席愛(ài)勇，吳玉國(guó)

（1.淮安市工業(yè)園區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校，江蘇　淮安　223008；2.淮安市淮陰區(qū)教師發(fā)展中心，江蘇　淮安　223300）

小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的學(xué)理旨在通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)深度分析，融通共生，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)認(rèn)知的完整過(guò)程，建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的完整樣態(tài)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)技能、過(guò)程方法、情感態(tài)度、思想價(jià)值等多層面數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面發(fā)展。正如圖1所示，學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)是由與新知相關(guān)的核心元素、課時(shí)內(nèi)容、單元整體、領(lǐng)域分布以及學(xué)科之外的廣闊的生活世界共同構(gòu)成的多維度立體結(jié)構(gòu)。在數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的建構(gòu)過(guò)程中，通過(guò)直觀操作、描述分析、抽象概括、實(shí)踐應(yīng)用等認(rèn)知結(jié)構(gòu)化加工，最終形成學(xué)生的知識(shí)技能、過(guò)程方法、情感態(tài)度、思想價(jià)值等多層面數(shù)學(xué)素養(yǎng)結(jié)構(gòu)。

圖1　學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)

一、數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)分析

美國(guó)認(rèn)知心理學(xué)家布魯納指出：“掌握事物的結(jié)構(gòu)，就是允許許多別的東西與它有意義地聯(lián)系起來(lái)的方式去理解它。簡(jiǎn)單地說(shuō)，學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的?！盵1]小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)著眼于數(shù)學(xué)整體知識(shí)結(jié)構(gòu)的建構(gòu)，通過(guò)對(duì)課時(shí)內(nèi)容與本單元、本領(lǐng)域、相關(guān)領(lǐng)域和學(xué)科外內(nèi)容的關(guān)聯(lián)性結(jié)構(gòu)分析，將課時(shí)內(nèi)容置于數(shù)學(xué)整體知識(shí)結(jié)構(gòu)中去建構(gòu)，使課時(shí)內(nèi)容具有連續(xù)性、關(guān)聯(lián)性和生長(zhǎng)性，實(shí)現(xiàn)在局部中認(rèn)識(shí)整體，在整體中認(rèn)知局部。

（一）課時(shí)內(nèi)容的宏觀關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)分析

1.課時(shí)內(nèi)容與單元內(nèi)容的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)分析

如果把課時(shí)內(nèi)容看作一個(gè)點(diǎn)，那么單元內(nèi)容就是一條線。“點(diǎn)動(dòng)成線，點(diǎn)線相連?！币虼私處熞迩逭n時(shí)內(nèi)容在本單元中的前沿后續(xù)，充分認(rèn)識(shí)課時(shí)內(nèi)容在本單元的作用和價(jià)值，看到課時(shí)遞進(jìn)的層次和關(guān)聯(lián)，形成單元整體結(jié)構(gòu)。例如，蘇教版義務(wù)教育教科書(shū)《數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)第三單元例1“小數(shù)的意義”與單元內(nèi)容關(guān)聯(lián)性分析（如表1）。

從表1中我們不難發(fā)現(xiàn)：例1“小數(shù)的意義和讀寫(xiě)”是整個(gè)單元內(nèi)容的基礎(chǔ)，在整個(gè)單元學(xué)習(xí)中起著統(tǒng)攝作用。在這一課中讓學(xué)生直觀而深刻地認(rèn)識(shí)小數(shù)的產(chǎn)生、分不足、平均分、分母是10、100、1000……的分?jǐn)?shù)和一位小數(shù)、兩位小數(shù)和三位小數(shù)的關(guān)聯(lián)對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)小數(shù)相關(guān)內(nèi)容起到至關(guān)重要的作用，后面幾課時(shí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容都是例1學(xué)習(xí)內(nèi)容的自然遞進(jìn)。

2.課時(shí)內(nèi)容與領(lǐng)域內(nèi)容的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)分析

