項麗紅 逯彥周

【摘 要】 ?通過對2018年全國高考數學“概率統(tǒng)計”試題的統(tǒng)計分析，發(fā)現試題對于概率統(tǒng)計知識的考查主要集中在基礎知識上，絕大部分題目難度低，考綱中要求的知識點大部分被覆蓋;以數學史料為引子，考查數學思想方法;將問題設置在一定情境中考查數學核心素養(yǎng);將概率統(tǒng)計知識與其他知識相結合考查應用、創(chuàng)新意識，并以此為依據提出了相應的教學建議.

【關鍵詞】 ?2018年高考;概率統(tǒng)計;試題分析;教學思考

統(tǒng)計是研究如何合理收集、整理、分析數據的學科，概率是研究隨機現象規(guī)律的科學，概率的概念是數據分析的理論基礎，貫穿數據分析的整個過程，是數據分析各階段的思想基礎 [1].高中階段的概率統(tǒng)計知識不僅是高中數學課程內容的重要組成部分，同時也是大學概率統(tǒng)計學習的基礎，起到承上啟下的作用.本文對2018年全國高考數學試卷中的概率統(tǒng)計試題進行統(tǒng)計分析，并對教師教學給出幾點建議.

1 高考試卷考查“概率統(tǒng)計”知識的試題統(tǒng)計

2018年全國高考數學文、理科試卷共13套，其中全國卷6套（分別為全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷文、理各1套），自主命題卷7套（分別為北京卷、天津卷文、理各1套，上海卷、江蘇卷、浙江卷不分文理各1套），均對概率統(tǒng)計知識進行了考查，共計23題.現將13套試卷中考查概率統(tǒng)計知識的試題按照題型、分值、考查內容、交匯章節(jié)及難度進行統(tǒng)計，結果如表1所示.[FL）]

由表1知，從題型、分值看，全國卷Ⅰ卷文1道解答題，分值為12分，占試卷總分的8.0%;全國Ⅰ卷理選擇、填空、解答題各1道，分值為22分，占試卷總分的14.7%;全國Ⅱ卷文、理選擇、解答題各1道，分值為17分，占試卷總分的11.3%;全國Ⅲ卷理選擇、解答題各1道，分值為17分，占試卷總分的 11.3%，文選擇、填空、解答題各1道，分值為22分，占試卷總分的14.7%;北京卷文、理各1道解答題，分值分別為13、12分，占試卷總分的8.7%、8.0%;天津卷文、理各1道解答題，分值均為13分，占試卷總分的8.7%;上海卷2道選擇題，江蘇卷2道填空題，分值均為10分，占試卷總分的6.7%;浙江卷選擇、填空題各1道，分值為8分，占試卷總分的5.3%.

從考查內容看，13套試卷對概率統(tǒng)計知識的考查涉及幾何概型、古典概型、頻率分布直方圖、樣本估計總體、樣本數字特征（平均數、中位數）、回歸直線方程、莖葉圖、2×2列聯表、獨立性檢驗、分層抽樣、列舉法計算基本事件數、計數原理、組合、互斥事件概率加法公式、獨立事件概率乘法公式、獨立重復試驗、兩點分布及其方差、二項分布及其期望與方差、超幾何分布及其期望、離散型隨機變量的分布列及方差，內容零碎，覆蓋面廣.

從難易程度來看，絕大部分試題難度低，但全國Ⅰ、Ⅲ卷理、北京卷理、天津卷理、浙江卷、上海卷中出現中檔題，全國Ⅰ卷理出現了較難的題.

2 高考試卷考查“概率統(tǒng)計”知識的試題特點分析

2.1 以經典類型題為主，考查基礎知識

試題以考查概率統(tǒng)計內容中的基礎知識為主，多為考生在平時訓練中所做的經典類型題，如全國Ⅰ卷理15、文19，全國Ⅱ卷文5、文理18，全國Ⅲ卷文14、文理18，北京卷文、理17，天津卷文15、理16，上海卷9，江蘇卷3、6，浙江卷16均屬于這類題.

