羅佳倩

【摘要】由于2017年是四川省自主命題10年后，第一次使用全國卷，第一次做關(guān)于坐標(biāo)系與參數(shù)方程的選做題，所以深入研究今年坐標(biāo)系與參數(shù)方程的考點(diǎn)和解題特點(diǎn)，將對四川省今后關(guān)于這個專題的數(shù)學(xué)教學(xué)大有幫助.本文是以2017年高考全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷為例，對關(guān)于坐標(biāo)系與參數(shù)方程試題進(jìn)行分析和研究.首先，對坐標(biāo)系與參數(shù)方程的內(nèi)容做了簡介；然后，分別對全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷關(guān)于這個專題的試題進(jìn)行分析和總結(jié)，得出關(guān)于此專題的試題特點(diǎn)；最后，根據(jù)實(shí)際狀況和專題特點(diǎn)，針對坐標(biāo)系與參數(shù)方程的教學(xué)，給出實(shí)際的教學(xué)建議.

【關(guān)鍵詞】坐標(biāo)系；參數(shù)方程；試題分析；試題特點(diǎn)

一、引 言

坐標(biāo)系與參數(shù)方程屬于選修系列的第4個專題，包含“坐標(biāo)系”與“參數(shù)方程”兩個部分的內(nèi)容.在高考題中，本專題所占分值大概是5～10分，近幾年主要以選擇題、填空題、解答題的形式出現(xiàn)，尤其是解答題的形式，所以這個專題是高中選修部分重要的教學(xué)內(nèi)容之一.由于2017年是四川省自主命題10年后，第一次使用全國卷，第一次做關(guān)于坐標(biāo)系與參數(shù)方程的選做題，所以深入研究今年坐標(biāo)系與參數(shù)方程的考點(diǎn)和解題特點(diǎn)，將對今后的教學(xué)大有裨益.本文主要是對2017年數(shù)學(xué)高考全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷中坐標(biāo)系與參數(shù)方程的試題進(jìn)行分析和研究，然后在此基礎(chǔ)上給出實(shí)用的教學(xué)建議.查閱資料發(fā)現(xiàn)，2017年文理科全國卷關(guān)于這部分的選做題都是一樣的，所以就只選取2017年數(shù)學(xué)高考理科卷對關(guān)于這個專題的內(nèi)容做深入的分析和研究.

二、2017年高考全國卷坐標(biāo)系與參數(shù)方程的試題分析

（一）全國卷Ⅰ

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x=3cosθ，y=sinθ， （θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為x=a+4t，y=1-t，（t為參數(shù)）.

（1）若a=-1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為17，求a.

考點(diǎn) 本題主要考查的是橢圓和直線的參數(shù)方程的互化以及根據(jù)已知條件求未知參數(shù)的值.

試題分析 （1）可以用平方消元法和代入法分別將曲線C和直線l的參數(shù)方程化成普通方程，然后聯(lián)立兩方程即可求出交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由題意知，直線l的普通方程為x+4y-a-4=0，設(shè)C上的點(diǎn)為（3cosθ，sinθ），易求得該點(diǎn)到l的距離為d=|3cosθ+4sinθ-a-4|17.對a再進(jìn)行討論，即當(dāng)a≥-4和a<-4時，求出a的值.

注意 化參數(shù)方程為普通方程的關(guān)鍵是消參，可以利用加減消元、平方消元、代入法，等等.對于求未知參數(shù)的題，最重要的是找到等量關(guān)系，利用等量關(guān)系反解出未知數(shù)的值.

（二）全國卷Ⅱ

在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=4.

（1）M為曲線上的動點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|=16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為2，π3，點(diǎn)B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值.

考點(diǎn) 本題的主要考查的是求動點(diǎn)的軌跡方程以及運(yùn)用極坐標(biāo)方程求三角形面積最值.