如果把課時(shí)內(nèi)容和單元內(nèi)容看作點(diǎn)線關(guān)系，那么課時(shí)內(nèi)容與領(lǐng)域內(nèi)容就可以看作點(diǎn)面關(guān)系。在這里，我們不僅要分析課時(shí)內(nèi)容與本領(lǐng)域的關(guān)聯(lián)，還要分析課時(shí)內(nèi)容和數(shù)學(xué)相關(guān)領(lǐng)域的關(guān)聯(lián)，用整體關(guān)聯(lián)的眼光看待課時(shí)內(nèi)容。例如我們?cè)趯W(xué)習(xí)“小數(shù)的意義和性質(zhì)”時(shí)，不僅要和三年級(jí)下冊(cè)“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”、五年級(jí)上冊(cè)“小數(shù)的四則運(yùn)算和混合運(yùn)算”、五年級(jí)下冊(cè)“小數(shù)和分?jǐn)?shù)的互化”以及六年級(jí)上冊(cè)“小數(shù)和百分?jǐn)?shù)的互化”“求比值”相聯(lián)系，還要和三年級(jí)上冊(cè)的“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（一）”以及三年級(jí)下冊(cè)的“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)（二）”相聯(lián)系，以及一至四年級(jí)的“整數(shù)的意義、讀寫(xiě)以及大小比較、十進(jìn)制計(jì)數(shù)法”等知識(shí)相聯(lián)系，將小數(shù)看作十進(jìn)制分?jǐn)?shù)系和整數(shù)系向細(xì)分方向的拓展，這樣就把小數(shù)意義和分?jǐn)?shù)、整數(shù)有機(jī)聯(lián)系起來(lái)，弄清小數(shù)意義知識(shí)的前延后續(xù)、縱橫聯(lián)系，在“數(shù)與代數(shù)”的領(lǐng)域框架下理解和建構(gòu)小數(shù)的意義。當(dāng)然，我們也要看到“小數(shù)的意義”與“圖形與幾何”“概率與統(tǒng)計(jì)”等相關(guān)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的普遍聯(lián)系。例如我們?cè)趯W(xué)習(xí)“小數(shù)的意義”時(shí)，需要涉及物體長(zhǎng)度的丈量、正方形和正方體的分割、人民幣單位換算、長(zhǎng)度單位換算等很多“圖形與幾何”領(lǐng)域的知識(shí)技能，在平均分、數(shù)一數(shù)時(shí)也涉及“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的思想方法。

表1　“小數(shù)的意義”與單元內(nèi)容的關(guān)聯(lián)性分析

3.課時(shí)內(nèi)容與學(xué)科外內(nèi)容的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)分析

我們不僅要看到課時(shí)內(nèi)容與單元內(nèi)容、領(lǐng)域內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，即學(xué)科內(nèi)的知識(shí)結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)；還要看到課時(shí)內(nèi)容與學(xué)科外其他學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)乃至學(xué)生整個(gè)生活世界的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，將課時(shí)內(nèi)容置于學(xué)生廣闊的生活世界里來(lái)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)，讓課時(shí)內(nèi)容真正站立起來(lái)，不斷豐盈起來(lái)。例如，我們?cè)趯W(xué)習(xí)“小數(shù)的意義”時(shí)，不僅要看到它與小數(shù)的性質(zhì)、小數(shù)大小比較、小數(shù)四則運(yùn)算等小數(shù)領(lǐng)域知識(shí)的結(jié)構(gòu)性關(guān)聯(lián)，還要看到它與分?jǐn)?shù)、整數(shù)、比等“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域相關(guān)知識(shí)的結(jié)構(gòu)性關(guān)聯(lián)以及與“圖形與幾何”“概率與統(tǒng)計(jì)”等數(shù)學(xué)領(lǐng)域的結(jié)構(gòu)性關(guān)聯(lián)，更要看到它與學(xué)科外其他學(xué)科如自然、物理、化學(xué)等學(xué)科結(jié)構(gòu)性關(guān)聯(lián)，尤其是學(xué)生日常生活世界的結(jié)構(gòu)性關(guān)聯(lián)，如丈量物體長(zhǎng)度、貨幣兌換等。

（二）課時(shí)內(nèi)容的微觀元素結(jié)構(gòu)分析

如果說(shuō)上面是課時(shí)內(nèi)容的向外拓展性結(jié)構(gòu)研究，那么課時(shí)內(nèi)容的元素結(jié)構(gòu)分析就是課時(shí)內(nèi)容的向內(nèi)微觀性結(jié)構(gòu)研究。通過(guò)課時(shí)內(nèi)容的向內(nèi)微觀性結(jié)構(gòu)研究，即通過(guò)課時(shí)內(nèi)容各個(gè)教學(xué)要點(diǎn)的元素分解與重組，不斷優(yōu)化課時(shí)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，豐富課時(shí)內(nèi)容的內(nèi)涵品質(zhì)，使課時(shí)內(nèi)容更有普適性、深刻性和生長(zhǎng)性。如我們?cè)趯W(xué)習(xí)“小數(shù)的意義”時(shí)，可以將課時(shí)內(nèi)容分解為整體認(rèn)識(shí)（如生活經(jīng)歷、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)）、理解（如丈量、分不足、小數(shù)表達(dá)）、讀寫(xiě)（零點(diǎn)幾、幾點(diǎn)幾）、計(jì)數(shù)單位（如十分之一、0.1、直尺上的分?jǐn)?shù)與小數(shù)）、數(shù)位（如十分位、小數(shù)點(diǎn)、數(shù)位順序表等）、進(jìn)率（如滿十進(jìn)一、正方形數(shù)軸、計(jì)數(shù)器等）等若干學(xué)習(xí)要點(diǎn)，再將這些學(xué)習(xí)要點(diǎn)的落實(shí)分解成若干核心要素，對(duì)這些核心要素進(jìn)行再優(yōu)化組合，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“再創(chuàng)造”，不斷提升學(xué)習(xí)效果和內(nèi)涵品質(zhì)。

