席愛勇

摘要：數(shù)學表達是學生數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展的重要的實踐范式。數(shù)學表達可以改善學生的數(shù)學學習生態(tài)、教師的數(shù)學教學生態(tài)、課堂的教學相長生態(tài)和課程的動態(tài)發(fā)展生態(tài)，通過動作表達、口語表達和書面表達，幫助學生不斷建構(gòu)對數(shù)學知識的理解，強化數(shù)學技能的掌握，呈現(xiàn)數(shù)學觀察、實驗、猜想、運算、推理、驗證等思維過程以及數(shù)學問題解決的思路方案，讓學生的數(shù)學核心素養(yǎng)落地生根。

關(guān)鍵詞：數(shù)學表達；實踐范式；數(shù)學核心素養(yǎng)

中圖分類號：623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2017）11B-0020-04

當前，數(shù)學教育已聚焦于發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)，讓學生逐步學會用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的思維分析世界，用數(shù)學的語言表達世界。如何讓這樣的數(shù)學教育目標落地生根，已成為一線教師思考和探索的熱門話題。在教學實踐中，筆者嘗試以數(shù)學表達為突破口，著力于探索發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的實踐范式。

一、數(shù)學表達的內(nèi)涵和價值

所謂數(shù)學表達，就是用動作、口語或書面（圖像、符號、文字等）的形式描述展示數(shù)學知識技能、思維過程、思想方法、問題解決等的一種行為。數(shù)學表達以數(shù)學交流和傳播為目的，以數(shù)量關(guān)系和空間形式為內(nèi)容，以數(shù)學語言（圖像語言、符號語言、文字語言）為工具，以動作、口語、神情或書寫為媒介。

數(shù)學表達是學生數(shù)學學習的重要環(huán)節(jié)。通過數(shù)學表達，可以幫助學生不斷建構(gòu)數(shù)學知識的理解，強化數(shù)學技能的掌握，呈現(xiàn)數(shù)學觀察、實驗、猜想、運算、推理、驗證等思維過程以及數(shù)學問題解決的思路方案，是聚焦學生數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展的有效實踐范式。

數(shù)學表達，可以改善學生的數(shù)學學習生態(tài)，讓學生從被動的聽講、做題、訂正、大量做題，到主動的觀察、操作、思維、表達、交流與反思，把數(shù)學學習從知識技能訓練上升到數(shù)學文化交流的層面。這個過程有助于學生自我反思、自我完善、自我評價和自我提升，在比較輕松的環(huán)境氛圍中深刻理解數(shù)學知識，靈活掌握數(shù)學技能，不斷提升數(shù)學思維能力和品質(zhì)，提高數(shù)學表達和交流能力。

數(shù)學表達，可以改善教師的數(shù)學教學生態(tài)，讓教師從繁重瑣碎的講解、練習、批改和輔導中解脫出來，更具智慧地傾聽、點撥、激勵和指導，真正地以學生為主體。這個過程有助于教師更多地從學生視角思考教學，及時把握學生的思維狀態(tài)、生成狀態(tài)，及時了解學生，讀懂學生，研究學生，及時采取有效措施進行有針對性的教學，錘煉更靈活的動態(tài)調(diào)整和即時應答的教學智慧，有利于促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的更好發(fā)展。

數(shù)學表達，可以改善課堂的教學相長生態(tài)。數(shù)學課堂是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的教學相長的重要載體，通過重建“數(shù)學問題情境—個體嘗試性表達—集體完善性表達—實踐應用性表達—總結(jié)拓展性表達”的數(shù)學表達課堂，可以讓數(shù)學課堂更具智慧生成性和互動發(fā)展性。

數(shù)學表達，可以改善課程的動態(tài)發(fā)展生態(tài)，讓數(shù)學課程從國家規(guī)定、教材編定、師生執(zhí)行的固定不變狀態(tài)，變成師生共同開發(fā)、不斷進行資源整合的多元化動態(tài)發(fā)展狀態(tài)，為促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展搭建更有利的平臺。

二、數(shù)學表達的實踐策略

（一）動作表達：在直觀中發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)

