郭琪

[摘? 要] 一題多解是強(qiáng)化學(xué)生知識(shí)脈絡(luò)、深度拓展解題思維的一種重要的學(xué)習(xí)方式，對(duì)于一題多解的開展應(yīng)該從方法和思想兩個(gè)層面來進(jìn)行，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中不僅獲得解題的方法技巧，還獲得數(shù)學(xué)思想的提升. 結(jié)合兩道解析幾何題分別講解方法、思想兩個(gè)層面的多解推進(jìn).

[關(guān)鍵詞] 一題多解;圓錐曲線;方法;思想;素養(yǎng)

在現(xiàn)階段的多解探究學(xué)習(xí)中主要沿用了“問題分析—多解嘗試—方法總結(jié)”的模式，對(duì)于多解的角度和層面定位較為模糊，不能對(duì)問題的多解分析形成更為透徹的認(rèn)識(shí)，實(shí)質(zhì)上一題多解應(yīng)該從方法和思想兩個(gè)層面來滲透，這樣兩者結(jié)合的多解學(xué)習(xí)更能體現(xiàn)一題多解開展的價(jià)值.

基于方法的多解

開展多題一解，從方法層面多視角地對(duì)同一問題進(jìn)行解答是現(xiàn)階段強(qiáng)化學(xué)生知識(shí)、提升學(xué)生能力最為重要的一種方式. 采用不同的方法，基于不同的原理來分析問題需要學(xué)生掌握基本的運(yùn)算法則和較為清晰的解題思路，下面結(jié)合一道考題講解方法層面的多解.

考題：（2017年全國(guó)卷1第10題）已知拋物線C：y2=4x，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線l1，l2，且直線l1與拋物線C相交于點(diǎn)A和B，直線l2與拋物線C相交于點(diǎn)D和E，求AB+DE的最小值.

分析：相互垂直的直線l1，l2與拋物線C交于四點(diǎn)，求AB+DE的最小值，需要構(gòu)建關(guān)于直線的方程，然后聯(lián)立直線與拋物線的方程，從而分別找到AB和DE關(guān)于相關(guān)參數(shù)的關(guān)系. 構(gòu)建的方法可以采用直接法和參數(shù)法在直角坐標(biāo)中進(jìn)行，也可以采用極坐標(biāo)法在極坐標(biāo)系中進(jìn)行，需要注意的是獲得的AB+DE的值必然是一個(gè)取值范圍，要注意其等號(hào)成立的條件，下面將詳細(xì)講解直接法、參數(shù)法和極坐標(biāo)法的解題過程.

解法1：直線法

解法2：參數(shù)法

解法3：極坐標(biāo)法

由題意可知p=2，以拋物線焦點(diǎn)為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，拋物線開口向右，極坐標(biāo)方程為ρ=■，假設(shè)點(diǎn)A的極角為α，點(diǎn)B的極角為π+α，AB=ρA+ρB=■，同理可得DE=■，AB+DE=■+■=■≥16，當(dāng)且僅當(dāng)α=■時(shí)，AB+DE取得最小值16.

點(diǎn)評(píng)：直接法、參數(shù)法和極坐標(biāo)法都是構(gòu)建直線或曲線方程常用的方法，都有其自身的特點(diǎn)，以參數(shù)法為例，通過參數(shù)的設(shè)定，利用參數(shù)來描述直線的變化規(guī)律，將待求問題轉(zhuǎn)化為研究解析幾何的參數(shù)關(guān)系，避免了中間繁復(fù)的運(yùn)算過程. 三種方法的解題思路均是相同的，構(gòu)建直線方程是基礎(chǔ)，探究弦長(zhǎng)與相關(guān)參數(shù)關(guān)系是關(guān)鍵，選擇合理的等號(hào)成立條件是重點(diǎn).

■基于思想的多解

在解題過程中滲透數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)解題的更深層次，同樣開展數(shù)學(xué)一題多解的學(xué)習(xí)可以從思想層面進(jìn)行，即采用不同的數(shù)學(xué)思想對(duì)同一問題進(jìn)行分析、運(yùn)算，從而降低思維難度，實(shí)現(xiàn)問題的簡(jiǎn)單作答，該過程不僅可以強(qiáng)化解題技巧，還可以深入學(xué)習(xí)解題思想，實(shí)現(xiàn)思想方法與實(shí)戰(zhàn)練習(xí)的結(jié)合，接下來將結(jié)合一道?？碱}講解思想層面的一題多解.

考題：已知一拋物線C：y=x2+1，以及x軸上一動(dòng)點(diǎn)A（a，0），過點(diǎn)A引出拋物線的兩條切線AP和AQ，其切點(diǎn)分別為點(diǎn)P，Q，設(shè)其切線AP，AQ的斜率分別為k1和k2.

（1）試證明k1k2=-4;

（2）試分析直線PQ是否會(huì)通過定點(diǎn)，如果通過請(qǐng)寫出定點(diǎn)坐標(biāo)，否則說明不通過的理由.

