差，試驗可能受干擾，考察對象可能不具有一般性等原因，一般說由觀察、試驗等所產生的結論未必正確。例如，讓一個班的學生每人任意畫一個三角形，再量出它的每個內角，計算三個內角的和，得到的結果未必全是180°，可能有的會比180°大一些，有的會比180°小一些。因此僅通過觀察、試驗等就下結論有時也缺乏說服力。例如，即使不考慮誤差等因素，當上面觀察的所有結果全是180°時，學生還會有疑問：“不同形狀的三角形有無數個，我們畫出并驗證的只是其中有限個，其余的三角形的內角和是多少呢？能對所有的三角形都進行驗證嗎？”事實上，不管我們經歷多長時間，畫出多少個三角形，觀察、試驗的對象也是有限個。因此，要確認“三角形內角和等于180°”，就不能僅依靠度量的手段和觀察、試驗、驗證的方法，而必須進行推理論證——從道理上得出“無論三角形的具體形狀如何，它的內角和一定等于180°”。從而向學生說明證明的必要性，同時說明今后在幾何里，常常用這種方法得到新知識，而定理的證明需要添輔助線，讓學生明白添加輔助線是解決數學問題（尤其是幾何問題）的重要思想方法，它同代數中設末知數是同一思想。

1.2 從教材涉及的內容來看

“三角形的內角和”定理涉及的內容較多，比如平角定義，添加輔助線解決數學問題，歐氏幾何中的平行公理，平行線的性質等等，它們之間的關系緊密相連，內容上充分體現認知過程，在講授時，必須給學生提供探索與交流的時間和空間。在教學中，強調學生通過“做數學”來進行探索，加強實驗幾何的成份，而實驗幾何是發(fā)現幾何命題和定理的有效工具，在培養(yǎng)學生的直覺思維和創(chuàng)造性思維方面起著重大的作用。有了一定的經驗積累，就可以進行理論論證。這樣就可以將實驗幾何與論證幾何有機結合。而論證幾何在培養(yǎng)學生的邏輯思維能力方面起著重要作用?！叭切蔚膬冉呛投ɡ怼钡淖C明借助了平行公理、平角定義，平行線的性質。用輔助線將三角形的三個內角巧妙地轉化為一個平角或兩平行線間的同位角、內錯角、同旁內角，為定理的證明提供了必備條件。盡管前面學生接觸過推理論證的知識，且有了初步的論證意識，但是在論證的格式上，沒有經過很好的鍛煉。因此定理的證明應是本節(jié)引導和探索的重點。輔助線的作法是學生在幾何證明過程中第一次接觸，只要教師設置恰當的問題情境，學生再由實驗操作、觀察、抽象出幾何圖形，用自主探索的方式完成，并且這樣的過程可以更好地發(fā)展他們的創(chuàng)造能力和實驗能力。如果探索的深度不夠，就不能有效地將實驗幾何上升到理論論證幾何的高度。

1.3 從學生的已有知識水平來看

大多數學生的抽象思維和空間想象能力還比較低，對數學知識的理解、判斷、分析、推理時常常表現出一定的主觀性、片面性和表面性，要能夠正確證明“三角形的內角和定理”，必須具有一定的邏輯思維及推理能力，還要引導學生對三角形作更全面的思考，通過一題多解，初步體會思維的多向性，引導學生的個性化發(fā)展，在數學觀念上要有所更新。

2 展示教法

在教學方法上，筆者采用了新課標倡導的“自主、合作、探究”的學習方式，積極引導學生全員動手、思考、理解和探索。筆者采取了如下的教學方法：首先作好演示實驗，使學生在頭腦中先建立起感性認識，為升華到理性認識作好準備。但是，數學實驗的演示不但要演示操作、演示、觀察，更要演示對實驗對象的分析，通過學生畫、量、撕拼、折拼、觀察等活動，培養(yǎng)學生的探索發(fā)現、動手操作能力及發(fā)展學生的推理能力和語言表達能力。對比過去撕紙等探索過程，體會思維實驗和符號化的理性作用。逐漸由實驗過渡到論證。那種急于用實驗現象、數學事實建立概念與歸納規(guī)律，而忽視通過實驗培養(yǎng)學生探索數學結論（定理）的能力的做法，顯然與當前大力提倡的培養(yǎng)具有創(chuàng)新人才的做法相違背。具體做法如下。

