曹志國

（蘇州市相城區(qū)陸慕實(shí)驗(yàn)小學(xué)，江蘇　蘇州　215131）

數(shù)學(xué)知識包括客觀性數(shù)學(xué)知識和主觀性數(shù)學(xué)知識兩類，客觀性數(shù)學(xué)知識是指那些不因地域或?qū)W習(xí)者而改變的數(shù)學(xué)事實(shí)，包括數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)規(guī)則和數(shù)學(xué)思想方法。[1]數(shù)學(xué)規(guī)則是一種形式化的結(jié)構(gòu)，是兩個或兩個以上數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系及其規(guī)律性在人腦中的反映。在美國教育心理學(xué)家加涅提出的由簡到繁的八個學(xué)習(xí)層次中，規(guī)則屬于較高層次的學(xué)習(xí)，是理智技能中最典型的形式。在奧蘇貝爾的五類有意義學(xué)習(xí)中，規(guī)則學(xué)習(xí)為概念學(xué)習(xí)與高級規(guī)則學(xué)習(xí)或解決問題學(xué)習(xí)與創(chuàng)造學(xué)習(xí)的中間環(huán)節(jié)。

小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則的主要表現(xiàn)形式是法則、性質(zhì)、定律、公式等，它廣泛地存在于數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率等內(nèi)容之中，其學(xué)習(xí)對于改善學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力及探索、創(chuàng)造能力起著重要的作用。數(shù)學(xué)規(guī)則教學(xué)應(yīng)基于整體性、本體性等多重視域展開，循序列化、理性化、本源化之“規(guī)”，守結(jié)構(gòu)性、嚴(yán)密性、合理性之“則”，促進(jìn)規(guī)則自然地生長，科學(xué)地生成，內(nèi)在地生發(fā)。

一、循“序列化”，守“結(jié)構(gòu)性”，整體視域下的規(guī)則生長

數(shù)學(xué)規(guī)則是一種形式化結(jié)構(gòu)，其學(xué)習(xí)的復(fù)雜程度及思維層次都高于數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)。同時，數(shù)學(xué)規(guī)則本身又在縱向上不斷發(fā)展，延伸完善；在橫向上不斷交叉，形成體系。整體視域，就要站在學(xué)段整體與規(guī)則系統(tǒng)的高度，遵循知識內(nèi)在邏輯之“序列”與學(xué)生認(rèn)知發(fā)展之“序列”組織教學(xué)。課堂實(shí)踐中應(yīng)化難為易，逐步滲透；循序漸進(jìn)，打通聯(lián)結(jié)；促進(jìn)規(guī)則自然生長，建立規(guī)則結(jié)構(gòu)體系。

1.縱向滲透，形成認(rèn)知

加涅認(rèn)為：“規(guī)則通常是在教學(xué)結(jié)束時而不要在教學(xué)之初就用語言呈現(xiàn)。學(xué)習(xí)時一般要求把它們分解為一些更簡單的部分，而最后才是把它們整合為一條完整的規(guī)則?！被谥R內(nèi)部嚴(yán)密的邏輯性、規(guī)則本身的復(fù)雜性和兒童認(rèn)知發(fā)展的階段性特點(diǎn)，教學(xué)中，在縱向上可全程“灌滴”，逐步滲透，加強(qiáng)不同年段之間的規(guī)則融通，讓學(xué)生逐漸感悟、抽象并建立相應(yīng)的規(guī)則模型。

