陳卓英

[摘 要]幾何直觀作為《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的核心概念之一，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著重要的地位和意義，無(wú)論是在圖形與幾何領(lǐng)域，還是其他知識(shí)領(lǐng)域的教學(xué)中，都應(yīng)重視幾何直觀的培養(yǎng)。從幾何直觀是什么，為什么要重視幾何直觀的培養(yǎng)，到幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中怎么培養(yǎng)這三方面進(jìn)行梳理，論述滲透幾何直觀的價(jià)值、意義以及方法。

[關(guān)鍵詞]幾何直觀；小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)；本質(zhì)；價(jià)值；教學(xué)策略

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2018）05-0019-03

當(dāng)下，有關(guān)幾何直觀的討論是個(gè)熱點(diǎn)，但如同“什么是數(shù)學(xué)”沒(méi)有完美的答案一樣，對(duì)幾何直觀的理解也是仁者見(jiàn)仁，智者見(jiàn)智。這里，讓我們按“幾何直觀是什么→為什么要重視幾何直觀的培養(yǎng)→幾何直觀怎么培養(yǎng)”的順序開(kāi)始梳理。

是什么？──品味“幾何直觀”的本質(zhì)

對(duì)于比較抽象的數(shù)學(xué)概念、容易混淆的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生思考時(shí)需要借助直觀形象。因此，教師就需要將這些問(wèn)題與直觀形象的圖形結(jié)合起來(lái)，以“形”助“數(shù)”，為學(xué)生解決問(wèn)題提供具體經(jīng)驗(yàn)的支撐。那么什么是幾何直觀呢？關(guān)于幾何直觀及其意義，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》是這樣論述的：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用?！?/p>

一、“幾何直觀”與“圖形與幾何”

幾何直觀，是課程標(biāo)準(zhǔn)增加的核心概念之一。幾何內(nèi)容的教學(xué)，既可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，又能培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維能力。在“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)物體或圖形的觀察，形象思維的形成和想象，都包含著幾何直觀的因素。幾何直觀來(lái)源于“圖形與幾何”，“圖形與幾何”是一個(gè)學(xué)習(xí)范疇，幾何直觀是一種學(xué)習(xí)能力。許多數(shù)學(xué)概念都具有“數(shù)”與“形”的兩個(gè)特征，要深入地理解它們的本質(zhì)，就要從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度去認(rèn)識(shí)和把握。因此，學(xué)會(huì)用圖形思考和想象是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本能力，教師要重視學(xué)生這方面能力的培養(yǎng)。

二、“幾何直觀”與“空間觀念”

幾何直觀與空間觀念作為“圖形與幾何”的代名詞，分別從不同角度覆蓋了幾何學(xué)習(xí)的重要目標(biāo)，二者既有重疊之處又各有側(cè)重。

幾何直觀往往是在有背景的條件下，借助直觀圖形“看”出來(lái)的結(jié)果，通常需要邏輯推理的證明?？臻g觀念則偏重于“想象物體的方位以及物體之間的位置關(guān)系”“描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化”“依據(jù)語(yǔ)言描述畫(huà)出圖形”等，這些活動(dòng)不一定需要憑借看得見(jiàn)、摸得著的真實(shí)圖形，憑借語(yǔ)言或想象也是可以的。

幾何直觀側(cè)重于利用圖形整體把握問(wèn)題，更接近應(yīng)用層面；空間觀念側(cè)重于學(xué)習(xí)者對(duì)于空間的感知和把握，涉及運(yùn)用圖形的能力，更注重幾何學(xué)習(xí)給學(xué)生帶來(lái)的變化和發(fā)展。

三、“幾何直觀”與“數(shù)形結(jié)合”

