付燕 王國威

【摘 要】文章以單模激光系統(tǒng)為問題的著手點，系統(tǒng)地闡述了諸多非線性隨機過程具體的研究方法，以期對此研究過程做出較全面的分析。

【關(guān)鍵詞】噪聲；單模；激光系統(tǒng)；統(tǒng)計性質(zhì)

一、引言

噪聲理論揭示人類文明社會以及大自然中廣泛存在的普遍性，已經(jīng)成為一個舉世矚目的研究熱點和學(xué)術(shù)前沿[1]。研究者發(fā)現(xiàn)，只要使用足夠精確的測量儀器，幾乎所有的物理量都會隨時間出現(xiàn)“漲落”，通常情況下，研究者稱這種快速變化且普遍存在的隨機漲落為“噪聲”。從宏觀層次上看，噪聲顯示出微觀層面上相粒子的運動對宏觀變量產(chǎn)生的影響，并且時刻存在于宏觀世界。

對統(tǒng)計物理以及非線性學(xué)科最近幾十年的探索表明：噪聲并不僅僅總是出現(xiàn)消極的干擾，它也可以產(chǎn)生若干研究者意想不到的結(jié)果，甚至?xí)a(chǎn)生很多出人意料的現(xiàn)象。比如，對宏觀系統(tǒng)而言，噪聲可以使其從有序變?yōu)闊o序，也可以從無序變?yōu)橛行颉?/p>

二、激光模型

激光模型最早出現(xiàn)于1960年前后，該模型是非平衡統(tǒng)計物理自組織系統(tǒng)中非常典型的例子。在常溫條件下，當(dāng)增益介質(zhì)處在無激發(fā)狀態(tài)時，由于上能級粒子數(shù)量比較少，如果存在一束光通過發(fā)光物質(zhì)，則受激吸收遠(yuǎn)大于受激福射，此種情況下不形成激光。但是，如果采用放電、光照或者其他方法對發(fā)光物質(zhì)輸入能量（該過程稱為泵浦、抽運或者激勵），當(dāng)激勵的能量大于激光系統(tǒng)某一閾值的時候，會導(dǎo)致上能級的粒子數(shù)大于下能級的發(fā)光粒子數(shù)，從而出現(xiàn)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)。此時系統(tǒng)中即使沒有入射光，但只要發(fā)光物質(zhì)中有一個光子存在，且滿足頻率合適的要求，便可產(chǎn)生連鎖反應(yīng)，迅速激發(fā)大量相同光子態(tài)的光子，從而形成激光。

激光器的理論物理基礎(chǔ)是光頻電磁場與物質(zhì)的分子、離子或者原子之間的共振相互作用。在理論物理范疇內(nèi)，可以從三個層次對激光器進行物理描述，分別是速率方程理論、半經(jīng)典理論和全量子理論。

三、研究方法的發(fā)展進程和現(xiàn)狀

（一）隨機共振理論

R. Benzi等人于1981年左右研究古氣象冰川問題時，提出“隨機共振”的概念。在R. Benzi等人提出的氣候問題理論模型中發(fā)現(xiàn)，在R. Benzi等人考慮的氣候問題理論模型中，由于地球是處于非線性條件下的，只有將太陽對地球施加的這個微小且周期變化的信號，與這個期間內(nèi)地球所受到的隨機力，和地球本身的非線性條件這3個條件結(jié)合起來，并且分析和討論它們最終的協(xié)同作用，才可以完整地解釋上述氣候現(xiàn)象問題。對于上述模型而言，地球是處在非線性條件下的，這種條件使得地球可能取冰川期（即冷態(tài)）和暖氣期（即暖態(tài)）這兩種狀態(tài)。由于地球離心率的周期變化，導(dǎo)致氣候在這兩個狀態(tài)之間變動，而地球受到的隨機力，則在一定程度上提高了較小的周期信號對整個非線性系統(tǒng)的調(diào)制能力，通過“隨機共振”最終引起了地球古氣象的大幅度周期變化。

（二）線性化近似理論

下面通過以線性化近似方法來處理單模激光增益模型的過程為例進行介紹。

假設(shè)已知單模激光增益模型的光強方程，并用周期信號對泵噪聲進行調(diào)制，然后通過推導(dǎo)得到加入噪聲之后單模激光增益系統(tǒng)的朗之萬方程。根據(jù)線性化近似方法，在確定論光強項中引入微擾項，并在確定論光強附近作線性化近似處理，根據(jù)單模激光系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)光強關(guān)聯(lián)函數(shù)的定義，對穩(wěn)態(tài)光強關(guān)聯(lián)函數(shù)作傅里葉變換，得到系統(tǒng)輸出光強功率譜。對系統(tǒng)輸出光強功率譜進行整理，同時得到輸出信號功率譜和輸出噪聲功率譜的表達式。根據(jù)信噪比定義，依據(jù)已經(jīng)得到的相關(guān)表達式，通過計算得到系統(tǒng)信噪比具體解析表達式。研究者可以把系統(tǒng)輸出光強功率譜以及系統(tǒng)信噪比作為研究單模激光增益系統(tǒng)的重要參數(shù)，且這些參數(shù)均在很大程度上準(zhǔn)確地反應(yīng)出系統(tǒng)的性質(zhì)。