“一個數(shù)連續(xù)除以兩個數(shù)，就等于這個數(shù)除以這兩個數(shù)的積”這一運(yùn)算性質(zhì)在教學(xué)中遵循教材之序列，采取多次孕伏、灌滴滲透的方法，幫助學(xué)生形成認(rèn)知。三年級上冊《兩三位數(shù)除以一位數(shù)——復(fù)習(xí)》第7題，呈現(xiàn)諸如848÷4÷2，848÷8的計(jì)算；三年級下冊《混合運(yùn)算——練習(xí)五》第6題，計(jì)算320÷4÷2，320÷（4×2）；四年級上冊《兩、三位數(shù)除以一位數(shù)》單元“練習(xí)三”和“整理與練習(xí)”中，也都呈現(xiàn)了類似720÷（8×6）的計(jì)算，并要求學(xué)生之間交流算法；再到四年級下冊第六單元《運(yùn)算律——整理與練習(xí)》第6題，計(jì)算290÷5÷2、290÷（5×2），并提出“算一算，比一比，你有什么發(fā)現(xiàn)”的學(xué)習(xí)要求。從三年級上冊起，在除法計(jì)算、混合運(yùn)算、運(yùn)算律等單元教學(xué)中，多次對除法運(yùn)算的性質(zhì)進(jìn)行滲透，使學(xué)生逐步感悟，并能逐漸運(yùn)用這一性質(zhì)進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算。到四年級下冊教學(xué)“運(yùn)算律”時，明確提出規(guī)律探尋的要求，引導(dǎo)學(xué)生用多種形式對除法的這一運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行表征，完成數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建。到了六年級上冊，教學(xué)《分?jǐn)?shù)除法》之時，應(yīng)及時轉(zhuǎn)化，溝通除法性質(zhì)與乘法運(yùn)算律之間的內(nèi)在聯(lián)系。根據(jù)“甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘以乙數(shù)的倒數(shù)”，建立諸如290÷5÷2=290÷（5×2）與之間的對應(yīng)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)乘、除法運(yùn)算規(guī)則走向統(tǒng)一。

縱向滲透，就是在不同階段對相同規(guī)則進(jìn)行由淺入深、由易到難的課堂實(shí)踐，使學(xué)生在不同階段對相同規(guī)則有不同的表征樣態(tài)，并在特定階段進(jìn)行表征系統(tǒng)內(nèi)的互相轉(zhuǎn)譯，實(shí)現(xiàn)規(guī)則的統(tǒng)一互通，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)規(guī)則的認(rèn)知更加完整、清晰和穩(wěn)固。

2.橫向聯(lián)結(jié)，建立結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)教學(xué)中力求呈現(xiàn)數(shù)學(xué)動態(tài)統(tǒng)一的、有機(jī)關(guān)聯(lián)的、鮮活生動的、具有探索性的和全息性知識特征的科學(xué)與文化形象，而不是固定不變的、僵化教條的、局部的、彼此分割的知識條塊和記憶庫。[2]而在奧蘇貝爾看來，學(xué)習(xí)材料本身具有邏輯意義是有意義學(xué)習(xí)的重要條件。教學(xué)中，要善于發(fā)現(xiàn)不同數(shù)學(xué)規(guī)則之間的緊密的聯(lián)系，找尋邏輯上的意義，在“新”規(guī)則的同化及形成后，抽取出“新”“舊”規(guī)則之間的內(nèi)在聯(lián)系，提煉出不同規(guī)則間共同的精神內(nèi)核，使“新”規(guī)則融合到已有的規(guī)則系統(tǒng)中去，實(shí)現(xiàn)學(xué)生高水平上的認(rèn)知再平衡，構(gòu)建動態(tài)的、全新的、更高位的規(guī)則體系。

