賀方超 鄭列 聞卉

【摘要】 研究性教學(xué)模式中課堂教學(xué)固然十分重要，但是期末考試中試題設(shè)計(jì)也是一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)，它是研究性教學(xué)模式不可或缺的組成部分.本文首先論述了研究性教學(xué)模式下試題設(shè)計(jì)的必要性，接著就“概率統(tǒng)計(jì)”課程期末考試試題的設(shè)計(jì)給出了四個(gè)實(shí)例，逐個(gè)分析題目的設(shè)計(jì)意圖和特點(diǎn)，最后對(duì)研究性試題設(shè)計(jì)做了總結(jié)和進(jìn)一步地展望.題目素材來(lái)源于日常生活，既鍛煉了學(xué)生學(xué)習(xí)和運(yùn)用知識(shí)的能力，也增強(qiáng)了學(xué)生進(jìn)行知識(shí)創(chuàng)新的興趣.

【關(guān)鍵詞】 知識(shí)創(chuàng)新;試題設(shè)計(jì);研究性教學(xué);素質(zhì)教育

一、研究性教學(xué)模式下試題設(shè)計(jì)的必要性

在高等教育中，研究性教學(xué)是指教師通過(guò)研究性的方式提出、理解和解決問(wèn)題，并在此過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生與專業(yè)所學(xué)知識(shí)相關(guān)的學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)造能力.高校實(shí)行多年的素質(zhì)教育所強(qiáng)調(diào)的核心素質(zhì)是創(chuàng)新素質(zhì)，創(chuàng)新素質(zhì)的培養(yǎng)使得傳統(tǒng)講授式教學(xué)方式向研究性教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變成為必然趨勢(shì).為此，基于工科院校人才培養(yǎng)的特點(diǎn)，筆者所在學(xué)校出臺(tái)了“721”人才培養(yǎng)模式改革指導(dǎo)方案，該方案明確提出：研究性教學(xué)方式是重要的教學(xué)改革方向.

近幾年來(lái)，在筆者所在學(xué)校工科數(shù)學(xué)研究性教學(xué)模式的探索過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)課堂上研究性教學(xué)的開(kāi)展固然十分重要，其實(shí)考試環(huán)節(jié)中研究性試題的設(shè)計(jì)也是很有必要的.考試是對(duì)課堂教學(xué)效果的考查和檢驗(yàn)，傳統(tǒng)的公式記憶、歷年試題的題型翻新等考查模式不僅不能滿足研究性教學(xué)模式的需要，而且長(zhǎng)久下去會(huì)顯得教學(xué)與考查相互割裂開(kāi)來(lái)，讓學(xué)生對(duì)研究性教學(xué)模式產(chǎn)生懷疑，最后重新回到“填鴨式”講授教學(xué)方式的老路上了.相反地，如果在考試試題中盡量考查研究性類型的試題，既可以提高學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用和創(chuàng)新能力，還可以使得教、學(xué)和考相得益彰.

本文就工科數(shù)學(xué)中“概率統(tǒng)計(jì)”課程的研究性試題設(shè)計(jì)做出一些探討.

二、“概率統(tǒng)計(jì)”試題設(shè)計(jì)探討

（一）貝葉斯公式的應(yīng)用

貝葉斯公式最早由英國(guó)學(xué)者托馬斯·貝葉斯發(fā)現(xiàn)，后來(lái)得到法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯進(jìn)一步地總結(jié)和發(fā)展，逐漸被人們重視和應(yīng)用.貝葉斯公式主要是基于已有的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)當(dāng)前事件的結(jié)果尋找發(fā)生的原因，它在疾病診斷、責(zé)任認(rèn)定、藥劑檢測(cè)和質(zhì)量控制等方面有著廣泛的應(yīng)用.