2.1 復習舊課，作好鋪墊

數學課中的活動歸根結底無非就是盡量讓學生動口、動眼、動耳、動手、動腦、動情。那么，要使學生生動活潑地動起來，且動得有價值、有新意、有活力，就必須不斷嘗試新的組合、新的形式，要想舊中求新，就必須穩(wěn)中求變。從復習舊課開始引入新課，充分體現知識的科學性和系統(tǒng)性，而且還為本節(jié)課最終的證明打好基礎。認真復習以前學過的內容（相交線與平行線），使學生明確這樣四點：（1）三角形的內角（三個）：三角形中相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內角，簡稱三角形的角。（2）平角定義：一條射線繞它的端點旋轉，當始邊和終邊在同一條直線上，方向相反時，所構成的角叫平角。1平角=180度。（3）平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。（4）平行線的性質：①兩直線平行，同位角相等；②兩直線平行，內錯角相等；③兩直線平行，同旁內角互補。

2.2 提出問題，引入新課

創(chuàng)設問題情境，以活動為主線，擴大實驗成果。以問題導航，借助豐富、活潑、深入的實踐，增強學生的數學思維品質。學生要獲得真知，就必須在參與活動的過程中體驗、嘗試、改造，必須去“做”，因為“經驗”都是由“做”得來的?；谶@一點在教學實際中可以從以下幾點切入。

［提出問題］任意三角形三個內角的和是多少度,你知道嗎?

我們可以嘗試做如下操作。

（1）請每位同學任意畫一個三角形，用量角器認真量出這個三角形的三個內角的度數（強調，必須三個都量，不準只量出兩個）并記錄（結果精確到0.1），再將三個內角的度數求和。很多同學一個角一個角來量，算出了三個角度數的和，結果并不是正好180°。

（2）折紙方法演示，其中一條折痕要和一邊平行，另二條折痕要和這邊垂直。強調折后的三個角頂點重合在一條直線上，說明三個角形成一個平角，三角形的內角和是180°。用這種方法在不同類型的三角形上試一試，讓學生們分別在銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形上折一折。如圖（1）所示。

圖（1）

還可將直角三角形的兩個銳角都折向直角，與直角重合，說明這兩個銳角的和是90°，再加上直角，三個角就是 180°。

（3）撕拼方法，把三個角中的其中兩個角撕下來，拼一拼，也可以拼成一個平角。演示，讓學生剪下2個角后，為避免次序亂了，在角上編號，剪角時不是沿著折痕剪，而是任意剪，但是按照編號順序，很快就拼成了平角，如下圖，思考，這種方法隱含了什么性質定理（平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行，即剪角拼接后，構成2組相等的內錯角，得AE∥BC，AF∥BC，而經過直線BC外一點A，有且只有一條直線與直線BC平行，可證點E、A、F在同一條直線上，所以∠1、∠2、∠3在點A 形成平角180°）。

可以看出，在這個探索的過程中，學生可以將實驗操作上升到了理論證明的臺階上。而在解決這些問題的過程中，也引出了添加輔助線的重要思想方法，這種方法是最科學的一種方法。也是后邊證明方法中的其中之一。學生體驗到了探索的方法。

（4）動態(tài)方法演示，用一枝鉛筆EF沿A→B→C→A運動，鉛筆EF回到起點A時剛好旋轉180°。方法如下：①鉛筆EF從點A出發(fā)（點E在前，點F在后），當點E與點B重合時，以B（E）為圓心，順時針方向旋轉∠ABC的角度，此時點F落在線段BC上 （E與B重合）；②鉛筆EF繼續(xù)由B向C運動，當點F與點C重合時，以C（F）為圓心，順時針方向旋轉∠BCA的角度，此時點E落在線段CA上（F與C點重合）；③鉛筆EF繼續(xù)由C向A運動，當點E與點A重合時，以A（E）為圓心，順時針方向旋轉∠CAB的角度，此時點F落在線段AB上（E與A點重合），鉛筆EF到達最終位置，此時與起始位置相比，鉛筆EF可以看出剛好剛好旋轉180°，而鉛筆EF在運動過程中轉過三個旋轉角∠ABC、∠BCA、∠CAB， 即∠ABC+∠BCA+∠CAB=180°，所以可以說明“三角形的內角和是180°”。