在二年級下冊《兩、三位數(shù)的加法和減法的筆算》教學(xué)中，形成了基于十進(jìn)制位值原則下的“相同數(shù)位對齊、滿十進(jìn)一或借一當(dāng)十”；基于計(jì)算的便捷性的“從個位算起”等整數(shù)加減法的計(jì)算規(guī)則。到三年級上冊教學(xué)同分母分?jǐn)?shù)加減法時，構(gòu)建了“只要把分子相加、減，分母不變”的計(jì)算規(guī)則。到了五年級上冊，在教學(xué)小數(shù)加減法時，學(xué)生形成了“小數(shù)點(diǎn)對齊，即相同數(shù)位對齊”的認(rèn)知。五年級下冊，“異分母分?jǐn)?shù)加減法，先通分成同分母分?jǐn)?shù)，再按照同分母分?jǐn)?shù)加減法的方法進(jìn)行計(jì)算”的規(guī)則也已形成。當(dāng)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算規(guī)則已全部獨(dú)立構(gòu)建之時，應(yīng)加強(qiáng)規(guī)則之間的橫向溝通：整數(shù)加減法的“相同數(shù)位對齊”，小數(shù)加減法的“小數(shù)點(diǎn)對齊”，同分母分?jǐn)?shù)加減法的“分子相加減”，異分母分?jǐn)?shù)加減法的“先通分”，在本質(zhì)上完全相同，共同的規(guī)則是“只有相同計(jì)數(shù)單位上的數(shù)才能相加減”，從而加深學(xué)生對算理的認(rèn)識，為算法提供理論依據(jù)。

杜賓斯基關(guān)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的APOS理論模型的最高階段即為圖式階段，就是對相關(guān)的數(shù)學(xué)知識之間進(jìn)行高層次的心理加工與整合，在頭腦中產(chǎn)生一個新的綜合心理圖式。明確不同數(shù)學(xué)規(guī)則之間的“共同規(guī)則”，將多個“規(guī)則單一體”整合成“規(guī)則共同體”，實(shí)現(xiàn)表征系統(tǒng)間的互相轉(zhuǎn)換，才能使規(guī)則交叉融合，結(jié)成網(wǎng)、連成片，從比較簡單的結(jié)構(gòu)生長出更為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，構(gòu)建規(guī)則結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。

二、循“理性化”，守“嚴(yán)密性”，個體視域下的規(guī)則生成

抽象、推理、模型等基本思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂，分別從數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、內(nèi)部發(fā)展、與外部關(guān)聯(lián)三個維度影響著數(shù)學(xué)的發(fā)展。其中，推理是從已知判斷推出未知判斷，一般包括合情推理和演繹推理。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，規(guī)則的發(fā)現(xiàn)常常伴隨著猜想，但更離不開推理。如果說猜想是感性的、發(fā)散的，那么推理則是理性的、嚴(yán)密的。個體視域就是要秉持思維的理性，基于規(guī)則的嚴(yán)密性，從數(shù)學(xué)推理的角度探尋個體數(shù)學(xué)規(guī)則的科學(xué)生成，在教學(xué)實(shí)踐中注重合情推理與演繹推理不同的功能形式指向，并適時將多種不同的推理方法有機(jī)整合。

1.注重指向，理性生成

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞認(rèn)為：學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑是自己去發(fā)現(xiàn)，因?yàn)檫@樣發(fā)現(xiàn)理解最深，也最容易掌握其中的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系。合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實(shí)和確定的規(guī)則出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算。[3]歸納是由特殊到一般的推理，演繹是由一般到特殊的推理，類比是從特殊到特殊的推理?；诓煌评淼墓δ懿町?，在教學(xué)中應(yīng)凸顯它們不同的價值指向，基于不同的規(guī)則教學(xué)適時加以運(yùn)用，引發(fā)學(xué)生的探索發(fā)現(xiàn)之旅，震蕩出問題表象中蘊(yùn)藏的規(guī)則力量，并用數(shù)學(xué)符號化的形式予以表征，理性生成規(guī)則模型。