第（1）問分析：證明兩斜率之積為一定值，該過程必然需要將斜率用相關(guān)參數(shù)表示，則需要聯(lián)立直線與拋物線的方程，為減少計(jì)算量可嘗試采用設(shè)而不求思想和類比思想.

解法1：設(shè)而不求思想

假設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A并與拋物線相切的直線斜率為k，切線方程為y=k（x-a），聯(lián)立切線方程和拋物線解析式，y=k（x-a），y=x2+1，整理得x2-kx+（ka+1）=0，Δ=k2-4ak-4=0，k1和k2是方程的兩個(gè)解，所以有k1k2=-4，證畢.

解法2：類比思想

第（2）問分析：分析直線通過的定點(diǎn)，需要求出直線的方程，總體上來說可以先設(shè)出直線上點(diǎn)P和Q的坐標(biāo)，通過關(guān)系聯(lián)立，基于兩點(diǎn)來建立直線的斜率公式，從而逐步求解直線的方程，從思想層面來分析構(gòu)建過程可以采用類比思想、整體代換思想和設(shè)而不求思想.

解法1：類比思想

解法2：整體代換思想

解法3：設(shè)而不求思想

點(diǎn)評(píng)：上述題目為高中解析幾何問題，計(jì)算量大、求解復(fù)雜是其最為典型的特點(diǎn)，因此從思想層面的分析、簡(jiǎn)化步驟可以采用設(shè)而不求、類比和整體代換等思想，題目的求解過程也同樣是基于上述思想來設(shè)未知量，構(gòu)建基本的解題框架，最終實(shí)現(xiàn)了問題的高效求解.

關(guān)于教學(xué)實(shí)踐的啟示

1. 扎實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，生成程序化思路

小問題蘊(yùn)含大智慧，同樣的大問題需從基礎(chǔ)問題入手，尤其適用于高考、?？贾械木C合題，上述求解解析幾何的綜合題是從不同的角度進(jìn)行的分析解答，可以明顯注意到無論是哪種角度都是采用最為基礎(chǔ)的方法、定理以及公式，運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)來逐步探究問題，從而構(gòu)建問題的解題思路. 當(dāng)然，基礎(chǔ)知識(shí)是一方面，靈活選用是解題的另一方面，但是沒有扎實(shí)的基礎(chǔ)以及對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的深刻理解，就做不到準(zhǔn)確把握解題方向，無法順利推進(jìn)解題進(jìn)程，更無法在解題過程中抓住思維靈光一閃的瞬間，促成解題思維的頓悟. 因此，注重基礎(chǔ)、生成程序化思考問題的習(xí)慣應(yīng)成為學(xué)習(xí)的重要任務(wù).

2. 并重方法與思想，擴(kuò)充思維深度

傳統(tǒng)的多解探究更為注重對(duì)于方法選取的思考，多解的思想過于狹隘，在當(dāng)下注重學(xué)生方法、能力、思想等多方面提升的環(huán)境下，開展一題多解的探究應(yīng)從方法和思想兩方面來進(jìn)行，尤其是更深層的多思應(yīng)成為多解學(xué)習(xí)過程中的重點(diǎn). 將方法和思想結(jié)合起來，在多解的過程中滲透數(shù)學(xué)思想，用思想方法來引領(lǐng)一題多解，讓學(xué)生不僅掌握數(shù)學(xué)的解題方法，還要通過思想方法的多思獲得數(shù)學(xué)思想的提升，從而真正實(shí)現(xiàn)“解一道題，會(huì)一類題”的學(xué)習(xí)效果，確保學(xué)生思想深度的擴(kuò)充.

3. 培養(yǎng)思維品質(zhì)，落實(shí)核心素養(yǎng)

在中學(xué)教學(xué)中落實(shí)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)是課改推行的首要任務(wù)，提升數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)，不止于解題本身，是真正做到理解數(shù)學(xué)，掌握數(shù)學(xué). 對(duì)于圓錐曲線問題，解題的關(guān)鍵能力是數(shù)學(xué)關(guān)系的邏輯推理和數(shù)學(xué)的技巧運(yùn)算，做到兩者的完美結(jié)合可實(shí)現(xiàn)問題的完美作答，對(duì)于一題多解同樣適用，只是在前者的基礎(chǔ)上增加了更多思想層面的思考. 因此，在實(shí)踐教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生更多地掌握解題的運(yùn)算法則、解題的思路要點(diǎn)，領(lǐng)悟解題的思維視角，逐步幫助學(xué)生養(yǎng)成有條理、重論據(jù)、講道理的思維品質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.

寫在最后

總之，對(duì)于一題多解的探究需要從方法和思想兩個(gè)層面來進(jìn)行，透過問題現(xiàn)象，把握問題本質(zhì)，從解題思路入手，選取合適的解題方法和解題思想，用思想指導(dǎo)方法，用方法簡(jiǎn)化過程，最終實(shí)現(xiàn)高效解題的目的. 另外，在教學(xué)中要合理、適度地開展一題多解，通過方法和思想的雙重指導(dǎo)，提升學(xué)生解題能力，發(fā)展學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性，在解題中逐步培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，形成數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).