，，

(海軍工程大學(xué) 振動與噪聲研究所，船舶振動噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430033)

1 引 言

介電彈性體(DE)是指在外加電場載荷激勵下能夠產(chǎn)生較大變形的電活性聚合物(EAP)材料，是一種具有巨大發(fā)展?jié)摿Φ男滦椭悄懿牧?。介電彈性體驅(qū)動單元是構(gòu)成介電彈性體驅(qū)動器的基本元件，由柔性電極—材料薄膜—柔性電極組成典型的“三明治”式結(jié)構(gòu)，當(dāng)在兩個電極之間施加高電壓時，其產(chǎn)生的Maxwell應(yīng)力將使其間的介電彈性體膜變薄，面積增大；撤去電壓，介電彈性體膜則恢復(fù)到原來的形狀。同傳統(tǒng)的驅(qū)動器相比，介電彈性體驅(qū)動器(DEA)具有變形大、響應(yīng)速度快、機(jī)電轉(zhuǎn)換效率高、質(zhì)量輕、低噪聲等獨(dú)特優(yōu)勢[1-2]，近年來在仿生機(jī)器人設(shè)計、結(jié)構(gòu)振動與噪聲控制等領(lǐng)域受到國內(nèi)外學(xué)者和研究機(jī)構(gòu)的廣泛關(guān)注。

目前，國內(nèi)外的相關(guān)研究主要針對介電彈性體材料的準(zhǔn)靜態(tài)變形特性，有關(guān)介電彈性體驅(qū)動單元在特定頻率范圍內(nèi)動態(tài)特性的研究則比較有限，主要集中在驅(qū)動單元的動態(tài)建模仿真和基礎(chǔ)試驗(yàn)測試等方面。Dubois[3]等人采用瑞利-里茲方法建立了基于有機(jī)硅的介電彈性體材料驅(qū)動模型，通過控制電壓使系統(tǒng)的共振頻率降低了77%；Suo[4-5]等人先后對預(yù)拉伸的球形和圓形介電彈性體薄膜進(jìn)行了建模仿真，重點(diǎn)研究了系統(tǒng)的非線性振動和共振現(xiàn)象；Goulbourne[6]等人在準(zhǔn)靜態(tài)模型分析的基礎(chǔ)上，通過試驗(yàn)研究了變化電壓和機(jī)械載荷條件下介電彈性體驅(qū)動單元的動態(tài)響應(yīng)；Xu[7]等人利用歐拉-拉格朗日方程推導(dǎo)了介電彈性體驅(qū)動單元的動力學(xué)模型，分析了系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)及阻尼因素的影響。本文以介電彈性體驅(qū)動器的基本驅(qū)動單元為研究對象，重點(diǎn)考慮材料非線性、介電常數(shù)變化和慣性效應(yīng)等因素的影響，從熱力學(xué)能量轉(zhuǎn)化的角度得到了基于Ogden應(yīng)變能函數(shù)的介電彈性體驅(qū)動單元的二階常微分運(yùn)動方程并對其進(jìn)行了數(shù)值分析，得到了系統(tǒng)在恒定和簡諧電場強(qiáng)度情況下的動態(tài)響應(yīng)。

2 介電彈性體驅(qū)動單元的運(yùn)動方程

根據(jù)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論，假設(shè)施加電壓前介電彈性體驅(qū)動單元的尺寸為2L×2L×2H，材料坐標(biāo)(X,Y,Z)表示驅(qū)動單元上任意點(diǎn)的位置，空間坐標(biāo)(x,y,z)表示空間中任意點(diǎn)的位置，兩坐標(biāo)原點(diǎn)在驅(qū)動單元的中心點(diǎn)處重合，且模型的三個中間主平面X=0，Y=0，Z=0不產(chǎn)生法向位移，見圖1(a)。

圖1 介電彈性體驅(qū)動單元的簡化模型及其坐標(biāo)Fig.1 Simplified model and coordinate of DE actuating unit

