?施響勇

[摘? 要] 高中數(shù)學(xué)教師在教材、知識(shí)以及學(xué)生等教學(xué)諸多因素上的研究越是深入，教學(xué)活動(dòng)越是能夠獲得更好的效果. 本文著眼于數(shù)學(xué)歸納法與實(shí)際案例的研究，著重闡述了教學(xué)活動(dòng)的科學(xué)設(shè)計(jì)與引領(lǐng).

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)歸納法;教學(xué)設(shè)計(jì)

追求數(shù)學(xué)教學(xué)效果的前提條件是教師對(duì)教材內(nèi)容的深刻理解與到位，但相當(dāng)一部分的教師在實(shí)際教學(xué)中對(duì)數(shù)學(xué)本身的理解就存在一定的偏差，以此為依據(jù)所制定的教學(xué)設(shè)計(jì)自然也會(huì)有所偏離，本文結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)際教學(xué)設(shè)計(jì)案例在數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用實(shí)踐上表達(dá)了筆者的一點(diǎn)體會(huì).

數(shù)學(xué)歸納法的含義

準(zhǔn)確而科學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì)來源于教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的深刻理解，一堂精彩的數(shù)學(xué)課又往往得益于精彩而準(zhǔn)確的教學(xué)設(shè)計(jì)，高中數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)歸納法的滲透教學(xué)中首先應(yīng)該明確數(shù)學(xué)歸納法的含義并因此創(chuàng)造性地進(jìn)行設(shè)計(jì)與教學(xué)，要看清數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)問題解決過程中應(yīng)用的價(jià)值.

例如，在證明和正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)常用的方法中包含數(shù)學(xué)歸納法這一尤其有意義的重要手段. 一般來講，使用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行與正整數(shù)有關(guān)的命題p（n）成立與否時(shí)需要證明以下內(nèi)容：

①p（n0）（n0∈N*）成立;

②若p（k）（k≥n0，k∈N*）成立，則p（k+1）也成立.

因此，p（n）對(duì)于一切正整數(shù)n（n≥n0）都成立.

包含最終的結(jié)論，數(shù)學(xué)歸納法證明過程的三個(gè)步驟一目了然. 不過，一般運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時(shí)，因?yàn)樽罱K結(jié)論的千篇一律，我們往往更加注重前面兩個(gè)步驟.

那么，證明命題p（n）對(duì)于一切正整數(shù)n（n≥n0）都成立為什么需要兩步？

事實(shí)上，p（n）對(duì)于n=n0成立已經(jīng)可以證明最終的結(jié)論，但第二步中“p（k）（k≥n0，k∈N*）成立，則p（k+1）也成立”這一真命題的使用可以得出p（n0+1）是成立的，p（n0+2）也是成立的……由此，命題p（n）對(duì)于一切正整數(shù)n（n≥n0）也都成立了.

由此可見，數(shù)學(xué)歸納法中體現(xiàn)“遞推基礎(chǔ)”的第一步與證明“遞推依據(jù)”的第二步是缺一不可的，證明第一步的內(nèi)容可以進(jìn)行無限制的遞推則使命題最終從有限走向了無限.

第二步中的k代表了什么含義？“數(shù)學(xué)”“歸納”又能從何處體現(xiàn)？

第二步中的k對(duì)于n而言是一個(gè)事先給定的正整數(shù)，這一常量是有限的. 我們可以就n0，n0+1，n0+2（n0∈N*）等具體的正整數(shù)來驗(yàn)證p（n）成立，但對(duì)于p（n）對(duì)于一切正整數(shù)n（n≥n0）都成立這一問題卻是無法解決的. 但如果對(duì)n取某個(gè)具體的k，命題能夠成立，n=k+1時(shí)命題也成立，那么，遞推的依據(jù)也就形成了，對(duì)這一遞推依據(jù)進(jìn)行反復(fù)使用，使得n從有限走向無限并將“歸納”這兩個(gè)字的特點(diǎn)展現(xiàn)無余. 數(shù)學(xué)歸納法中的“數(shù)學(xué)”這兩個(gè)字又應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從什么地方去體會(huì)呢？第二步的證明過程中體現(xiàn)的其實(shí)是演繹推理的方法，數(shù)學(xué)推理包含演繹推理這一尤其主要的特征. 由此可見，“數(shù)學(xué)歸納法”的稱謂是極其合適的.

實(shí)際教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

教學(xué)設(shè)計(jì)的方向因?yàn)閷?duì)數(shù)學(xué)歸納法的了解而更具方向性，作為教學(xué)內(nèi)容載體的教材為教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)提供了很好的形式，學(xué)生的“學(xué)”與教師的“教”都是圍繞教材而展開的活動(dòng)，只有對(duì)教學(xué)內(nèi)容與教材進(jìn)行深入的數(shù)學(xué)研究與理解，教師設(shè)計(jì)的教學(xué)過程才會(huì)更具科學(xué)性與合理性.

