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抓住問題本質 突破教學難點
——以“烙餅問題”教學為例

2018-01-26 22:47吳新結
教學月刊(小學版) 2018年26期
關鍵詞:張餅個面烙餅

□ 吳新結

在“解決問題”的教學中,我們常常會面臨一些教學難點的困擾,這不僅讓我們煩惱,也在很大程度上影響教學目標的達成。教學難點產生的原因較為復雜,突破難點的方法也有很多。本文試圖以“烙餅問題”的教學為例,從不同的角度,嘗試尋找突破難點的新途徑。

近期連續(xù)觀摩了幾節(jié)“烙餅問題”的教學課,雖然學生用學具操作烙餅時熱熱鬧鬧,但教學的進程卻顯得疙疙瘩瘩。整節(jié)課忙于對具體烙法的尋找和表達,缺乏冷靜的思考和感悟。不僅對烙餅方法的探索感到茫然,而且對教材中提供的“交替烙”的方法也不能理解。常常是課堂嚴重超時,而教學效果卻不能盡如人意。課后與上課教師一起進行分析,梳理出本節(jié)課教學的幾個難點:一是優(yōu)化思想的建立;二是對烙3張餅時“交替烙”方法的理解;三是烙多張餅時發(fā)現(xiàn)規(guī)律。產生這些難點的原因是多方面的,有的是教師對教材理解有偏差,把“烙餅問題”的教學目標僅定位為尋找一種節(jié)約時間的烙餅方法,忽略了數學思想方法的滲透和引領,也有的是學生生活經驗短缺和思維能力不強所導致的。根本的原因則在于,學生被烙餅問題的新奇性所吸引,僅僅關注烙餅方法的花樣翻新,沒有透過表面現(xiàn)象把握問題的實質,沒有形成“充分利用空間”這一數學優(yōu)化的本質,始終在具體的“烙法”上糾纏,思維方向不明確,故難點重重。

如何有效突破這些難點呢?我們認為,教材用“烙餅”這一素材作為例子,意在滲透一些數學思想,其中蘊含的“優(yōu)化”思想是其靈魂。我們要用數學的眼光看待“烙餅”這一生活問題,緊緊抓住“充分利用空間”這一數學優(yōu)化的本質。在教學伊始,就借助關于2張餅的烙法的討論建立這種觀念,再運用比較、分析、化歸、分類、量化等方法,引導學生圍繞“如何充分利用空間”這一核心問題開展探索,才有可能較好地化解上述教學難點,也才有可能提高教學的效率。

基于以上認識,我們對一些教學環(huán)節(jié)進行了改進和嘗試。

一、分析問題,抓住本質

充分利用鍋的空間,這是“烙餅”這一問題優(yōu)化的具體體現(xiàn),也是該問題的數學優(yōu)化的本質。建立這一本質認識的最佳時機在烙2張餅時的思辨。我們提出問題,烙2張餅可以怎樣烙?1張1張地烙,2張一起烙(這是鍋的容量容許的)。比較兩種方法所用時間的不同,第一種方法需要12分鐘,第二種方法只要6分鐘。為什么第一種方法浪費時間呢?這是因為第一種烙法鍋里還能放一張餅同時烙而沒有放,浪費了鍋的空間,也就浪費了時間。通過比較,師生一致認為,在鍋的容量容許的情況下,充分利用鍋的空間,每次烙2張餅最節(jié)省時間。師生們的這一認識,是烙餅問題優(yōu)化的基礎,是該問題的數學優(yōu)化的本質內涵,也是進一步探索的基礎,更是思維的方向。把握這一本質認識,也就為下一步的學習打下了基礎,為難點的突破提供了可能。

二、量化引導,突破難點

教學實踐表明,烙3張餅最省時的方法(交替烙)如果放手讓學生去操作探索,是很難得到滿意的結果的,最終大多是由教師或優(yōu)生來“告訴”,費時費力不說,教學效果也很不理想。教師在這里應該有一些引導,立足優(yōu)化的本質,借助計算量化分析,引導學生有所發(fā)現(xiàn)。3張餅如果先烙2張再烙1張,第二次鍋里有空余,存在浪費的現(xiàn)象。我們不妨把“烙餅問題”簡化為烙“面”的次數。1張餅有2個面,3張餅有6個面。鍋里1次能夠也最好烙2個面,需要3分鐘,烙6個面只需要6÷2=3次,計9分鐘。這里需要強調的是,最省時的方法是鍋里每次都有2個面在烙。在具體烙法的實踐中,學生本著“鍋里不能空著”這一本質認識,基于鍋里每次都要有2個面在烙的前提,從“面”的角度對烙餅的順序做適當的調整,是不難發(fā)現(xiàn)正確的方法的。在先前經驗的基礎上,運用對本質的認識,借助計算量化,對問題進行簡潔的數學化處理,縮小了探索的范圍,明確了思維基本路徑,有助于學生的發(fā)現(xiàn),也有助于一些學生對“交替烙”這種方法意義的理解。不讓學生被動地等待,在學生百思不得其解時,予以恰當的思路點撥,教師的主導作用在這里得到了很好的發(fā)揮。