(1)

根據(jù)熱力學(xué)能量理論，介電彈性體驅(qū)動單元亥姆霍茲自由能的變化等于系統(tǒng)的電場能變化和慣性力做功之和，即：

VδF=φδQ+δK

(2)

式中：F為單位體積的亥姆霍茲自由能，V=HL2為材料的體積，整個系統(tǒng)亥姆霍茲自由能的變化可以表示為VδF；φδQ為系統(tǒng)電勢變化所做的功，其中φ和Q分別為電勢和電荷量；δK為系統(tǒng)中慣性力所做的功。

對于存在機(jī)電耦合的介電彈性體驅(qū)動單元，其亥姆霍茲自由能由彈性能和靜電能兩部分組成[8]。本文采用一階Ogden應(yīng)變能函數(shù)來計算驅(qū)動單元的彈性能，則系統(tǒng)單位體積的亥姆霍茲自由能為：

(3)

研究表明，介電彈性體材料的介電常數(shù)ε會隨著預(yù)拉伸率、激勵頻率、電極材料以及環(huán)境溫度的變化而變化。本文采用文獻(xiàn)[9]推導(dǎo)的公式來考慮材料介電常數(shù)變化產(chǎn)生的影響，即：

(4)

因此，系統(tǒng)亥姆霍茲自由能的變化可表示為：

(5)

介電彈性體驅(qū)動單元的電荷量可表示為：

(6)

則系統(tǒng)電勢變化所做的功為：

(7)

系統(tǒng)中慣性力所做的功為：

(8)

將式(1)代入(8)可得：

(9)

聯(lián)立式(2)、(4)、(5)、(7)、(8)和(9)可得：

(10)

3 介電彈性體驅(qū)動單元的動態(tài)特性

為了研究介電彈性體驅(qū)動單元的動態(tài)響應(yīng)，本文基于四階-五階Runge-Kutta算法(ode45)，采用Matlab軟件求解運(yùn)動方程(10)，數(shù)學(xué)簡化模型以VHB4910材料

表1 VHB4910材料相關(guān)參數(shù)

3.1 恒定電場強(qiáng)度下驅(qū)動單元的動態(tài)響應(yīng)

取H=0.5mm，L=5mm，對介電彈性體驅(qū)動單元施加不同的名義電場強(qiáng)度E0，分別為10kV/mm、15kV/mm、20kV/mm和22.13kV/mm，系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)見圖2。

圖2 不同場強(qiáng)下驅(qū)動單元的動態(tài)響應(yīng) (a) 振動； (b) 振幅-場強(qiáng)關(guān)系圖Fig.2 Dynamic response of DE actuating unit under different electric fields (a) Vibration; (b) Relationship between amplitude and electric field

由圖2可知，電場強(qiáng)度是影響介電彈性體驅(qū)動單元動態(tài)響應(yīng)的重要因素，即增大場強(qiáng)，系統(tǒng)的振幅將隨之增大、振動頻率將隨之減小。當(dāng)場強(qiáng)達(dá)到臨界值22.13kV/mm時，模型的振幅達(dá)到最大值49%，此時如果場強(qiáng)繼續(xù)增大，系統(tǒng)將失穩(wěn)。此外，由于存在材料粘彈性、機(jī)電耦合等因素的影響，系統(tǒng)振幅與場強(qiáng)的關(guān)系呈現(xiàn)明顯的非線性特征，即隨著場強(qiáng)的增大，系統(tǒng)振幅增大的速度將越來越快。

3.2 簡諧變化場強(qiáng)下驅(qū)動單元的動態(tài)響應(yīng)

當(dāng)場強(qiáng)隨時間發(fā)生變化時，介電彈性體驅(qū)動單元的動態(tài)響應(yīng)則比較復(fù)雜。假設(shè)名義電場強(qiáng)度E0為：

(11)