例1 ??為了調(diào)查百姓生活的幸福感，2012年中央電視臺(tái)《新聞聯(lián)播》欄目連續(xù)多期播出了對(duì)群眾“你幸福嗎？”的隨機(jī)采訪.據(jù)統(tǒng)計(jì)，被采訪的人中未成年人、中青年和老年人所占的比例分別為0.35，0.25和0.4;而未成年人，中青年和老年人回答“我幸?！钡谋壤謩e為0.6，0.4和0.8.試問(wèn)：當(dāng)記者隨機(jī)電話采訪某人得到“我幸?！被卮饡r(shí)，該受訪者可能是未成年人、中青年和老年人的概率分別為多少？

分析 ?這道期末考試題目取材于2012年10月份中央電視臺(tái)對(duì)百姓生活幸福感的連續(xù)調(diào)查采訪.該采訪既有現(xiàn)場(chǎng)任意采訪，也有電話隨機(jī)采訪.題目設(shè)計(jì)基于現(xiàn)場(chǎng)采訪的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，希望學(xué)生能夠利用貝葉斯公式推導(dǎo)出某次電話采訪對(duì)象的年齡層次的可能情況.設(shè)計(jì)該題目的目的是考查學(xué)生對(duì)公式的掌握和理解，同時(shí)讓他們學(xué)會(huì)創(chuàng)造性地解決日常生活中的問(wèn)題.

解 ?設(shè)A 1，A 2，A 3分別表示被采訪者為未成年人、中青年和老年人，以B表示被采訪者回答“我幸?！?根據(jù)題意可得

P（A 1）=0.35，P（A 2）=0.25，P（A 3）=0.4，

P（B|A 1）=0.6，P（B|A 2）=0.4，P（B|A 3）=0.8.

由貝葉斯公式可得

P（A 1|B）= P（B|A 1）P（A 1） ∑ 3 i=1 P（B|A i）P（A i）

= 0.6×0.35 0.6×0.35+0.4×0.25+0.8×0.4 = 1 3 ，

P（A 2|B）= P（B|A 2）P（A 2） ∑ 3 i=1 P（B|A i）P（A i）

= 0.4×0.25 0.6×0.35+0.4×0.25+0.8×0.4 = 10 63 ，

P（A 3|B）= P（B|A 3）P（A 3） ∑ 3 i=1 P（B|A i）P（A i）

= 0.8×0.4 0.6×0.35+0.4×0.25+0.8×0.4 = 32 63 ，

即當(dāng)記者隨機(jī)電話采訪某人得到“我幸福”回答時(shí)，該受訪者可能是未成年人、中青年和老年人的概率分別為 1 3 ， 10 63 ， 32 63 .

（二）中心極限定理的應(yīng)用

中心極限定理揭示了產(chǎn)生正態(tài)分布的源泉，是應(yīng)用正態(tài)分布來(lái)解決各種實(shí)際問(wèn)題的理論基礎(chǔ).

例2 ??為了吸引更多的游客，黃鶴樓景區(qū)決定在2016年春節(jié)黃金周期間開(kāi)展票價(jià)優(yōu)惠活動(dòng).門票票價(jià)主要分三種類型：成年票每張60元，團(tuán)體票每張50元，學(xué)生票每張30元.根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，每張票作為成年票、團(tuán)體票和學(xué)生票賣出的概率分別是0.5，0.2和0.3.假定2016年春節(jié)黃金周期間黃鶴樓景區(qū)游客達(dá)到25萬(wàn)人，且每張門票的出售是相互獨(dú)立的.以X表示門票的總收入，求：

（1）平均的門票收入E（X）;

（2）求門票收入在平均門票收入±1.3萬(wàn)元的概率（Φ（2）≈0.9 772）.

分析 ?隨著近年來(lái)經(jīng)濟(jì)的蓬勃發(fā)展，旅游成了一個(gè)城市新的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)點(diǎn)，本題意在讓學(xué)生嘗試預(yù)測(cè)春節(jié)黃金周的門票收入情況.在諸多的中心極限定理應(yīng)用中，以獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量為前提的林德伯格-萊維中心極限定理是最常見(jiàn)的一個(gè).

