郝琳

[摘? 要] 圓錐曲線是平面解析幾何的重要部分，這部分內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)中重要的內(nèi)容，也一直是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)，也是難點(diǎn). 解析幾何首先是“幾何”，然后才是解析，解析幾何中的“幾何性質(zhì)”與“幾何特征”往往是解決問題、突破思維障礙的關(guān)鍵.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);圓錐曲線;高考;變式教學(xué)

在解析幾何創(chuàng)立之前，幾何與代數(shù)是彼此獨(dú)立的兩個(gè)分支. 解析幾何的建立第一次實(shí)現(xiàn)了幾何方法與代數(shù)方法的結(jié)合，使數(shù)形統(tǒng)一. 解析幾何首先是“幾何”，然后才是解析，故解析幾何中的“幾何性質(zhì)”與“幾何特征”往往是解決問題、突破思維障礙的關(guān)鍵. 當(dāng)然做解析幾何題必須養(yǎng)成先畫圖的習(xí)慣，科學(xué)而準(zhǔn)確的運(yùn)算方法則是解決解析幾何問題的又一個(gè)關(guān)鍵.

圓錐曲線是平面解析幾何的重要部分，這部分內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)中重要的內(nèi)容，也一直是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)，也是難點(diǎn). 以2016年全國卷Ⅰ理科第20題為例，說說在高考中圓錐曲線的問題.

？搖？搖設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

（Ⅰ）證明EA+EB為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程;

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

考查內(nèi)容是圓錐曲線的有關(guān)知識. 其中，第（Ⅰ）問考查圓錐曲線的定義. 其實(shí)，在2013年全國卷Ⅰ理科第20題的第（Ⅰ）問中也是利用圓錐曲線的定義來求解軌跡方程. 它們都是出自人民教育出版社選修2-1課本第49頁第7題，所以我們在教學(xué)中一定要重視課本，熟練掌握每一道習(xí)題的解法.

分析：根據(jù)要證EA+EB為定值和已知A，B為關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)定點(diǎn)，猜測軌跡為橢圓，其中隱含條件是半徑為定值，所以往半徑靠攏，求出a和c，寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)為橢圓的定義，注意（-1，0）和（1，0）兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的提示作用. 學(xué)生解答過程中的難點(diǎn)是：一是第二問中能否把四邊形的面積轉(zhuǎn)化為對角線乘積的一半;二是求面積的取值范圍能否轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題.易錯(cuò)點(diǎn)：一是第一問中曲線和方程的關(guān)系找不準(zhǔn)，不能排除一些不符合題意的點(diǎn);二是設(shè)直線方程時(shí)未考慮斜率不存在的情況;三是弦長公式記不住.

（Ⅰ）解法一：利用兩直線平行，同位角相等先得出角的關(guān)系，再由角的關(guān)系得出EB=ED，進(jìn)而得出EA+EB為定值4，大于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離2，所以軌跡為橢圓，a=2，c=1，寫出軌跡方程，其中不符合題意的點(diǎn)一定要去掉.

因?yàn)锳D=AC，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，

所以EB=ED，故EA+EB=EA+ED=AD.

根據(jù)此題，可以做以下變式.

變式1：題設(shè)條件不變，把過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E改為過B作AD的平行線交AC于點(diǎn)E，求解問題不變.

變式2：把B點(diǎn)挪到圓A的外面，縮小圓的半徑.

設(shè)圓x2+2x+y2=0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD的延長線或其反向延長線于點(diǎn)E.

（Ⅰ）證明EA？搖-EB？搖為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程;

（Ⅱ）（同上）.