式中：EA為電場強(qiáng)度的幅值，f為頻率。

取介電彈性體驅(qū)動單元的尺寸H=0.5mm，L=5mm，當(dāng)電場強(qiáng)度幅值EA分別為10kV/mm、14kV/mm和18kV/mm，頻率f的變化范圍為1Hz到1kHz時，系統(tǒng)振幅與頻率的關(guān)系見圖3。

圖3 不同電場強(qiáng)度下驅(qū)動單元動態(tài)響應(yīng)的幅頻特性曲線Fig.3 Frequency-amplitude curve of actuating unit’s dynamic response under different electric fields

圖4 EA=18kV/mm, f=386Hz時，驅(qū)動單元的動態(tài)響應(yīng)Fig.4 Dynamic response of actuating unit under the electric field of 18kV/mm and frequency of 386Hz

由圖3可知，在不同電場強(qiáng)度條件下，介電彈性體驅(qū)動單元幅頻特性的整體變化趨勢基本一致，即系統(tǒng)的振幅隨著頻率的增大達(dá)到峰值，然后隨著頻率繼續(xù)增大而下降，最終趨于穩(wěn)定。其中，當(dāng)EA=18kV/mm，f=386Hz時，系統(tǒng)將發(fā)生共振，其頻響特性曲線見圖4，可見系統(tǒng)此時的振動十分劇烈。當(dāng)EA分別為10kV/mm、14kV/mm和18kV/mm時，系統(tǒng)振幅的波峰對應(yīng)的頻率分別為440Hz，426Hz和386Hz，表明系統(tǒng)在該頻率附近產(chǎn)生共振，且共振頻率隨電場強(qiáng)度的增大而減小。

3.3 幾何尺寸對驅(qū)動單元動態(tài)響應(yīng)的影響

對介電彈性體驅(qū)動單元模型施加22.13kv/mm的電場強(qiáng)度，取L=1mm，當(dāng)材料厚度同平面尺寸的比值H/L分別取0.5，1和2時，系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)見圖5。

圖5 幾何尺寸對驅(qū)動單元動態(tài)響應(yīng)的影響Fig.5 Influence of geometry on the dynamic response of actuating unit

由圖5可知，當(dāng)電場強(qiáng)度恒定時，幾何尺寸是影響介電彈性體驅(qū)動單元振動頻率的重要因素，即系統(tǒng)的振動頻率隨H/L的增大而減?。划?dāng)H/L取不同值時，系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的振幅保持不變。因此，介電彈性體驅(qū)動單元動態(tài)響應(yīng)的振幅由電場強(qiáng)度決定，與材料厚度對平面尺寸的比值無關(guān)。

4 結(jié) 論

本文以介電彈性體驅(qū)動器(DEA)的基本驅(qū)動單

元為研究對象，從熱力學(xué)能量轉(zhuǎn)化的角度得到了基于Ogden應(yīng)變能函數(shù)的介電彈性體驅(qū)動單元的二階常微分運(yùn)動方程，分析了系統(tǒng)在恒定和簡諧電場強(qiáng)度情況下的動態(tài)響應(yīng)及模型幾何尺寸的影響。結(jié)果表明：在恒定場強(qiáng)下，隨著電場強(qiáng)度幅值的增大，驅(qū)動單元的振幅將隨之增大、振動頻率將隨之減小；在簡諧場強(qiáng)下，隨著電場強(qiáng)度頻率的增大，驅(qū)動單元將發(fā)生共振，且共振頻率將隨之減小。此外，介電彈性體驅(qū)動單元動態(tài)響應(yīng)的振幅由電場強(qiáng)度決定，與材料厚度對平面尺寸的比值無關(guān)。綜上所述，本文的理論分析方法能夠較好地模擬電壓載荷下介電彈性體驅(qū)動單元的動態(tài)響應(yīng)，可以為下一步新型介電彈性體驅(qū)動器的設(shè)計提供參考。

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