例1? （江蘇卷6）某興趣小組有2名男生和3名女生，現從中任選2名學生去參加活動，則恰好選中2名女生的概率為[CD#3].

分析 本題考查基本事件數的求法及古典概型，屬于基礎題.先算出基本事件數，方法有列舉法、樹狀圖法及排列組合法，再用古典概型概率公式得出結果.

2.2 以數學史料為引子，考查數學思想方法

例2 （全國Ⅰ卷理10）下圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則（? ）.

A.p1=p2 ??B. p1=p3

C. p2=p3? D. p1=p2+p3

分析? 本題以希波克拉底所研究的幾何圖形為引子，考查面積型幾何概型問題及數形結合思想方法.根據面積型幾何概型的概率公式，將比較概率的大小問題轉化為比較區(qū)域的面積的大小，利用相關圖形的面積公式求得結果.設Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ部分的面積分別為S1、S 2、S 3，易求得 S1= S2，所以 p1= p2，故選A.

例3? （全國Ⅱ卷理8）我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”，如30=7+23.在不超過30的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于30的概率是（? ）.

A. 1 12?? B.? 1 14 ???C.? 1 15?? D.? 1 18

分析 本題以哥德巴赫猜想為引子考查古典概型及分類思想方法.不超過30的素數有10個，隨機選取兩個不同的數，共有 C 210=45種方法，其中和等于30的選法有3種（7+23=11+19=13+17=30），故概率為 3 45 = 1 15 ，選C.

2.3 以問題情境為載體，考查數學核心素養(yǎng)

概率統(tǒng)計試題幾乎都有一定的背景，這些背景就是問題情境，將數學知識融入情境中進行考查，既有利于學生對數學知識的理解，又能體現出對學生學科核心素養(yǎng)的要求.

例4 （北京卷文17）電影公司隨機收集了電影的有關數據，經分類整理得到下表：

（Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率;

（Ⅱ）隨機選取1部電影，估計這部電影沒有獲得好評的概率;

（Ⅲ）電影公司為增加投資回報，擬改變投資策略，這將導致不同類型電影的好評率發(fā)生變化.假設表格中只有兩類電影的好評率數據發(fā)生變化，那么哪類電影的好評率增加0.1，哪類電影的好評率減少0.1，使得獲得好評的電影總部數與樣本中的電影總部數的比值達到最大？（只需寫出結論）

分析 本題主要考查樣本估計總體、古典概型.以電影的好評率為問題情境考查學生的數據分析、數學建模、邏輯推理和數學運算素養(yǎng)，貼近生活.（1）分別計算樣本中電影總部數及第四類電影中獲得好評的電影部數，代入公式可得概率;（2）利用古典概型公式，計算沒有獲得好評的電影部數，代入公式可得概率;（3）根據每類電影獲得好評的部數做出合理建議.

2.4 以知識融合為新意，考查應用、創(chuàng)新意識

例5? （全國Ⅲ卷理8）某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為P，各成員的支付方式相互獨立，設X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數，DX=2.4，P（X=4）<P（X=6），則P=（? ）.

A.0.7?? B. 0.6?? C. 0.4?? D. 0.3

分析 本題主要考查二項分布相關知識，將二項分布的概率與不等式結合，屬于中檔題.利用公式

D（x）=nP（1-P）

=2.4，得P=0.4或P=0.6，又由P X=4 =C410P4 ?1-P 6<P X=6 =C610P6 ?1-P 4得：P>0.5，故P=0.6，選B.

例6 （全國Ⅰ卷理20）某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為p（0<p<1），且各件產品是否為不合格品相互獨立.

（1）記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f（p）的最大值點p 0.

（2）現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p 0作為p的值.已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.

（?。┤舨粚υ撓溆嘞碌漠a品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX;

（ⅱ）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？

分析 本題考查的是有關隨機變量的問題，在解題的過程中，一是要明確獨立重復試驗成功次數對應的概率公式，再者要用函數的思想來研究，應用導數求得其最小值點，在做第（2）問時，需要明確離散型隨機變量的可取值以及對應的概率，應用期望公式求得結果，再通過期望的大小關系得到結論.題目將概率與函數、導數相結合，考查學生的應用意識與創(chuàng)新意識以及對知識進行遷移以解決問題的能力，難度較大.