從上述推導(dǎo)過程可以看出，線性化近似方法有一個很大的優(yōu)點，那就是它對信號、噪聲沒有任何限制條件。

（三）絕熱近似理論

絕熱近似理論是由Wesenfeld和McNamara研究團隊在1989年提出來的。假設(shè)有一雙穩(wěn)系統(tǒng)，同時在該系統(tǒng)中輸入信號和噪聲。雙穩(wěn)系統(tǒng)最常見的模型為一3次方程，如果系統(tǒng)中不加信號和噪聲，那么系統(tǒng)有兩個穩(wěn)態(tài)，且系統(tǒng)的運行軌道將在兩個穩(wěn)態(tài)附近作局域性的周期簡諧振動。但是，如果在系統(tǒng)中引入噪聲，則系統(tǒng)會在兩個穩(wěn)態(tài)之間進行躍遷。用概率分布函數(shù)來描述這一過程，可以寫出與其對應(yīng)的?？?普朗克方程。然后將上述連續(xù)模型簡化為兩態(tài)模型，當(dāng)輸入信號和噪聲強度都很小，可以將系統(tǒng)的兩個連續(xù)吸引區(qū)看作兩個離散的吸引子，則處在兩個吸引子處的概率總量分別可以求出。

在絕熱近似條件下，非線性系統(tǒng)?？?普朗克方程的長時間演化行為可以根據(jù)實際模型簡化為概率交換的主方程。假設(shè)其躍遷率形式可求，利用泰勒公式展開，得到展開式中相關(guān)參數(shù)的一次項帶入主方程，通過計算推導(dǎo)出系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率密度分布函數(shù)的解析解，然后利用漸進態(tài)可求得隨機變量相關(guān)函數(shù)的具體形式。由于該相關(guān)函數(shù)既與時間間隔有關(guān)，又和時間的初始值有關(guān)，因此統(tǒng)計意義上的相關(guān)函數(shù)是初始時間的系綜平均。根據(jù)上述分析，則可以將輸出信噪比定義為輸出總信號功率與單位噪聲譜的平均功率之比。

從以上推導(dǎo)過程可以看出，絕熱近似對信號、噪聲和系統(tǒng)有嚴(yán)格的的限制條件，該方法要求信號頻率、振幅以及噪聲強度均遠(yuǎn)小于1。這一要求看似不甚實際，但在具體的物理系統(tǒng)中，這些限制條件有時又恰好是合理的。

（四）微擾理論

1990年，中國學(xué)者胡崗教授注意到福克-普朗克方程與薛定諤方程極為相似，首次將微擾理論應(yīng)用到求解?？?普朗克方程的過程中。

假設(shè)需要處理的模型仍然是一個同時輸入信號和噪聲的簡單雙穩(wěn)系統(tǒng)，該系統(tǒng)對應(yīng)的?？?普朗克方程方程可求。且方程中引入信號振幅遠(yuǎn)小于1時，則可以將微弱信號看成微擾。根據(jù)上述方程得到無微擾?？?普朗克方程，且假設(shè)無微擾的?？?普朗克方程全部本征函數(shù)和本征值已經(jīng)求得，則可以求得無微擾?？?普朗克方程的定態(tài)解。根據(jù)正交性和歸一化條件，可得在本征表象中上述?？?普朗克方程的解。當(dāng)時間趨近于無窮大時，假定穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)為一周期函數(shù)。這時，可將穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)通過傅立葉函數(shù)展開，并在本征矢上進行分解，將其結(jié)果代入?？?普朗克方程，可得到無窮個耦合的代數(shù)方程組。對關(guān)聯(lián)函數(shù)進行傅立葉變換，并只取正頻部分的功率譜，將輸出信噪比定義為輸出總信號功率與處的單位噪聲譜的平均功率之比，可以得到系統(tǒng)的信噪比。

信噪比的定義與絕熱近似理論的定義相同，從推導(dǎo)的過程可以看出，它成立的條件對于信號頻率和噪聲強度都沒有限制。因此，微擾理論的適用范圍比絕熱近似理論更加廣泛。但是，在應(yīng)用這種方法時，必須先求解無微擾的?？?普朗克方程的全部本征函數(shù)和本征值，而求解這一步往往也是非常困難的。

四、結(jié)論

非平衡統(tǒng)計物理的研究受到復(fù)雜數(shù)學(xué)計算和傳統(tǒng)確定論物理思想的困擾，但長期以來，研究者從未放棄過對它的理論探索。文章首先簡要介紹了激光模型，然后介紹了利用4種理論解釋激光單模系統(tǒng)中處理問題的思路，并說明4種理論各自的適用性和局限性。根據(jù)這4種理論各自的不同特點，可以指導(dǎo)研究者在不同的問題中選用適當(dāng)?shù)姆椒▉碚归_自己的研究工作。

【參考文獻】

[1]張良英，曹力，吳大進.具有色關(guān)聯(lián)的色噪聲驅(qū)動下單模激光線性模型的隨機共振[J].物理學(xué)報，2003，52（5）：1174–1178.

[2]王國威. 噪聲作用下雙穩(wěn)系統(tǒng)和集合種群的統(tǒng)計性質(zhì)研究[D]. 長江大學(xué)，2014.