試題分析 （1）本題若直接從直角坐標(biāo)入手，很難解決這個問題，但若換一個角度，從極坐標(biāo)入手，用極坐標(biāo)去表示點(diǎn)的P坐標(biāo)會簡單很多.由于點(diǎn)M在曲線C1上，則可得M點(diǎn)的極坐標(biāo)為（ρ，θ），且點(diǎn)p在線段OM上，即點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（ρ1，θ），再利用|OM|·|OP|=16這個等式，即可得到軌跡C2的極坐標(biāo)方程，最后利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，就可得到軌跡C2的直角坐標(biāo)方程.（2）首先，可利用極坐標(biāo)公式將三角形相應(yīng)的邊表示出來，然后再選擇合適的面積表達(dá)式去計算面積，根據(jù)式子的特點(diǎn)，得到最大值.

注意 本題重點(diǎn)考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力，遇到求曲線交點(diǎn)、距離、線段長等幾何問題時，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解，或者直接利用極坐標(biāo)的幾何意義求解.解題時要結(jié)合題目自身特點(diǎn)，確定選擇何種方程.

（三）全國卷Ⅲ

在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為x=2+t，y=kt， （t為參數(shù)），直線l2的參數(shù)方程為x=-2+m，y=mk，（m為參數(shù)）.設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P，當(dāng)k變化時，P的軌跡為曲線C.

（1）寫出C的普通方程；

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：ρ（cosθ+sinθ）-2=0，M為l3與C的交點(diǎn)，求M的極徑.

考點(diǎn) 本題主要考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，考點(diǎn)很常規(guī)，計算較為簡便.

試題分析 （1）根據(jù)已知條件應(yīng)先把兩條直線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，然后根據(jù)直線普通方程的特點(diǎn)，求解曲線C的普通方程.（2）可以先把直線l3化成普通方程，然后聯(lián)立曲線C的普通方程，可得到交點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而求得極徑，或可將曲線C的l3普通方程化成極坐標(biāo)方程，聯(lián)立曲線C和直線l3的極坐標(biāo)解得M的極徑.

三、2017年高考全國卷坐標(biāo)系與參數(shù)方程試題特點(diǎn)

通過分析今年全國卷可知，坐標(biāo)系與參數(shù)的考查仍然以直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程這三者的互化為主，有時還將它們與三角形、三角函數(shù)、距離、位置關(guān)系等結(jié)合起來考查.總的來說，全國卷考點(diǎn)是基礎(chǔ)的、常規(guī)的，但是考查方式比較靈活，既考查了學(xué)生的理解能力，又能很好地檢測學(xué)生關(guān)于這方面的掌握程度，具有很好的篩選功能，比如，全國Ⅰ卷的第二問，若不能靈活地運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和三角函數(shù)的知識，根本算不出正確值；還有全國Ⅱ卷，如果不能熟練地掌握求動點(diǎn)軌跡的方法以及極坐標(biāo)方程的實(shí)質(zhì)，要直接得到軌跡方程是很困難的，對于它的第二問更需要學(xué)生靈活運(yùn)用三角函數(shù)的知識和三角形面積公式，這很好地考查了學(xué)生思維的廣度和知識的綜合運(yùn)用能力；而對于全國Ⅲ卷，難點(diǎn)在于第一問，要根據(jù)題中條件得到曲線的普通方程對于一些思維有局限的中等生和學(xué)困生就很困難.

四、教學(xué)建議

根據(jù)全國卷試題特點(diǎn)可知，本專題的考點(diǎn)主要集中在各類方程互化以及它們與其他知識的綜合運(yùn)用，考點(diǎn)常規(guī)，但方式靈活.所以我們教師在平常的教學(xué)中，首先應(yīng)該重視坐標(biāo)系與參數(shù)方程基礎(chǔ)知識和方法的教學(xué)，并且在課堂上要多給學(xué)生做變式訓(xùn)練，避免學(xué)生形成定式思維，讓同學(xué)們能夠靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識.其次，應(yīng)該在教學(xué)中滲透坐標(biāo)系思想，教會學(xué)生在不同坐標(biāo)系解題，體會坐標(biāo)系的優(yōu)越性，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生選擇合適的坐標(biāo)系，優(yōu)化解題方法.最后，我們應(yīng)強(qiáng)調(diào)“數(shù)形結(jié)合”思想方法的運(yùn)用，讓學(xué)生的抽象思維和形象思維有效地結(jié)合在一起，這樣在解決本專題的某些問題時，可以簡化運(yùn)算，使同學(xué)們做題更加快捷、順暢.

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