多邊形的內(nèi)角和計(jì)算公式的教學(xué)，先從三角形內(nèi)角和的探究開始，其內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°……引發(fā)學(xué)生對邊數(shù)、內(nèi)角和之間的內(nèi)在規(guī)律的探尋。再基于已有發(fā)現(xiàn)，由一類對象中部分對象具有的某種屬性,推出該類對象全類都具有該屬性，抽象出數(shù)學(xué)規(guī)則，建立多邊形的內(nèi)角和=（邊數(shù)-2）×180°的數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知順應(yīng)，完成數(shù)學(xué)規(guī)則的上位學(xué)習(xí)，彰顯不完全歸納推理的實(shí)踐價值。而正方體體積計(jì)算公式安排在長方體體積計(jì)算公式的學(xué)習(xí)之后，教學(xué)中演繹推理的價值應(yīng)值得重視。長方體的體積=長×寬×高，正方體是長、寬、高都相等的特殊的長方體，因此，正方體的體積=長×寬×高=棱長×棱長×棱長=棱長3，完成認(rèn)知同化，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)則的下位學(xué)習(xí)，形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和比的基本性質(zhì)，可利用它們和除法商不變規(guī)律的聯(lián)系通過類比去掌握，完成數(shù)學(xué)規(guī)則的并列學(xué)習(xí)。

“傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱比較強(qiáng)調(diào)邏輯推理而忽視了合情推理；而《標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)版）》又矯枉過正，過于強(qiáng)調(diào)合情推理，在邏輯推理能力方面有所淡化……《標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》把推理能力作為10個核心概念，確立了推理能力的重要地位?！盵4]當(dāng)前，大量文獻(xiàn)資料表明，眾多專家學(xué)者也都認(rèn)為推理能力是學(xué)生不可或缺的核心素養(yǎng)。規(guī)則教學(xué)中，要深入挖掘蘊(yùn)藏于教學(xué)內(nèi)容中的推理因子，有區(qū)分地運(yùn)用不同的推理形式，引領(lǐng)學(xué)生完成從未知到已知的數(shù)學(xué)探尋，從中彰顯不同推理的價值意蘊(yùn)，加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)規(guī)則的理性認(rèn)識，步入培養(yǎng)學(xué)生推理能力的新境界。

2.多維融合，嚴(yán)密構(gòu)建

“歸納和演繹正如分析與綜合一樣，是必然互相聯(lián)系著的。不應(yīng)犧牲一個而把另一個捧到天上去，而要做到這一點(diǎn)，只有注意它們的互相聯(lián)系，它們的互相補(bǔ)充?！盵5]恩格斯在

《自然辯證法》中的話語給我們以深深啟迪。而在加涅看來，規(guī)則學(xué)習(xí)至少包含掌握規(guī)則的言語信息和規(guī)則證明兩個階段。合情推理與歸納推理的功能指向雖有所側(cè)重，但在教學(xué)中要避免將各自推理的作用絕對化的傾向，應(yīng)將多種不同的推理予以融合，使其相輔相成、共生共長。教學(xué)中，對于同一數(shù)學(xué)規(guī)則的得出，可引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷多維形式的推理過程，使不同的推理互相作用，促進(jìn)數(shù)學(xué)規(guī)則的嚴(yán)密建構(gòu)。

四年級“乘法分配律”的教學(xué)，可在32×102=32×100+32×2等較多計(jì)算實(shí)例的基礎(chǔ)上，進(jìn)行不完全歸納推理，抽象出（a+b）×c=a×c+b×c的數(shù)學(xué)規(guī)則；通過“象棋每副32元，買102副一共需要多少元”的現(xiàn)實(shí)問題解決，進(jìn)行長方形面積分割計(jì)算時數(shù)形結(jié)合分析（參見圖1）的類比推理；從乘法意義的角度說明“100個32再加2個32就是102個32”，進(jìn)行算理解釋，推論這樣的合并無論相同加數(shù)是多少、有幾個，都是成立的，揭示對象與其屬性之間的因果聯(lián)系。不完全歸納推理、類比推理、演繹推理等不同推理方式的整合運(yùn)用（參見圖2）[6]，使數(shù)學(xué)結(jié)論的探尋也兼具有了證明的屬性，使數(shù)學(xué)規(guī)則的得出從感性走向理性，或然走向必然。

三、循“本源化”，守“合理性”，本體視域下的規(guī)則生發(fā)