三、舉一反三,探明規(guī)律

有的教師在教學4、5、6張餅怎樣烙節(jié)省時間時,還是從具體的操作入手,沒有適時進行抽象思考。我們認為,從教學的效率來講,不容許我們還在具體的烙法上過多地糾纏,從思維能力的培養(yǎng)上來看,此時需要我們跳出具體的情境走向抽象的王國。我們提出,如果要烙很多張餅,怎樣才能保證節(jié)省時間。學生將烙3張餅時的經驗進行遷移,自然會想到,只要每次鍋里都有2個面在烙,就能保證所用的時間最少。所用時間=餅的張數×2÷2×3。進一步簡化為所用時間=餅的張數×3,也可以理解為1個餅剖開成2個面,一次烙好需要3分鐘。在具體的烙法上,我們可以利用已有的經驗,2張餅同時烙6分鐘最節(jié)省時間,3張餅交替烙9分鐘最節(jié)省時間,對4張餅和5張餅的情況進行分析。4張餅2張2張地烙,5張餅2張3張地烙。進而可分偶數張餅為若干個2的和,奇數張餅為若干個2和一個3的和,問題得到進一步的解決。不難發(fā)現(xiàn),在這里起作用的還是“充分利用空間——每次鍋里都有2個面在烙”這一本質認識,并在新的問題情境中得到拓展和深化。當然,擺脫對學具的依賴,由直觀的“烙餅”到抽象的分析,分類、轉化的思想方法在這里也起到了積極的作用。

四、教學反思,升華思想

教學至此,“烙餅問題”基本得到了解決,但教學并不能就此停下腳步。前面的關于烙餅問題的本質性認識,還囿于具體的實例,有必要將這種認識上升到對一類數學思想的感悟。我們引導學生反思,為什么不同的烙法所用的時間不同,有的節(jié)省時間,有的浪費時間?這是因為不同的烙法對鍋的使用程度不同,有的充分利用空間,有的有空余。上一節(jié)課學習的“燒開水”問題時間節(jié)省在哪里?人在等水燒開的時候,洗茶杯、找茶葉,人沒有閑著,從中我們可以體會到,人或設備在完成一些工作時,要盡量充分利用,不閑置和空余,才能最好地節(jié)省時間。人們在完成一項工作時,往往要提前籌劃,反復比較,找出最優(yōu)的方案,這就是數學上的“優(yōu)化”,也叫“統(tǒng)籌”,是一種合理安排工作進程的方法。我們熟悉的華羅庚爺爺,當年倡導、應用、推廣“統(tǒng)籌法”,為提高工廠的生產效率做出了突出的貢獻。

通過具體的教學實踐,我們發(fā)現(xiàn),課前我們提出的幾個教學難點都在一定程度上得到了較好的突破。綜觀整節(jié)課的教學,教學進程梗阻少了,思路順暢多了;漫無目的的操作少了,交流思辨多了;整節(jié)課毫無收獲的現(xiàn)象少了,有所感悟多了。這都得益于整節(jié)課始終抓住了“烙餅問題”的本質認識,教學的目的性更強,學生的思路目標更明確,學生活動經驗的積累和數學思想方法的感悟得到了落實,教學效益得到了提高。

同時我們也認識到,由于經驗、知識和認知方

式的局限,學生對某些生活問題往往只能夠關注其表面現(xiàn)象,對問題的數學本質缺乏深刻全面的認識,影響他們對問題的順利解決。在教學中,教師有責任引導學生透過事物的表面現(xiàn)象審視其數學實質,縮短學生已有認知水平和新學習內容之間的差距,尋找新知識的落腳點,搭建認知跨越的平臺。

我們知道,一類問題中往往蘊含著該類問題的本質屬性,它是某種數學思想方法的源泉,是一節(jié)課的“課眼”,抓住了這個關鍵,就有了思考的落腳點,就有了思維的方向,也就有了突破難點的路徑。因此,我們在遭遇教學難點時,不妨從數學的角度著眼,從問題的本質入手,創(chuàng)新思想方法,在解決問題的過程中去尋求突破難點的方法。

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