解 ?（1）設(shè)X i表示第i張門票的平均收入，i=1，2，…，250 000，則X=∑ 250 000 i=1 X i.

E（X i）=60×0.5+50×0.2+30×0.3=49，

E（X）=∑ 250 000 i=1 E（X i）=1 225，

即平均的門票收入為1 225萬(wàn)元.

（2）E（X2 i）=602×0.5+502×0.2+302×0.3=2 570，

D（X i）=E（X2 i）-[E（X i）]2=169，

D（X） = ∑ 250 000 i=1 D（X i） = 25×104×169 =0.65，

故由林德伯格-萊維中心極限定理可得

P{|X-E（X）|≤1.3}=P? |X-E（X）|? D（X）? ≤ 1.3? D（X）

=P? |X-E（X） 0.65 ≤ 1.3 0.65? =P? |X-E（X）| 0.65 ≤2

≈2Φ（2）-1=0.9 544，

即門票收入在平均收入±1.3萬(wàn)元的概率近似為0.9 544.

（三）二項(xiàng)分布的應(yīng)用

二項(xiàng)分布是一種具有廣泛用途的離散型隨機(jī)變量的概率分布，它是由伯努利始創(chuàng)的，所以又叫伯努利分布.

例3 ??2013年某電視臺(tái)播出的《舞出我人生》節(jié)目深受觀眾的喜愛(ài).在該節(jié)目的初賽中，比賽規(guī)則如下：如果該對(duì)舞者獲得3位專業(yè)評(píng)委至少2票的贊成票，則得1分的專業(yè)評(píng)審分;如果獲得99位大眾評(píng)委至少50票的贊成票，則得1分的大眾評(píng)審分;最終如果該對(duì)舞者得2分（專業(yè)分和大眾分各1分），則直接晉級(jí)，否則待定或淘汰.假定每位專業(yè)評(píng)委和大眾評(píng)委每次只能投贊成票或反對(duì)票，且做出任一評(píng)判的概率都是0.5;所有的評(píng)委獨(dú)立地做出自己的評(píng)判.現(xiàn)有一對(duì)舞者參賽，求該對(duì)舞者：

（1）獲得1分專業(yè)評(píng)審分的概率;

（2）獲得1分大眾評(píng)審分的概率;

（3）直接晉級(jí)的概率.

分析 ?該題出現(xiàn)在筆者所在學(xué)校2013年夏季期末考試中，題目素材來(lái)自央視舉辦的《舞出我人生》節(jié)目的比賽規(guī)則.掌握并熟練應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決日常問(wèn)題，是研究性教學(xué)的基本要求，也是知識(shí)創(chuàng)新的基礎(chǔ).透過(guò)問(wèn)題，分析本質(zhì)，其實(shí)本題簡(jiǎn)單地考查了二項(xiàng)分布和二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì).

解 ?設(shè)X為專業(yè)評(píng)委給出的贊成票數(shù)，Y為大眾評(píng)委給出的贊成票數(shù)，則X～B（3，0.5），Y～B（99，0.5）.

（1）獲得1分專業(yè)評(píng)審分的概率

p 1=P{X≥2}=C2 3? 1 2??? 1 2? 2+C3 3? 1 2? 0? 1 2? 3= 1 2 .

（2）獲得1分大眾評(píng)審分的概率

p 2=P{Y≥50}

=C 50 ?99 ??1 2? ?49 ??1 2? ?50 +…+C 99 ?99 ??1 2? 0? 1 2? ?99 ，

事實(shí)上，

1+? 1 2 + 1 2? ?99

=C0 ?99 ??1 2? ?99 ??1 2? 0+…+C 99 ?99 ??1 2? 0? 1 2? ?99

=2 C 50 ?99 ??1 2? ?49 ??1 2? ?50 +…+C 99 ?99 ??1 2? 0? 1 2? ?99 ?，

故p 2= 1 2 .

