劉天怡

摘 要：反證法指的是從結(jié)論入手進行反向思考，也就是我們所說的“反推”，它能夠有效簡化問題，創(chuàng)新命題解決方式。在數(shù)學(xué)證明當(dāng)中，反證法擁有廣泛的應(yīng)用范圍，屬于非常重要的數(shù)學(xué)工具。反證法作為一種間接證法，適用逆向思維尋找問題的矛盾，從而確定出命題的真實性。

關(guān)鍵詞：反證法；數(shù)學(xué)證明；逆向思維

中圖分類號：G63 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-9132（2018）06-0082-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2018.06.049

反證法是人類文明史上一個偉大的發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)的發(fā)展中起到了非常重要的作用。在很多年之前，古希臘數(shù)學(xué)家歐道克斯曾經(jīng)利用反證法發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)，洛巴切夫斯基利用反證法發(fā)現(xiàn)了非歐幾何學(xué)。反證法除了在數(shù)學(xué)的發(fā)展中起到了非常大的作用之外，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)、鉆研過程中，反證法也幫助我們解決了很多生活中的難題。

一、 反證法的基本思想和應(yīng)用范圍

（一）反證法的基本思想

在數(shù)學(xué)證明中，反證法屬于一種間接證明的方式，主要核心方式就是否定原命題的同時，把結(jié)論當(dāng)成一種題設(shè)，然后驗證是否跟之前的論證相矛盾，這是一個先否定，再證明，找到矛盾，最后進行肯定的證明過程。反證法的證明方式在很大程度上能夠幫助我們解決很多直接思維方式解決不了的問題，不過反證法很難被初學(xué)者理解。在數(shù)學(xué)證明當(dāng)中，反證法是通過否定證明論題的方式進行的，在解題過程中一般分為三個步驟：第一步，首先是假設(shè)原定的命題不成立；第二步，把命題的結(jié)論當(dāng)成題設(shè)進行證明；第三步，證明出結(jié)論之后對比命題的結(jié)論是否正確。如果命題的結(jié)論并不能夠直接進行證明，那么利用反證法是非常明智的選擇。

（二）反證法的應(yīng)用范圍

反證法平時雖然都是在平面幾何當(dāng)中出現(xiàn)，但是在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也有很廣泛的應(yīng)用，比如在代數(shù)、立體幾何等方面。在否定性命題當(dāng)中，如果結(jié)論當(dāng)中有“沒有、不是、不能”等命題，一般使用直接證明的方式比較困難，就可以使用反證法，限定式命題則是在結(jié)論當(dāng)中包含有“至多、至少、最多”等詞語。無窮性命題，這個題設(shè)中包含有各種無限的命題，這種題目利用正常證明思維來證明非常困難，本身題目的題設(shè)比較寬泛，因此需要使用反證法。還有某些存在性命題，例如：題目中讓你證明任何一個實數(shù)，存在一個等式恒成立，利用反證法是最好的選擇。全程肯定性命題中會出現(xiàn)“總是、都、全”這樣的詞語，都可以用反證法進行解答。不等量命題應(yīng)用反證法，是最快捷的證明方式。

二、 反證法在數(shù)學(xué)證明中的應(yīng)用

（一）起始命題、基本命題、特殊命題

在起始命題、基本命題、特殊命題當(dāng)中不容易直接找到可以用到的定理和公式，使用反證法能夠取得良好的證明效果。例如：在同一平面當(dāng)中存在四條直線a、b、c、d，a、b兩條線相交，c⊥d，d⊥b，那么求證c與d兩條線相交。在證明過程中，首先我們可以假設(shè)cd平行，由于a⊥c，所以a⊥d，又因為d⊥b，所以說a、b平行。這樣通過a、b相交矛盾，因此a與c相交。

（二）唯一性命題

（三）否定形式命題

在很多命題結(jié)論當(dāng)中包含有“不、無”等字詞時，可以選擇使用反證法進行證明。例如：求證當(dāng)n是自然數(shù)時，2（2n+1）形式的數(shù)不能表示兩個整數(shù)的平方差。在證明過程中，首先我們可以假設(shè)有兩個整數(shù)a、b，根據(jù)題目可知a2-b2=2（2n+1），所以得出（a+b）（a-b）=2（2n+1）。當(dāng)a、b兩個數(shù)同奇同偶時，a+b、a-b都是偶數(shù)，a+b、a-b應(yīng)該屬于4的倍數(shù)，但是2（2n+1）除以4余2，因此結(jié)論矛盾。當(dāng)a、b是一個奇數(shù)一個偶數(shù)時，a+b、a-b都是奇數(shù)，2（2n+1）是偶數(shù)，二者不相等，所以結(jié)論同樣矛盾。那么假設(shè)錯誤，2（2n+1）形式的數(shù)不能表示兩個整數(shù)的平方差。

（四）限定式命題

在限定式命題當(dāng)中，包含有很多“至多、至少”等字樣，可以在證明中使用反證法。例如：求證一個多邊形有三個都是銳角。證明假設(shè)一個n邊形有4個角都是銳角，那么這四個內(nèi)角的外角之和加起來已經(jīng)大于360°，這個n邊形的外角和必然大于360°，這跟定理n邊形外角和等于360°是矛盾的，因此可以證明，一個多邊形當(dāng)中，最多只能存在三個內(nèi)角是銳角。

（五）反證法應(yīng)用注意事項

在反證法應(yīng)用過程當(dāng)中，首要問題就是應(yīng)用反證法正確的否定命題結(jié)論，只有否定了命題結(jié)論，才能夠為證明的下一步論證打好基礎(chǔ)。在證明過程中，一定要明確推理的特點，在使用反證法進行題設(shè)推理之前，不能事先就否定題目結(jié)論或者是肯定題目結(jié)論。不管是題目的任何論證，都需要首先脫離人的主觀臆想，這時候才能夠進行證明，不然即使后期使用反證法，也只能夠得出錯誤的答案，跟真正的命題真相背道而馳。

三、結(jié)語

綜上所述，反證法在數(shù)學(xué)命題證明過程中，是非常重要的證明方法。如果應(yīng)用恰當(dāng)，能夠有效節(jié)省解題時間，提升解題效率，有效提升數(shù)學(xué)解題能力。數(shù)學(xué)解題思維的培養(yǎng)是一種邏輯思維的培養(yǎng)，將來在工作生活中處理相關(guān)問題的時候，也可以靈活采用類似的證明方式，以提高工作中辦事能力和辦事效果。

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