二、學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)分析

美國(guó)認(rèn)知心理學(xué)家?jiàn)W蘇伯爾說(shuō):“每當(dāng)我們致力于影響學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以便最大限度提高意義學(xué)習(xí)和保持時(shí)，我們就深入到了教育過(guò)程的核心?！盵2]在學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)形成過(guò)程中，知識(shí)的組織和表征是兩個(gè)非常重要的影響因素，教師應(yīng)該以此為依據(jù)，運(yùn)用合理的教學(xué)策略，力爭(zhēng)使學(xué)生構(gòu)建合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)到底是怎樣形成的？多元表征認(rèn)知心理學(xué)家依據(jù)新雙重編碼理論給出了答案。數(shù)學(xué)表征特指數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的表征，其本質(zhì)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的一個(gè)替代。數(shù)學(xué)多元表征從本質(zhì)上分兩類(lèi)：一是數(shù)學(xué)對(duì)象的言語(yǔ)化表征，如文字、口頭語(yǔ)言、書(shū)面語(yǔ)言、邏輯符號(hào)、公式定理等，主要指數(shù)學(xué)中的“數(shù)”；二是數(shù)學(xué)對(duì)象的視覺(jué)化表征，如圖形、圖表、數(shù)學(xué)模型、實(shí)物情境、表情、肢體動(dòng)作等，主要指數(shù)學(xué)中的“形”。數(shù)學(xué)多元表征就是基于“數(shù)”和“形”形成兩類(lèi)本質(zhì)不同的編碼系統(tǒng)：言語(yǔ)編碼系統(tǒng)和心象編碼系統(tǒng)。言語(yǔ)編碼系統(tǒng)專(zhuān)門(mén)處理言語(yǔ)碼，表征言語(yǔ)信息。心象編碼系統(tǒng)專(zhuān)門(mén)處理心象碼，表征非言語(yǔ)信息。[3]

在加工信息的過(guò)程中，言語(yǔ)編碼系統(tǒng)和心象編碼系統(tǒng)既相互獨(dú)立又緊密聯(lián)系。具體體現(xiàn)在它們之間有三種聯(lián)系與加工方式：表征性加工、參照性加工和聯(lián)想性加工。[4]表征性加工指一個(gè)或兩個(gè)系統(tǒng)的最初激活，是外界刺激對(duì)內(nèi)部編碼系統(tǒng)的作用或影響。參照性加工指兩個(gè)系統(tǒng)之間的相互激活和參照性聯(lián)系，即言語(yǔ)碼可以激活心象碼，心象碼也可以激活言語(yǔ)碼。聯(lián)想性加工是指一個(gè)編碼系統(tǒng)內(nèi)部的激活擴(kuò)散即言語(yǔ)系統(tǒng)中的言語(yǔ)碼可以激活言語(yǔ)系統(tǒng)內(nèi)部其他的言語(yǔ)碼，而心象系統(tǒng)中的心象碼可以激活心象系統(tǒng)內(nèi)部其他的心象碼。

