李世強

【摘 要】數(shù)學(xué)例題教學(xué)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的必備環(huán)節(jié)，是教師教會學(xué)生學(xué)會獨立思考問題解決問題的重要過程，是授漁以學(xué)生的必要途徑，使學(xué)生深刻理解例題作用，從而高度重視教材例題示范作用。本文正是基于這樣的出發(fā)點針對教師在教學(xué)實踐中出現(xiàn)的某些不具有啟示作用的教學(xué)誤區(qū)提出自己的觀點。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；新授課；教學(xué)；思考

數(shù)學(xué)例題教學(xué)是最為基本和重要的解題教學(xué)，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的必備環(huán)節(jié)。眾所周知，例題的作用在于“加深理解、鞏固理論和培養(yǎng)技能技巧等幾個方面”。要充分實現(xiàn)這幾個方面的作用，關(guān)鍵在于所選例題的內(nèi)容，在于它的目的性。在參加外出學(xué)習(xí)和學(xué)校組織的聽課、評課等教研活動中，我們不難發(fā)現(xiàn)，教師們對例題教學(xué)非常重視，但具體的教學(xué)實踐仍存在這樣那樣的問題。本文試圖結(jié)合具體實例談?wù)剬π率谡n例題教學(xué)的幾點想法。

一、切實反映新授內(nèi)容

既然是新授課，準確反映新授內(nèi)容，通過例題實現(xiàn)對新知識的初步理解和應(yīng)用自然是第一要務(wù)。然而在數(shù)學(xué)教學(xué)課堂上卻不盡然，比如在一堂課題為“計數(shù)原理”的公開課上，教師在引導(dǎo)學(xué)生得出分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理之后，設(shè)計了四道例題幫助學(xué)生加深對兩個原理的理解。最后一道例題如下：

某同學(xué)在讀書時，發(fā)現(xiàn)了一個數(shù)學(xué)在生物中的應(yīng)用：核糖核酸（RNA）分子是在生物細胞中發(fā)現(xiàn)的化學(xué)成分。一個RNA分子是一個有著數(shù)百個甚至數(shù)千個位置的長鏈，長鏈中每一個位置上都由一種稱為堿基的化學(xué)成分所占據(jù)，分別用A、C、G、U表示。在一個RNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，所以在任意一個位置上的堿基與其他位置上的堿基無關(guān)。假設(shè)有一類RNA分子是有100個位置的長鏈，每個位置由A、C、G、U中的1個堿基占據(jù)，那么有多少種不同的RNA分子？

教師的初衷是好的，希望通過這樣一道與其它學(xué)科相結(jié)合的問題，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性特征。問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)并不復(fù)雜，但由于問題的大部分內(nèi)容與剛接觸到的計數(shù)原理無關(guān)，在課堂上作為例題出示似有不妥，也許更適切的做法是作為閱讀材料留待學(xué)生課下解決。

課堂的實際情況也充分反映了這道例題的不適當。教師忙于帶著學(xué)生讀題、解題，以致占用了本應(yīng)進行課堂總結(jié)的時間，未能更為明晰地揭示兩種計數(shù)原理的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

教師完全可以通過例題的恰當選取和合理運用實現(xiàn)對兩類計數(shù)原理本質(zhì)異同的切實反映，如“人教版”高中數(shù)學(xué)教材第二冊（下A）第81頁給出的例1：

書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書。

（1）從書架上任取一本書，有多少種不同的取法？

（2）從書架的第1、2、3層各取一本書，有多少種不同的取法？

第（1）問是一步可以完成的問題，應(yīng)用分類計數(shù)原理解決；第（2）問是需要多步才能完成的問題（此步需要3步），應(yīng)用分步計數(shù)原理解決。教師的任務(wù)即是通過情境并不復(fù)雜的問題使學(xué)生明確分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的本質(zhì)與應(yīng)用。這個例題可以較好地承擔辨析兩類原理模型本質(zhì)的任務(wù)，無需教師苦心孤詣地另外尋找吸引眼球的題目。