數(shù)形結(jié)合是一種基本的數(shù)學(xué)思想方法。它是指解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通過(guò)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。幾何直觀主要是利用圖形描述和分析問(wèn)題，從而幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)知識(shí)。如比較分?jǐn)?shù)1/4和1/5的大小，當(dāng)學(xué)生接觸到“把一個(gè)圓平均分成四份，其中的一份與平均分成五份中的一份相比”時(shí)，生活經(jīng)驗(yàn)首先介入，然后支撐表象馬上建立，于是“大于”的結(jié)果直接就在學(xué)生頭腦中形成了。顯然，幾何直觀的內(nèi)涵最重要之處是直接感知，和數(shù)形結(jié)合是有區(qū)別的。

數(shù)形結(jié)合更多的是將具體的解決問(wèn)題的策略與方法呈現(xiàn)在我們面前，可以“由形到數(shù)”，也可以“由數(shù)而形”。幾何直觀只有“由形到數(shù)”這一方面，從某種程度上講，它也可以被認(rèn)為是一種能力。從這個(gè)角度看，幾何直觀比起空間觀念和數(shù)形結(jié)合，它的意義更為深遠(yuǎn)，值得教師在教學(xué)中加以強(qiáng)調(diào)。

為什么？──把握“幾何直觀”的價(jià)值

幾何直觀在幫助學(xué)生發(fā)展空間觀念、提升思維能力、找到解題策略等方面有著很大的價(jià)值。

一、發(fā)展空間觀念

幾何直觀是一種思維方式，它是以幾何圖形為載體進(jìn)行推理論證的。因此，幾何直觀可以培養(yǎng)學(xué)生的空間感，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

二、提升思維能力

幾何直觀可以豐富學(xué)生頭腦中的表象，以直觀認(rèn)識(shí)、判斷和表象作為想象力的基礎(chǔ)，還能不斷培養(yǎng)學(xué)生的形象思維能力，為學(xué)生創(chuàng)造性思維和邏輯思維的培養(yǎng)做好充分準(zhǔn)備。

1.形象思維能力的訓(xùn)練

小學(xué)生的思維正處于以形象思維為主的階段，他們思維的形象性與數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性之間的矛盾正需要通過(guò)幾何直觀來(lái)化解。

比如在學(xué)習(xí)自然數(shù)時(shí)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：自然數(shù)就像射線，只有一個(gè)端點(diǎn)，從這個(gè)端點(diǎn)出發(fā)可向外無(wú)限延長(zhǎng)，沒(méi)有終點(diǎn)。學(xué)生的這個(gè)發(fā)現(xiàn)把自然數(shù)和射線巧妙地聯(lián)系起來(lái)，連接數(shù)與代數(shù)中的自然數(shù)概念和圖形與幾何中的射線，縮短了知識(shí)間的距離。

2.培養(yǎng)邏輯推理能力

邏輯思維是其他數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要表現(xiàn)。小學(xué)生受思維特點(diǎn)、語(yǔ)言水平的限制，幾乎都是通過(guò)圖形或是借助想象來(lái)培養(yǎng)自身的邏輯推理能力。教師在教學(xué)運(yùn)算定律、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)等內(nèi)容時(shí)，就可以通過(guò)幾何直觀實(shí)現(xiàn)合理解釋和說(shuō)理，以培養(yǎng)學(xué)生初步的邏輯思維能力。

3.提升創(chuàng)新思維能力

創(chuàng)新思維的關(guān)鍵是直覺(jué)思維。幾何直觀具有極大的啟發(fā)性，常常可以指引數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方向，在教學(xué)中利用好幾何直觀，有助于學(xué)生整體把握學(xué)習(xí)對(duì)象，簡(jiǎn)化思維過(guò)程，提升創(chuàng)新思維能力。

三、找到解題策略

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生可以通過(guò)圖形刻畫(huà)和描述問(wèn)題，把問(wèn)題變得簡(jiǎn)單和直觀。幾何直觀作為核心概念，對(duì)學(xué)生把握數(shù)學(xué)思想和恰當(dāng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法解決問(wèn)題是不可或缺的。幾何直觀還可以培養(yǎng)學(xué)生的洞察力，幫助學(xué)生迅速找到解題策略。