動作表達，可以通過運動、動手操作或數(shù)學實驗，積累感性經(jīng)驗，發(fā)展學生直觀想象能力，融通感性和理性的通道，達到認識和理解數(shù)學的目的，讓學生有一種豁然開朗的感覺。

1.動作演示，直觀認識數(shù)學

在數(shù)學教學中，教師可以有意識地將數(shù)學書面表達的內(nèi)容轉(zhuǎn)換成動作表達，轉(zhuǎn)換成生動有趣的動作表演或演示，讓學生在積極體驗中認識和理解數(shù)學。

例如在《平移和旋轉(zhuǎn)》的教學中，學生在觀察生活中的平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象后不僅要學會用口語來描述，還應該學會用手勢來表達平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。在《認識方向》的教學中，筆者讓學生來到學校操場，站立，面向早晨冉冉升起的太陽，一邊做動作操一邊說：“前面是東，后面是西，左面是北，右面是南?！比缓箅S意變換方向，讓學生繼續(xù)邊做動作操邊說。學生在輕松愉悅的自編自做的動作操中認識了生活中的東南西北，理解了東南西北方向的穩(wěn)定性和前后左右的相對性。

2.數(shù)學實驗，直觀理解數(shù)學

學生受認知水平的限制，在一定年齡階段很難從理性上深刻認識和理解某些數(shù)學知識，通過數(shù)學實驗，從感性層面讓學生進行直觀的認識和理解可能會更好。例如，讓小學六年級學生從理性層面理解“在周長一定的情況下，圓的面積最大”比較困難，這時就可以做一個數(shù)學實驗。讓學生用同一根繩子先后圍成一個三角形、一個長方形、一個正方形、一個五邊形、一個六邊形、一個圓形，學生一邊圍一邊觀察，就會直觀感受到圍的面積越來越大，圍成圓后，再也無法圍成面積更大的圖形了，較輕松地理解了“在周長一定的情況下，圓的面積最大?！痹偃纾锰炱阶鰯?shù)學實驗可以讓學生直觀理解1千克鐵和1千克棉花一樣重。在天平左邊放1千克鐵，在天平右邊放1千克棉花，觀察天平是否仍然保持平衡。類似的，還可以利用天平做數(shù)學實驗，引領(lǐng)學生直觀理解等式的性質(zhì)，天平平衡后在兩邊加入或拿走同樣重的砝碼，觀察天平是否仍然保持平衡，從而直觀理解等式的性質(zhì)：在等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，結(jié)果仍然是等式。

（二）口語表達：在言說中發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)

讓學生講給別人聽，往往比聽別人講更高效，學生能言說到什么程度，常常說明了他們的理解程度。因此，讓學生用口語來表達對數(shù)學的認識和理解，是重要的數(shù)學學習方法和策略。

1.動作口語化表達

在《軸對稱圖形》的教學中，筆者讓學生先觀察生活中的對稱現(xiàn)象，折線兩邊一模一樣，然后把軸對稱圖形進行對折，在動手操作中發(fā)現(xiàn)折線兩邊都能完全重合。這時，最好讓學生用口語把操作過程表達出來：“通過對折，折線兩邊能夠完全重合，這樣的圖形就是軸對稱圖形?！?/p>

2.圖像口語化表達endprint

在《認識方程》的教學中，筆者讓學生看圖1進行說話，把每一幅圖的意思用口語表達出來：第1幅圖表示在天平的左邊放了x克正方體木塊和50克砝碼，在天平的右邊放了100克砝碼，發(fā)現(xiàn)天平向左邊傾斜，說明x克正方體木塊和50克砝碼的和，比100克砝碼重。第二幅圖表示把天平右邊的100克砝碼換成200克砝碼，結(jié)果發(fā)現(xiàn)天平向右邊傾斜，說明x克正方體木塊和50克砝碼的和，比100克砝碼輕。第三幅圖表示把天平右邊的200克砝碼換成100克砝碼和50克砝碼，結(jié)果發(fā)現(xiàn)天平平衡了，說明x克正方體木塊和50克砝碼的和，與右邊150克砝碼一樣重。學生能用口語表達出來下面三幅圖的意思，說明初步看懂并認識了不等式和等式的本質(zhì)。在此基礎(chǔ)上，教師引導學生分別用式子表示出三幅圖表達的意思，學生就能很快寫出：x+50>100，x+50<200，x+50=150。