二、注意體現(xiàn)題目的層次性

新授課例題教學(xué)除了緊密切合新授課教材內(nèi)容外，還要發(fā)揮承前啟后的作用，注意體現(xiàn)題目的梯度和層次性，使得學(xué)生思考解決例題的過程既涉及到對已有相關(guān)新知識的復(fù)習(xí)回顧，又進一步指出下一步學(xué)習(xí)的方向。

比如，對于高中“任意角的三角函數(shù)”的教學(xué)，由于學(xué)生在初中已接觸過銳角三角函數(shù)的定義，在面臨任意角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)時，就可能產(chǎn)生如下幾個認知障礙：（1）角的范圍由銳角擴大到任意角；（2）研究方法發(fā)生變化，高中要利用坐標的比例建立關(guān)于任意角三角函數(shù)的解析定義；（3）研究方法的變化帶來定義當中對應(yīng)法則的變化，初中學(xué)習(xí)的三角函數(shù)定義利用的是在三角形中邊的比值，而高中需要利用坐標的比例建立角的集合和實數(shù)集之間的一一對應(yīng)關(guān)系。這些認知障礙如果不能得到有效解決，會長期困惑學(xué)生對任意角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用。如何解決？直接告訴學(xué)生這些明確的結(jié)論顯然不是有效的方法，只能通過對某些具體例子的研究使得學(xué)生感受在三角函數(shù)由銳角擴展到任意角過程中發(fā)生的變化。

“人教版”教材中提供了一個可資為用的例子：已知角α的終邊經(jīng)過點（-3，-4），求角α的正弦、余弦和正切值。如果教師在課堂上能夠有效利用這個例子，它完全能起到前述梯度和層次性的要求，起到幫助學(xué)生解除認知障礙的作用。對于這個問題，在新授課進行之初，教師就可以將題目中的角α限定為第一象限內(nèi)的經(jīng)過點（3，4）的銳角，指導(dǎo)學(xué)生利用初中三角函數(shù)的定義加以解決。這既是對初中相關(guān)內(nèi)容的復(fù)習(xí)，又為下一步提出新的需要建立新定義才可以解決的問題埋下了伏筆。這一環(huán)節(jié)進行之后，教師再將“經(jīng)過點（3，4）”改為“經(jīng)過點（-3，-4）”并不限制到底是哪一象限內(nèi)的角，再詢問學(xué)生如何解決。這個時候，教材上例題的價值就得以更充分地體現(xiàn)。學(xué)生也會覺得此時應(yīng)該學(xué)習(xí)“任意角的三角函數(shù)”，而不是被動地接受教師塞給自己的“任意角三角函數(shù)”，學(xué)習(xí)的興趣和主動性都得到了較大程度的提升。

三、努力為學(xué)生提供“內(nèi)部的幫助”

所謂“內(nèi)部的幫助”是指解題者熱切關(guān)心自己面臨的問題并依靠自身所熟悉方法解出問題的力量。反之，與方法極少關(guān)聯(lián)的幫助稱之為外部的幫助。

外部的幫助只對學(xué)生解決當前的問題，只是在解決當前問題的時候能夠發(fā)揮作用，這種“作用”往往很難遷移到新的問題情境之中，甚至出現(xiàn)這種情況：一段時間后，面對同樣的問題，學(xué)生可能忘記之前教師提供的“外部幫助”，仍然不知道怎么解題。

內(nèi)部的幫助則不同，在具備了了解決問題的相關(guān)知識基礎(chǔ)的前提下，它指引著解決問題的方向，提出了解決問題的一般化方法，并將問題化難為易、化繁為簡。通過一個個的方法或建議，問題的整個解決過程被分解為達成一個個階段性目標的過程。整個過程不僅解決了當前的一個問題，而且提供了解決一大類問題的可操作性的方法與策略。

如何判斷教師給予學(xué)生的幫助是“內(nèi)部的”還是“外部的”？怎樣為學(xué)生提供“內(nèi)部的幫助”呢？最簡潔的判斷標準即是考察教師提供給學(xué)生的是什么。是學(xué)生能夠獨立想到并遷移到某一類問題上的提問和建議，還是非常具體的照著做的行動步驟或者可供簡單套用的原理與結(jié)論。如果是前者，教師就是在提供有教益的“內(nèi)部的幫助”。endprint