劉明

數(shù)學(xué)是研究客觀世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)。華羅庚先生指出，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合既是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種常用的數(shù)學(xué)方法。數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)解題中有重要的指導(dǎo)意義，這種“數(shù)”與“形”的信息轉(zhuǎn)換，相互滲透，即數(shù)量問題和圖像性質(zhì)是可以相互轉(zhuǎn)化的，這不僅可以使一些題目的解決簡(jiǎn)捷明快，同時(shí)還可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問題開辟了一條重要的途徑。

一、數(shù)形結(jié)合思想有利于激發(fā)學(xué)生解決問題的興趣

我聽過一節(jié)蘇教版四年級(jí)上學(xué)期“認(rèn)識(shí)平行”的課。教師有意識(shí)從現(xiàn)實(shí)生活中引入新課，一上課，教師就出示了一張掛圖：

師首先問：“你在什么地方見過這些物體？”

在學(xué)生回答后，師接著問“你從圖中能找出哪些直線，它們的位置關(guān)系是付么樣的？”

學(xué)生說出了它們有的靠到了一起，有的沒靠到一起。

師畫圖板書出了它們的位置關(guān)系。

師講道：“像這樣在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線互相平行，其中一條直線叫作另一條直線的平行線?！?/p>

提問：你能從生活中找出一些平行的例子嗎？

這節(jié)課教師從學(xué)生身邊的、熟悉的地方著手引入新知，抽象出平行的概念，按照“具體場(chǎng)景一抽象出標(biāo)準(zhǔn)圖形一回歸生活舉例”的順序，從生活中來，到生活中去，幫助學(xué)生建立平行的科學(xué)認(rèn)識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察周圍世界的意識(shí)。這樣運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想來教學(xué)有利激發(fā)學(xué)生解決問題的興趣。

二、數(shù)形結(jié)合思想有利于降低學(xué)生解決問題的難度

在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)注意用數(shù)形結(jié)合的思想訓(xùn)練直覺思維，讓學(xué)生養(yǎng)成整體觀察、收集信息、把握問題的好習(xí)慣。把一些較難的問題圖形化，這樣有利于降低學(xué)生解決問題的難度，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。

例如，在教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)五（下）《公倍數(shù)和最小公倍數(shù)》時(shí)，教師作了如下安排：

1.操作活動(dòng)

教師在黑板上貼出（長(zhǎng)3厘米、寬2厘米的長(zhǎng)方形紙片和邊長(zhǎng)6厘米及8厘米的正方形紙片），然后提問：如果用一些長(zhǎng)是3厘米、寬是2厘米的長(zhǎng)方形紙片分別鋪在這兩個(gè)正方形上，你覺得可以正好鋪滿哪個(gè)正方形？

讓學(xué)生說出自己的猜想，接著讓學(xué)生借助學(xué)具動(dòng)手拼一拼驗(yàn)證自己的猜想是否正確，并在小組內(nèi)交流自己的發(fā)現(xiàn)。

學(xué)生動(dòng)手操作后，提問：通過剛才活動(dòng)，你有什么發(fā)現(xiàn)？（學(xué)生通過剛才的活動(dòng)會(huì)發(fā)現(xiàn)用上面的長(zhǎng)方形紙片能鋪滿邊長(zhǎng)是6厘米的正方形，不能鋪滿邊長(zhǎng)是8厘米的正方形。）

師提問：為什么能正好鋪滿邊長(zhǎng)是6厘米的正方形，而不能鋪滿邊長(zhǎng)是8厘米的正方形？

教師要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合自己實(shí)際操作的圖像（如下）說出因?yàn)橛瞄L(zhǎng)是3厘米寬是2厘米的長(zhǎng)方形鋪滿邊長(zhǎng)是6厘米的正方形時(shí)，每條邊各鋪了多少次？要求學(xué)生列出式子。再讓學(xué)生說說自己在鋪邊長(zhǎng)是8厘米的正方形時(shí)是怎樣的一種情況，聯(lián)系自己列的式子闡述為什么不能鋪滿。

2.想象拓展

教師提問：請(qǐng)同學(xué)們?cè)谧约旱哪X海里想想這樣的長(zhǎng)方形還能正好鋪滿邊長(zhǎng)是多少厘米的正方形？

先讓學(xué)生自己獨(dú)立思考，然后帶著自己思考的結(jié)果在小組內(nèi)交流。（學(xué)生的答案可能有邊長(zhǎng)是12厘米、18厘米、24厘米……的正方形）

教師提問：這什么能鋪滿這些正方形？說說你的理由。（引導(dǎo)學(xué)生明確：12、18、24.……這些數(shù)既是2的倍數(shù)也是3的倍數(shù)。）

3.闡述概念

師講述：6、12、18.……既是2的倍數(shù)也是3的倍數(shù)，它們?cè)谖覀償?shù)學(xué)上就稱作是2和3的公倍數(shù)。（板書：公倍數(shù)）

提問：兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的還是無限的？為什么？

在學(xué)生討論后，教師要幫其明確：因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，所以兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)也是無限的，可以用省略號(hào)來表示。