3.符號口語化表達

數(shù)學教材中很多符號表達式需要通過口語化表達來解讀，才能被更多學生所理解和接受。在數(shù)學教學中，教師要適時引導學生對教材中的數(shù)學符號表達式進行解讀，讓他們明白蘊含其中的本質(zhì)內(nèi)涵。例如，s=vt表示“路程=速度×時間”，還表示“路程一定，速度和時間成反比；速度一定，路程和時間成正比；時間一定，路程和速度成正比?！盿+b=b+a表示加法交換律，即“交換兩個加數(shù)的位置，和不變。”

（三）書面表達：在表征中發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)

教學實踐中，引導學生把生活現(xiàn)象數(shù)學化，用圖像、符號或文字表達出來，有助于學生在多元表征中認識、理解和應用數(shù)學。

1.圖像表達，在直觀表征中發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)

用圖像表達可以把抽象的數(shù)學直觀形象化，易于理解和掌握。這里的圖像既可以是實物圖，也可以是示意圖、統(tǒng)計圖、流程圖、網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)圖或思維導圖等等。我們可以根據(jù)實際需要，靈活選擇合適的表達方式，如算理可以選擇實物圖或示意圖表達。圖2即是用實物圖和計數(shù)器兩種圖像表示45+3。

我們還可以選擇網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)圖對數(shù)學知識實現(xiàn)連點成線，連線成面，連面成體。在這個過程中，學生的數(shù)學思維逐步從零散走向聯(lián)系，從碎片走向系統(tǒng)，從而打通數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系，實現(xiàn)系統(tǒng)化建構(gòu)，便于他們在以后相關(guān)的數(shù)學學習和生活實踐中靈活提取和綜合應用。

例如，學生學完“三角形”以后，筆者引導他們作一些梳理。圖3可以清晰看出，學生從三角形的角、邊、高三個緯度出發(fā)，每一個緯度又可分成“特點、規(guī)律、分類、作圖” 等多個方面，多維度、網(wǎng)絡化、立體式建構(gòu)三角形的知識結(jié)構(gòu)體系。學生以后再學習三角形的相關(guān)知識（如初中學習全等三角形和相似三角形、三角函數(shù)等）也會自然從這些緯度進行數(shù)學思維，不斷充實完善三角形的知識結(jié)構(gòu)體系。同時，學生在遇到三角形方面的實際問題時，也會自然從這些緯度靈活提取相關(guān)數(shù)學知識，綜合運用相關(guān)數(shù)學知識分析解決實際問題。可見，圖3不僅僅是三角形知識結(jié)構(gòu)的全面整理，更是學生對三角形全面再認識的數(shù)學思維的系統(tǒng)整理。

2.符號表達，在符號表征中發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)

數(shù)學是一個符號系統(tǒng)，符號既是數(shù)學的語言，也是數(shù)學的工具，更是數(shù)學的方法。符號的認識和使用貫穿于學生數(shù)學學習的始終，學生從認識數(shù)學符號開始，經(jīng)歷表征數(shù)學符號的意義和結(jié)構(gòu)，使用數(shù)學符號解決數(shù)學和生活實際問題，建構(gòu)數(shù)學模型，進行數(shù)學思考和表達交流，形成數(shù)學符號意識的過程。

用符號表達可以分為三個階段。

第一階段：符號認知階段。具體表現(xiàn)為能認識符號，理解符號所表示的數(shù)學含義和結(jié)構(gòu)；能使用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，建構(gòu)數(shù)學模型；能解釋符號所表示的數(shù)學含義和結(jié)構(gòu)。

義務教育階段，學生需要認識和理解的數(shù)學符號主要有：（1）數(shù)字符號：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。（2）字母符號：S（面積）、h（高）、s（路程）、v（速度）t（時間）等等。（3）關(guān)系符號：>、<、=、≈、≠、≥、≤、⊥、∥、≌、∽等等。（4）運算符號：+、-、×、÷ 等等。（5）分類符號：（ ）、[ ]、{ }等等。（6）單位符號：km、m、dm、cm、mm、㎡、t、kg、g、℃、%等等。（7）定義符號：∠1、△ABC、∣-3∣、（1，2）等等。