怎么辦？──探索“幾何直觀”的教學(xué)策略

隨著年級(jí)的升高和知識(shí)難度的加深，高年級(jí)學(xué)生的思維水平處于由具體運(yùn)算向形式運(yùn)算過(guò)渡的階段，幾何直觀可以幫助他們更好地理解和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要從直觀教學(xué)入手，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用畫(huà)圖策略分析問(wèn)題，將直觀圖形與數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行合理轉(zhuǎn)換，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中感悟數(shù)與形、形與數(shù)之間的轉(zhuǎn)化，讓幾何直觀的培養(yǎng)貫穿于整個(gè)教學(xué)過(guò)程。下面就以人教版五年級(jí)的教學(xué)為例進(jìn)行論述。

一、幾何直觀在“圖形與幾何”領(lǐng)域中的應(yīng)用

在“圖形與幾何”領(lǐng)域的教學(xué)中，教師要強(qiáng)調(diào)“幾何”的方法，但不一定要提到“直觀”。幾何方面的學(xué)習(xí)對(duì)象本身就有直觀性，所以不必再?gòu)?qiáng)調(diào)用了“直觀”的方法，反而可以多強(qiáng)調(diào)“空間觀念”。

【策略1】化靜為動(dòng)重體驗(yàn)

五年級(jí)下冊(cè)“圖形的運(yùn)動(dòng)”中的“旋轉(zhuǎn)”是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。通過(guò)操作活動(dòng)，化靜為動(dòng)，能讓圖形變換的教學(xué)更有效。在學(xué)生掌握了旋轉(zhuǎn)三要素（旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度）后，借助實(shí)物旋轉(zhuǎn)進(jìn)行教學(xué)，不失為一個(gè)有效的方法。對(duì)于那些三角形狀的旋轉(zhuǎn)圖形，可以借用實(shí)物來(lái)幫助思考，如三角尺、三角小旗等，引導(dǎo)學(xué)生把三角尺按順時(shí)針或逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)相應(yīng)的角度，再想辦法把實(shí)物旋轉(zhuǎn)后的位置畫(huà)在方格紙上。當(dāng)然，旋轉(zhuǎn)的最高境界自然是“無(wú)招勝有招”，用實(shí)物代替只是教學(xué)初始階段使用的方法。學(xué)生只有真正掌握旋轉(zhuǎn)的要素，才能準(zhǔn)確、迅速、美觀地畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形。

【策略2】化看為思定模型

幾何直觀就是“依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)的思考和想象”。教學(xué)時(shí)，教師要注重引導(dǎo)啟發(fā)，讓學(xué)生利用幾何直觀“描述與分析問(wèn)題”，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和規(guī)律。如教學(xué)“長(zhǎng)方體和正方體的認(rèn)識(shí)”時(shí)，在學(xué)生初識(shí)長(zhǎng)方體和正方體的特征后，為了讓他們能將活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)真正轉(zhuǎn)化為有效的數(shù)學(xué)知識(shí)，教師可先用課件呈現(xiàn)長(zhǎng)方體的透視圖（如圖1），并提問(wèn)：“如果擦去其中的一條棱，你還能想象出這個(gè)長(zhǎng)方體的大小嗎？”

學(xué)生擦去其中的一條棱，發(fā)現(xiàn)仍能想象出長(zhǎng)方體的大小。教師再問(wèn)：“至少要留下哪幾條棱，才能保證我們還可以想象出長(zhǎng)方體的大??？先想一想，再動(dòng)手試一試?！苯Y(jié)果多數(shù)學(xué)生在嘗試后留下了相交于一個(gè)頂點(diǎn)的長(zhǎng)、寬、高三條棱（如圖2）。這樣，學(xué)生在“觀察─操作─想象”的過(guò)程中提高了幾何直觀能力。