從數(shù)學(xué)多元表征認(rèn)知結(jié)構(gòu)模型（參見(jiàn)圖2）可以看出，教師將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象以言語(yǔ)信息（口語(yǔ)、文字、符號(hào)）和非言語(yǔ)信息（實(shí)物、模型、圖片、活動(dòng)、情境）形式呈現(xiàn)給學(xué)生進(jìn)行外在表征加工。言語(yǔ)信息通過(guò)符號(hào)語(yǔ)義分析原理進(jìn)行加工，形成言語(yǔ)表征，以言語(yǔ)碼形式進(jìn)入學(xué)生的言語(yǔ)表征系統(tǒng)；非言語(yǔ)信息通過(guò)結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)原理進(jìn)行加工，形成圖像表征，以心象碼形式進(jìn)入學(xué)生的心象表征系統(tǒng)。新編碼在系統(tǒng)內(nèi)與學(xué)生系統(tǒng)內(nèi)原有的舊編碼進(jìn)行聯(lián)想性加工，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)內(nèi)信息相互轉(zhuǎn)換，建構(gòu)意義聯(lián)系，形成言語(yǔ)碼組織（命題、圖式、CPFS結(jié)構(gòu)等）和心象碼組織（視空間表征、心智模式等），同時(shí)在系統(tǒng)間進(jìn)行參照性加工，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)間信息相互轉(zhuǎn)譯，建構(gòu)意義聯(lián)系，最終整合成學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，必要時(shí)外化應(yīng)用于新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象?？梢?jiàn)，數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)的內(nèi)化過(guò)程本質(zhì)上就是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象進(jìn)行多元理解、多元編碼、轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)譯、建立數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程；數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)外化的過(guò)程本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)外顯化、可視化，應(yīng)用于新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的過(guò)程。“外在表征——（感知）——內(nèi)在表征——（轉(zhuǎn)換）——認(rèn)知結(jié)構(gòu)——（應(yīng)用）——實(shí)踐表征”構(gòu)成了學(xué)生數(shù)學(xué)多元表征學(xué)習(xí)的認(rèn)知循環(huán)系統(tǒng)。[5]

圖2　數(shù)學(xué)多元表征認(rèn)知結(jié)構(gòu)模型

三、學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)融通實(shí)踐

小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)以學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展過(guò)程為經(jīng)線，以數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)過(guò)程為緯線，以數(shù)學(xué)多階思維發(fā)展過(guò)程為軸線，融通旋轉(zhuǎn)，形成一個(gè)多維度立體式結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生經(jīng)歷認(rèn)知發(fā)生發(fā)展的完整過(guò)程，建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的完整樣態(tài)，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維階梯式循環(huán)往復(fù)螺旋上升，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地生根、持續(xù)發(fā)展。（模型建構(gòu)如圖3）

從圖3中我們不難看出，小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展從直觀操作開(kāi)始，連續(xù)生活體驗(yàn)，讓生活現(xiàn)象逐步轉(zhuǎn)化為學(xué)生的認(rèn)知對(duì)象，并逐步建立整體表象；通過(guò)表象描述，從零星逐步走向豐富，形成關(guān)于概念的各種屬性，創(chuàng)生知識(shí)胚胎和載體；通過(guò)概念分析，關(guān)聯(lián)概念元素，逐步去除概念非本質(zhì)屬性，保留概念本質(zhì)屬性，實(shí)現(xiàn)概念類(lèi)化；通過(guò)概念歸納，將概念本質(zhì)屬性有機(jī)組合起來(lái)，抽象出概念定義；通過(guò)模型建構(gòu)，建構(gòu)數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)符號(hào)的關(guān)聯(lián)；通過(guò)符號(hào)表達(dá)，實(shí)現(xiàn)概念符號(hào)化模型建構(gòu)；最后回歸實(shí)踐應(yīng)用，在實(shí)踐應(yīng)用中不斷檢驗(yàn)完善數(shù)學(xué)模型，循環(huán)演繹拓展數(shù)學(xué)知識(shí)。隨著學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知不斷推進(jìn)，數(shù)學(xué)思維不斷進(jìn)階，學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)也逐步建構(gòu)起來(lái)了。

圖3　數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)模型結(jié)構(gòu)

例如，筆者在教學(xué)“小數(shù)的意義”時(shí)，運(yùn)用結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)模型進(jìn)行了認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展過(guò)程和數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)發(fā)展過(guò)程實(shí)踐分析，并依此進(jìn)行學(xué)程設(shè)計(jì)，組織課堂教學(xué)，學(xué)生學(xué)得輕松自然、深入淺出，真正實(shí)現(xiàn)學(xué)一點(diǎn)點(diǎn)，見(jiàn)一片片，從由外而內(nèi)的結(jié)構(gòu)理解，到由內(nèi)而外的創(chuàng)生發(fā)展。在課堂上，走著走著，教師就“不見(jiàn)了”，學(xué)生就成了學(xué)習(xí)的主人。

因此，小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)在實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)以數(shù)學(xué)思維為軸的自然融通發(fā)展中，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)自然深度發(fā)生，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)自然落地生根，蓬勃生長(zhǎng)?！?/p>

參考文獻(xiàn)：

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