每種數(shù)學符號都有它特定的數(shù)學含義、使用規(guī)則和結(jié)構(gòu)特點，學生首先要逐步認識各種類型的數(shù)學符號，理解并能解釋各種數(shù)學符號所表示的數(shù)學含義，符號與符號之間的內(nèi)在聯(lián)系，符號的使用規(guī)則和結(jié)構(gòu)特點，為正確使用符號做好準備。使用符號表示數(shù)，這里的數(shù)，既可以是某個未知數(shù)，也可以是某個區(qū)間內(nèi)的數(shù)，還可以是不斷變化的數(shù)；用符號表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，可以是代數(shù)式、方程、不等式，也可以是數(shù)學公式、函數(shù)關(guān)系式等數(shù)學模型。

符號表征不僅表現(xiàn)在能正確認識、理解和使用數(shù)學符號，還表現(xiàn)在能正確解釋符號所表示的數(shù)學含義和結(jié)構(gòu)。如x在方程中表示未知數(shù)，在函數(shù)中則表示自變量；（4，6）既可以表示點的坐標，也可以表示求4和6的最大公因數(shù)；a+b=b+a表示加法交換律等等。學生要能夠根據(jù)數(shù)學背景正確解釋符號所表示的數(shù)學含義和結(jié)構(gòu)。

第二階段：符號操作階段。具體表現(xiàn)為掌握符號的使用規(guī)則和操作程序，使用符號進行形式運算和推理，作出判斷，知道得到的結(jié)論具有一般性。如根據(jù)等式的性質(zhì)解方程或進行公式變形等等。使用符號進行數(shù)學證明的過程，就是一個推理過程，最簡單的如a>b，b>c，則a>c。

第三階段：符號思維階段。具體表現(xiàn)為能自覺主動、自動化使用符號和表達式進行思考和交流，把符號作為發(fā)現(xiàn)和解決問題的工具，用“代數(shù)”的眼光看待社會生活現(xiàn)象，進行綜合實踐與創(chuàng)新，形成符號的思維方式和表達交流意識。

3.文字表達，在文字表征中發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)

數(shù)學要通過對數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象而抽象出數(shù)學概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學符號或者數(shù)學術(shù)語予以表征，形成數(shù)學概念、命題、結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)。因此，學生能夠科學規(guī)范地使用數(shù)學術(shù)語，表達數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、概率與統(tǒng)計等領(lǐng)域的數(shù)學內(nèi)容，是數(shù)學核心素養(yǎng)高的重要標志。endprint

4.綜合表達，在多元表征中發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)

綜合運用圖像、符號、文字進行多元化靈活性的數(shù)學表達，有利于幫助學生實現(xiàn)各種表達方式之間的靈活轉(zhuǎn)換，逐步學會根據(jù)實際情況和需要選擇運用合適的表達方式，發(fā)展學生開放靈活的綜合性思維。

例如24+18的計算過程可以用三種表征方式，表達如下：

數(shù)學表達，從內(nèi)容層面，聚焦于數(shù)學運算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析；從思想層面，聚焦于數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學模型；從文化層面，聚焦于數(shù)學作為科學語言的文化交流和推動人類社會發(fā)展進步的功能。數(shù)學表達，真正讓學生的數(shù)學核心素養(yǎng)落地生根。

責任編輯：宣麗華

Abstract： Mathematics expression is an important practical paradigm for the development of students mathematics core accomplishments， and it can improve students learning ecology， teachers teaching ecology， classroom teaching ecology and curriculum dynamic developmental ecology. Action， oral and written expressions can help students constantly construct their understanding of mathematics knowledge and reinforce their mastery of mathematics skills. Meanwhile， presentation of such thinking process as mathematics observation， experiment， guess， operation， reasoning and testing can help them form and develop their mathematics core accomplishments.

Key words： mathematics expression； practical paradigm； mathematics core accomplishmentendprint