師提問：8是2和3的公倍數(shù)嗎？為什么？

讓學(xué)生通過討論明白：盡管8的2的倍數(shù)，但是8不是3的倍數(shù)，所以8不是2和3的公倍數(shù)。

此段教學(xué)，教師讓學(xué)生動(dòng)手操作用長(zhǎng)3厘米寬2厘米的長(zhǎng)方形，看它能把哪個(gè)正方形鋪滿，不能把哪個(gè)正方形鋪滿，為什么？引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考，結(jié)合自己操作過程中形成的圖像找出其中原因，從而知道因?yàn)?既是2的倍數(shù)又是3的倍數(shù)所以長(zhǎng)方形紙片能把邊長(zhǎng)是6厘米的正方形鋪滿；8雖然是2的倍數(shù)，但它不是3的倍數(shù)，所以不能被長(zhǎng)方形鋪滿，這樣能讓學(xué)生更好地理解公倍數(shù)的概念含義。教師巧妙地利用數(shù)形結(jié)合的思想把公倍數(shù)的概念圖形化，降低了學(xué)生理解的難度，便于學(xué)生探索理解，既讓學(xué)生學(xué)習(xí)了新知，又培養(yǎng)了學(xué)生解決問題的能力。

三、數(shù)形結(jié)合是學(xué)生解決問題的重要途徑

很多時(shí)候，我們?cè)诮鉀Q問題時(shí)，數(shù)學(xué)結(jié)合是我們常用的手段，它便于我們研究問題、解決問題，它是我們培養(yǎng)學(xué)生解決問題能力的重要途徑。

在教學(xué)釘子板上的多邊形時(shí)，教師進(jìn)行了以下設(shè)計(jì)：

研究A=1時(shí)的規(guī)律。

師：那我們就先從簡(jiǎn)單的圖形開始人手。（課件出示四個(gè)圖形）它們的面積分別是多少呢？小組內(nèi)快速交流。

學(xué)生交流后讓生一個(gè)一個(gè)說四個(gè)圖形的面積。（預(yù)設(shè)：學(xué)生可能都會(huì)用計(jì)算的方法來算出圖形的面積，在說3號(hào)圖形的時(shí)候引導(dǎo)學(xué)生知道可以用數(shù)的方法來數(shù)出圖形的面積。（師用課件把學(xué)生說的面積打在表格中）

師：面積知道了，我們想研究面積和誰有沒有關(guān)系的??？（釘子數(shù)）

接下來我們就來數(shù)“多邊形邊上的釘子數(shù)”。

師提問：會(huì)數(shù)嗎？數(shù)什么？再讀一遍。那圖形中間的釘子數(shù)不數(shù)呢？

教師帶領(lǐng)學(xué)生齊數(shù)多邊形邊上的釘子數(shù)（師課件演示，并將數(shù)出的結(jié)果打在表格中）

師：數(shù)據(jù)我們都整理在表格中，我們認(rèn)真觀察。嗯！好像有所發(fā)現(xiàn)了?。ò鍟河^察）

讓一學(xué)生說自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。教師帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)出規(guī)律。（預(yù)設(shè)：1.如有學(xué)生表達(dá)不清時(shí)，只要其講到2倍關(guān)系時(shí)，師就可相機(jī)說要講清誰是誰的2倍。2.如有學(xué)生說到2倍，師可說那反過來就是一半、1/2，讓生說誰是誰的一半。）

師最后總結(jié)道：面積數(shù)是邊上釘子數(shù)的——？（生接著說一半）邊上釘子數(shù)是面積數(shù)的——（生接著說2倍）這樣說還真有點(diǎn)繞，能簡(jiǎn)潔點(diǎn)嗎？（用字母表示）

課件出示：面積用S表示，邊上釘子數(shù)用n表示。

師引導(dǎo)說那：S=n÷2

師：帶著這個(gè)發(fā)現(xiàn)我們?cè)賮砜?，前面?幅圖，剛才研究了上面的四幅圖，下面我們來研究下面的四幅圖。

讓學(xué)生一起數(shù)出圖形的邊上釘子數(shù)和面積，引起學(xué)生反思，為什么剛剛的發(fā)現(xiàn)在這里被否定了。

師引導(dǎo)學(xué)生“回頭再來看圖”“需要我們從不同中找相同”讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)上面四幅圖中間只有一個(gè)點(diǎn)，下面四幅圖中心有2個(gè)或2個(gè)心上的點(diǎn)。

師課件演示上面四幅圖中心一個(gè)點(diǎn)。

師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)我們剛才的發(fā)現(xiàn)是有前提的（a=1）用文字語言表達(dá)剛才的發(fā)現(xiàn)。

學(xué)生在探索新知時(shí)，如果只是單純的用代數(shù)的表征來進(jìn)行邏輯思維推理，這和學(xué)生的年齡認(rèn)知特點(diǎn)不符，這個(gè)階段的學(xué)生在進(jìn)行探索新知時(shí)，主要依賴直觀形象，那這時(shí)，我們應(yīng)用圖像表征來進(jìn)行推理，就便于學(xué)生來探索新知，這樣了符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。如果不采用這樣的教學(xué)，學(xué)生只依賴抽象的思考是不能探索出以上新知的。

長(zhǎng)期以來，教學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)是一條明線，得到數(shù)學(xué)教師的重視；數(shù)學(xué)思想方法是一條暗線，容易被教師所忽視。在我們的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果教師能有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來設(shè)計(jì)教學(xué)，那將非常有利于學(xué)生從不同的側(cè)面加深對(duì)問題的認(rèn)識(shí)和理解，提供解決問題的方法，也有利于培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力?！皵?shù)形結(jié)合”對(duì)教師來說是一種教學(xué)方法、教學(xué)策略，對(duì)學(xué)生來說是一種學(xué)習(xí)方法，如果長(zhǎng)期滲透，運(yùn)用恰當(dāng)，則使學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)意識(shí)和思想，長(zhǎng)期穩(wěn)固地作用于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯中。作為一線教師，我們應(yīng)該系統(tǒng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，讓學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)形結(jié)合思想來分析問題、解決問題，這樣既有利于學(xué)生理解、掌握新知，更能提高學(xué)生解決問題的能力。endprint