2.3 指出重點，進行證明

通過演示，學生腦海中有了一定的感性認識，但對于七年級的學生，還要認識到證明的必要性，思想不能還停留在原來的認識上，應該想得更全面更深刻。因此運用已學過的知識證明“三角形內角和定理”成為本節(jié)課的重點。并且在教學中要引導學生對三角形作更全面的思考，通過一題多解，初步體會思維的多向性，引導學生的個性化發(fā)展。

（1）引導學生分析“三角形的內角和等于180°”這個命題的條件和結論。根據前面給出的公理和定理，引導學生的證明思路，避免只看熱鬧，不看門道。

如圖，已知：△ABC.

求證：∠A+∠B+∠C=180°

方法1：如圖1，延長BC到D，過C作CE∥AB，證明∠ACE=∠A，∠ECD=∠B即可。

方法2：如圖 2，過頂點 A作直線 DE∥BC，證明∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C 即可。

方法 3：如圖 3，過 C點作射線 CD∥AB，則∠ACD＝∠A，利用平行線的性質也可證得結論。

圖1

圖2

圖3

學生通過自主探索，得出以上幾種輔助線的作法。及時引領學生發(fā)現、總結證明的思想。

（2）引導學生對三角形作更全面的思考，通過一題多解，初步體會思維的多向性，引導學生的個性化發(fā)展。在上述問題中提出“通過添加輔助線，運用平行線的性質，把三角形三個角‘湊’到一起，構成180°”的思路。

在證明三角形內角和定理時，是否可以把三角形的三個角“湊”到邊上的任意一點，把三個角“湊”到三角形內的一點，把三個角“湊”到三角形外的一點來證明呢？

方法4：如圖4，在邊BC上任取一點P，過P作PM∥AB，PN∥AC，只要證明∠MPC=∠B，∠NPB=∠C，∠NPR=∠A即可。

方法5：如圖 5，在△ABC內任取一點 P，過P作MN∥AB，QR∥BC，ST∥AC，證明∠SPN=∠A，∠NPR=∠B，∠SPQ=∠C即可。

方法6：如圖 6，在△ABC外任取一點 P，過P作MN∥AB，QR∥BC,ST∥AC， 證明∠SPN=∠A，∠NPR=∠B，∠SPQ=∠C即可。

圖4

圖5

圖6

學生可依據自己尋求的思路，運用數學符號和語言條理清晰地寫出證明過程。

這樣，我們就用多種方法探索并證明了三角形的內角和是180°的定理，由實驗幾何上升到理論證明，強調證明的重要性，以使學生形成嚴謹的思維習慣，達到提高學生邏輯思維能力的目的，要求學生用所學的方法去一一驗證這個猜想結論的正確性。學生在老師的引導下,參與了問題探究的全過程。不僅對知識理解更透徹,掌握更牢固,而且從中受到觀察、猜想、分析與轉換等思維方法的啟迪,思維品質獲得了培養(yǎng),同時學生也從探索的成功中感到喜悅,使學習數學的興趣得到了強化，知識得到了進一步發(fā)展。而在教學中，變換了多種訓練形式，變換出多種題型，變換出多種思維的角度和方法，由此讓學生活躍起來，視野開闊起來，情感豐富起來，個性發(fā)揮出來。

新課程所倡導的學生學習方式就是自主、探究、合作。因此數學課堂上學生的主要活動是通過動腦、動手、動口參與數學思維活動。教師不僅要鼓勵學生參與，而且要引導學生主動參與，才能使學生主體性得到充分的發(fā)揮和發(fā)展，讓學生以研究者的身份，參與包括探索、發(fā)現等獲得知識的全過程。教師著力引導多思考、多探索，讓學生學會發(fā)現問題、提出問題、分析問題、解決問題以及親身參與問題的真實活動之中，只有這樣，才能使學生親身品嘗到自己發(fā)現的樂趣，才能激起他們強烈的求知欲和創(chuàng)造欲。只有達到這樣的境地、才會真正實現主動參與。使其體會到通過自己的努力取得成功的快感，從而產生濃厚的興趣和求知欲，激發(fā)學生的學習興趣，讓學生學有動力。

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2096-4110（2017）03（c）-0083-03