（3）由于專業(yè)評(píng)審與大眾評(píng)審彼此獨(dú)立，可得直接晉級(jí)的概率為

p 3=P{X≥2，Y≥50}=P（X≥2}·P{Y≥50}= p 1· p 2= 1 4 .

（四）離散型隨機(jī)變量期望的求解

離散型隨機(jī)變量通?？梢苑譃閮煞N類型，即有限個(gè)取值和可列個(gè)取值.其期望的求解關(guān)鍵就看隨機(jī)變量的分布律是否有規(guī)可循，對(duì)于可列個(gè)變量而言還要看和值是否收斂到一個(gè)可求的定值.

例4 ??某男子用n把看上去樣子相同的鑰匙開(kāi)門，已知其中只有一把鑰匙能打開(kāi)這扇門，而且取任一把鑰匙開(kāi)門是等可能的.

（1）當(dāng)該男子神志清醒時(shí)，每把鑰匙試開(kāi)一次失敗后除去，在余下的鑰匙中選取繼續(xù)開(kāi)門直至成功，試開(kāi)次數(shù)記為X.求X的期望E（X）;

（2）當(dāng)該男子喝醉酒時(shí)，對(duì)試開(kāi)過(guò)的鑰匙沒(méi)有印象，每次試開(kāi)都是在所有的n把鑰匙中選取鑰匙開(kāi)門直至成功，試開(kāi)次數(shù)記為Y.求Y的期望E（Y）.

分析 ?筆者所在學(xué)校2015年的夏季“概率統(tǒng)計(jì)”期末考試中考過(guò)該題，主要目的是考查學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中出現(xiàn)的離散型變量分布情況的分析，以及常見(jiàn)級(jí)數(shù)求和方法的應(yīng)用.本題第（1）問(wèn)在很多參考書上都出現(xiàn)過(guò)原題或者類似題目，第（2）問(wèn)是我們根據(jù)研究性教學(xué)要求的需要設(shè)計(jì)加入的，發(fā)現(xiàn)題目難度增加不大，仍然滿足考綱要求，是一次不錯(cuò)的嘗試.

解 ?（1）X可能的取值為1，2，…，n，而且其分布律為

p i=P{X=i}= n-1 n · n-2 n-1 · n-3 n-2 ·…· 1 n-i+1 =? 1 n ，i=1，2，…，n.

因而，試開(kāi)次數(shù)X的期望為

E（X）=∑ n i=1 i·p i=1· 1 n +2· 1 n +…+n· 1 n = （1+2+ …+n）· 1 n = n+1 2 ，

即神志清醒時(shí)試開(kāi)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為 n+1 2 .

（2）Y可能的取值為1，2，…，而且其分布律為

p j=P{Y=j}=? n-1 n? ?j-1 · 1 n ，j=1，2，…

因而，試開(kāi)次數(shù)Y的期望為

E（Y）=∑ +∞ j=1 j·p j=1· 1 n +2· n-1 n · 1 n +3·? n-1 n? 2·? 1 n +…+k·? n-1 n? ?k-1 · 1 n +…

事實(shí)上，

n-1 n ·E（Y）=1· n-1 n · 1 n +2·? n-1 n? 2· 1 n + 3· ??n-1 n? 3· 1 n +…+k·? n-1 n? k· 1 n +…

上述兩式相減可得

1 n E（Y）= 1 n + n-1 n · 1 n +? n-1 n? 2· 1 n +…+? n-1 n? k· 1 n +…

所以，

E（Y）=1+ n-1 n +? n-1 n? 2+…+? n-1 n? k+…= 1 1- n-1 n? =n.

結(jié)果表明，在醉酒狀態(tài)下試開(kāi)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為n.

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