1. 目標(biāo)設(shè)置

教學(xué)活動(dòng)必須圍繞明確的教學(xué)目標(biāo)而開展，對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法這部分內(nèi)容，圍繞本課內(nèi)容，我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生明確如下學(xué)習(xí)目標(biāo)：

①利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行本課命題的證明需要做到哪些步驟？

②為什么需要做到這些步驟？

兩個(gè)教學(xué)目標(biāo)的確立與達(dá)成能使學(xué)生在領(lǐng)會(huì)這一方法的實(shí)質(zhì)基礎(chǔ)之上奠定今后具體運(yùn)用的基礎(chǔ).

2. 領(lǐng)引學(xué)生感受學(xué)習(xí)的必要性

3. 多米諾骨牌的模型類比

數(shù)學(xué)歸納法的理解可以借助多米諾骨牌這一模型來進(jìn)行. 如果把第一塊、第二塊、第三塊……第k塊骨牌分別用a1，a2，a3，…，ak來表示，a1，a2，a3，…，ak如果能一一倒下則表示它們是正確的，通項(xiàng)公式對(duì)一切正整數(shù)成立就如同所有多米諾骨牌都能倒下一樣，那么，保證所有多米諾骨牌都能倒下我們又應(yīng)該做到哪些呢？

對(duì)多米諾骨牌倒下的過程進(jìn)行仔細(xì)觀察可以尋得兩個(gè)必要的條件：

①第一塊骨牌a1首先倒下;

②a1倒下時(shí)能夠?qū)е孪噜彽哪菈K倒下.

滿足這些條件的多米諾骨牌就會(huì)全部倒下的原因究竟在哪里呢？這是教師必須引導(dǎo)學(xué)生思考且闡述的問題，上述兩個(gè)條件中的每個(gè)條件所起的作用究竟在哪里是教學(xué)過程中不可或缺的環(huán)節(jié)，學(xué)生在這些原因與作用進(jìn)行思考與解釋之后才能對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)產(chǎn)生真正的領(lǐng)悟，后續(xù)學(xué)習(xí)中對(duì)于這一方法的運(yùn)用才會(huì)更加熟練而靈活.

教師在教學(xué)中還需要引導(dǎo)學(xué)生明確所有骨牌倒下的這些條件是必須的，同時(shí)，還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生弄清楚我們應(yīng)該要做的，多米諾骨牌全部倒下才可能實(shí)現(xiàn).

骨牌模型的及時(shí)呈現(xiàn)與具體事例的分析思考使得學(xué)生對(duì)于抽象數(shù)學(xué)方法的理解相對(duì)輕松.

運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)本課命題進(jìn)行證明時(shí)只要之前我們所闡述的兩個(gè)步驟，我們在此題的解決中需要做的事情也因?yàn)椤白C明”二字變得明晰. 教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生首先明確“做什么”和“為什么”，尤其應(yīng)讓學(xué)生明白第二步的任務(wù)是證明某一命題的成立，“n=k（k≥n0，k∈N*）時(shí)p（k）成立”是這一命題的條件，“n=k+1時(shí)p（k+1）成立”是這一命題的結(jié)論.

教師在課堂教學(xué)時(shí)可以將上述過程進(jìn)行板書并形成下面的表格，使學(xué)生在表格內(nèi)容、歸納法和多米諾骨牌的對(duì)比學(xué)習(xí)中不斷加深對(duì)這一方法的理解.

學(xué)生在初學(xué)數(shù)學(xué)歸納法證明命題時(shí)往往會(huì)將第二步寫成“設(shè)n=k（k≥n0，k∈N*）時(shí)結(jié)論成立，要證明n=k+1時(shí)結(jié)論也成立”，筆者不僅不允許這樣的行為出現(xiàn)，而且還會(huì)要求學(xué)生將“結(jié)論成立”寫得更加具體，這使學(xué)生在審題與證明過程中能夠清晰了解要證明的內(nèi)容，學(xué)生一旦明確命題的條件與結(jié)論也就能夠更好地把握問題的精髓了，在具體解決過程中也就很快能夠聯(lián)系分析、反證等諸多的方法了，學(xué)生感受演繹推理特征的同時(shí)也使得自身邏輯思維能力得到了更好的培養(yǎng).

另外，假設(shè)n=k（k≥n0，k∈N*）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立中“n=k（k≥n0，k∈N*）時(shí)命題成立”這一條件又是從何而來的呢？對(duì)于這一問題的理解可以借助多米諾骨牌模型來實(shí)現(xiàn). k就好比多米諾骨牌中的“前一塊”，“n=k（k≥n0，k∈N*）時(shí)命題成立”就好比“前一塊倒下”，因此，證明“n=k+1時(shí)命題成立”也就轉(zhuǎn)化成了“導(dǎo)致后一塊必然倒下”.

再比如，如果你在別人幫助下計(jì)算出了第1000項(xiàng)，那么第1001項(xiàng)就一定能夠計(jì)算出嗎？

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)效果的良好獲得必然要建立在數(shù)學(xué)理解到位的基礎(chǔ)之上，同時(shí)，教師在教學(xué)中還應(yīng)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)心理進(jìn)行研究并依此進(jìn)行教學(xué)環(huán)節(jié)的科學(xué)設(shè)計(jì)，使得教材、學(xué)生等都在教師的潛心研究與設(shè)計(jì)之后煥發(fā)出奪目的光彩.