二、幾何直觀在非圖形與幾何領(lǐng)域中的應(yīng)用

在非圖形與幾何領(lǐng)域中，如“數(shù)與代數(shù)”，教師要將教學(xué)鎖定于“直觀”，但不一定要提到“幾何”。這是因?yàn)椋跀?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)領(lǐng)域中，能做到直觀的不只“幾何”一個(gè)。同時(shí)，因?yàn)閺?qiáng)調(diào)直觀，學(xué)生會(huì)應(yīng)用表格、數(shù)軸、示意圖等帶有幾何特色的方法。當(dāng)學(xué)生喜歡使用他認(rèn)為直觀的方法時(shí)，幾何直觀就已經(jīng)滲透于其中。

【策略1】數(shù)形結(jié)合促理解

在教學(xué)分?jǐn)?shù)及其運(yùn)算時(shí)，為了幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的意義，可以借助“面積模型”將抽象的思維過(guò)程直觀形象化。如五年級(jí)下冊(cè)的分?jǐn)?shù)運(yùn)算中的一道題目：有一杯水，第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就這樣每次都喝了上一次剩下的一半，五次一共喝了多少水？此題實(shí)際上就是求“1/2+1/4+1/8+1/16+1/32=？”，但如果直接計(jì)算，顯然十分煩瑣。這里，教師就應(yīng)向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合思想：先畫(huà)一個(gè)正方形（如圖3），并假設(shè)它的面積為單位“1”，由圖可知，“1-1/32”就是所要求的結(jié)果。

【策略2】化繁為簡(jiǎn)露本質(zhì)

如五年級(jí)下冊(cè)的“打電話”題目：學(xué)校合唱隊(duì)有15人，暑假有緊急演出，教師要盡快通知每個(gè)隊(duì)員，用打電話的方式，每分鐘通知1人，最少需要多少分鐘？一圖抵百語(yǔ)，圖4就能簡(jiǎn)明扼要地呈現(xiàn)“打電話”這個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題。

有了這個(gè)圖，學(xué)生就能發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每次新接到通知隊(duì)員數(shù)都是前一分鐘接到通知隊(duì)員數(shù)的2倍。講不清、算不出，看圖卻很明了?？梢?jiàn)，借助幾何直觀，能幫助學(xué)生探究問(wèn)題內(nèi)在的規(guī)律，化繁為簡(jiǎn)，從而找到解決問(wèn)題的思路和方法。

【策略3】化隱為顯巧作圖

在解決問(wèn)題的過(guò)程中，借助畫(huà)圖進(jìn)行分析，往往能將抽象的問(wèn)題變得形象直觀，化隱為顯，使學(xué)生豁然開(kāi)朗，獲得“柳暗花明又一村”的體驗(yàn)。

如五年級(jí)上冊(cè)的“植樹(shù)問(wèn)題”：同學(xué)們?cè)谌L(zhǎng)100米的小路一邊植樹(shù)，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹(shù)？為了方便學(xué)生畫(huà)圖交流，教師把“100米長(zhǎng)的小路”改成“20米長(zhǎng)的小路”，教學(xué)時(shí)先讓學(xué)生在紙上模擬栽樹(shù)（如圖5），通過(guò)圖形直觀地找出各數(shù)量之間的關(guān)系，探尋解決問(wèn)題的方法：因?yàn)?0里有4個(gè)5，所以有4個(gè)間隔，得出“間隔數(shù)=總長(zhǎng)÷間隔長(zhǎng)”。由線段圖可知“每個(gè)間隔栽1棵，一共栽5棵”，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系“兩端都栽時(shí)，棵數(shù)=間隔數(shù)+1”。這樣通過(guò)形的直觀，加強(qiáng)了形與數(shù)之間的轉(zhuǎn)換，把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化。

“讓學(xué)生養(yǎng)成畫(huà)圖的習(xí)慣，腦子里要留下一些圖形”，這是教師一直要做的。教師要鼓勵(lì)學(xué)生多角度思考，引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)化方法，帶領(lǐng)學(xué)生在個(gè)性化方法和數(shù)學(xué)通法之間，在想象和理性思考之間鷹擊長(zhǎng)空、魚(yú)翔淺底。

（責(zé)編 金 鈴）