（1）20件產品中恰有2件不合格品的概率為f（p）= C 220 p 2 （1-p） 18.因此 f′（p）= C 220[2p （1-p） 18-18 p 2 （1-p） 17]=2 C 220p （1-p） 17（1-10p）.令 f′（p）=0，得p=0.1.當p∈（0，0.1）時， f′（p）>0;當p∈（0.1，1）時， f′（p）<0.所以f（p）的最大值點為 p0=0.1.

（2）由（1）知，p=0.1.

（?。┝頨表示余下的180件產品中的不合格品件數，依題意知Y～B（180，0.1），X=20×2+25Y，即X=40+25Y.所以EX=E（40+25Y）=40+25EY=490.

（ⅱ）如果對余下的產品作檢驗，則這一箱產品所需要的檢驗費為400元.由于EX>400，故應該對余下的產品作檢驗.

3 高中數學“概率統(tǒng)計”教學的若干建議

根據以上分析，不難發(fā)現，高考試題對于概率統(tǒng)計知識的考查主要集中在基礎知識上，絕大部分題目難度低，考綱中要求的知識點大部分被覆蓋;以數學史料為引子，考查數學思想方法;將問題設置在一定情境中考查數學核心素養(yǎng);另外將概率統(tǒng)計知識與其他知識相結合考查應用、創(chuàng)新意識.因此，在教學中應該：3.1 注重基礎知識

2018年高考數學試卷中的概率統(tǒng)計試題，緊扣考綱，考查內容零碎，覆蓋面廣.雖然題目千變萬化，但都以考查基礎知識為主.所以在平時教學中，要以課程標準為基準，以教科書為藍本，緊扣考綱，通過經典類型題進行重點練習，舉一反三，打好基礎，提高學生應對試題變化的能力.

3.2 重視數學思想方法

日本數學家米山國藏在多年的數學教育中發(fā)現，學生在學校所接受的數學知識，畢業(yè)后很快會忘記，而唯有頭腦中銘記的數學精神及數學的思想方法、研究方法、推理方法等，卻能隨時隨地發(fā)揮作用 [2].數學思想具有普遍的指導意義，蘊涵于分析和解決數學問題的過程之中.概率統(tǒng)計知識中蘊含著豐富的數學思想方法，有數學中基本的思想方法，如分類討論、數形結合、轉化化歸等，也有概率統(tǒng)計特有的數學思想，如大數定律思想、隨機變量思想、抽樣思想等 [3].因此在平時教學中，要重視這些數學思想方法的教學，從而提高學生面對不同問題能看破迷霧，抓住本質的能力.

3.3 重視問題情境

合適的的問題情境是考查數學學科核心素養(yǎng)的重要載體 [4].數學源于對現實世界的抽象，與人類和社會發(fā)展緊密聯系.將數學問題置于一定情境中，不僅能使學生意識到數學與現實世界的聯系，還能提升其數學素養(yǎng)，更能使學生學會用數學的眼光看世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達 世界.

3.4 注重概率統(tǒng)計內容與其他知識的綜合性練習

從前面的分析不難發(fā)現，高考試卷中的概率統(tǒng)計試題絕大多數難度較低，只有個別題目難度中等或較大，而這些中檔題和較難題往往是將概率統(tǒng)計知識與其他知識融合，如與立體幾何、不等式、函數、導數結合，以考查學生的應用、創(chuàng)新意識.因此在平時教學中，要注重概率統(tǒng)計內容與其他知識的綜合性練習，強化知識之間的融合性，提高學生靈活運用知識的能力，加強其應用、創(chuàng)新意識.

參考文獻

[1] 章建躍，宋莉莉，王嶸，周丹.美國高中數學核心概念圖[J].課程·教材·教法，2013，33（11）：115-121.

[2] 米山國藏. 毛正中，吳素華譯.數學的精神思想和方法[M].成都：四川教育出版社，1986.

[3] 邵光華.作為教育任務的數學思想與方法[M].上海：上海教育出版社，2009.

[4] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.