小學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識大多是一種間接的知識，教學(xué)如果片面指向“是什么”，而忽略“為什么”，那么數(shù)學(xué)也只是“冰冷的美麗”?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)。對于數(shù)學(xué)規(guī)則，如果學(xué)生只知其來源于課本、來源于教師、來源于權(quán)威，也必將壓抑學(xué)生的探究精神和創(chuàng)新意識，從而變得舍本求末、“遠(yuǎn)離”數(shù)學(xué)。本體視域，就是要引領(lǐng)學(xué)生循回?cái)?shù)學(xué)本源、回溯知識源頭、走進(jìn)規(guī)則內(nèi)部，經(jīng)歷再探索、再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造，適當(dāng)親歷數(shù)學(xué)規(guī)則的形成過程，感悟數(shù)學(xué)規(guī)則既是約定的條文，更是人們統(tǒng)一意愿的體現(xiàn)，是基于合理性的內(nèi)在生發(fā)，從而對規(guī)則產(chǎn)生“親近”。

圖1　

圖2　

1.回溯本源，內(nèi)在生發(fā)

弗賴登塔爾有言:“教數(shù)學(xué)活動不是教數(shù)學(xué)活動的結(jié)果,而是教數(shù)學(xué)活動的過程,而且從某種程度上講,教過程比教結(jié)果更重要?！爆F(xiàn)代數(shù)學(xué)的鼻祖康托也有“數(shù)學(xué)的本質(zhì)是自由”的論斷。我們要充分調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，引領(lǐng)他們經(jīng)歷規(guī)則的生發(fā)過程，從事“火熱地?cái)?shù)學(xué)思考”，探尋規(guī)則源頭閃爍的人類自由思維。

豎式計(jì)算是運(yùn)算方法與程序規(guī)定的體現(xiàn)，其理論依據(jù)是“計(jì)數(shù)的位值原則”。在四則運(yùn)算的豎式計(jì)算中，小數(shù)乘小數(shù)“末位對齊”而非“相同數(shù)位對齊”的計(jì)算法則顯得與眾不同。教學(xué)中，要通過不同書寫形式的比較，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其規(guī)則確定的適切性，產(chǎn)生主動加以運(yùn)用的積極心理。如2.31×1.3，根據(jù)算理：3個0.1與1個0.01相乘，得到3個0.001，3寫在千分位上，3個0.1與3個0.1相乘，得到9個0.01，9寫在百分位上，3個0.1與2個1相乘，得到6個0.1，6寫在十分位上；再把1分別與1個0.01、3個0.1、2個1相乘，得數(shù)分別寫在對應(yīng)的數(shù)位上，最后相加得到3.003（參見圖3）。教學(xué)中應(yīng)首先使學(xué)生認(rèn)識到小數(shù)乘小數(shù)，相同數(shù)位對齊的算法是可行的；其次在與“末位對齊法”的豎式比較中，充分感受到后者不論是計(jì)算過程，還是書寫形式，更為簡潔方便，不易出錯；而且“積的變化規(guī)律”也為其提供了確切的算理支撐。因此在小數(shù)乘小數(shù)時，將乘數(shù)末尾對齊的寫法也就成為約定俗成?；厮莸揭?guī)則的源頭，規(guī)則也不再是冰冷的、生硬的，而是溫情的、自然的，內(nèi)在生發(fā)而充滿著生命的活力。

圖3　

2.經(jīng)歷創(chuàng)造，感悟合理

首都師范大學(xué)王尚志教授曾指出，數(shù)學(xué)講邏輯推理，更要講道理。在懷特?？磥恚瑢W(xué)生是有血有肉的人，教育的目的是為了激發(fā)和引導(dǎo)他們的自我發(fā)展之路。筆者以為，要讓數(shù)學(xué)規(guī)則“講道理”，就應(yīng)展現(xiàn)它在當(dāng)下存在的合理性，使學(xué)生從接受規(guī)則的奴仆轉(zhuǎn)變?yōu)閯?chuàng)造規(guī)則的主人。在經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的過程中，在對規(guī)則合理性的辨析感悟中，引發(fā)學(xué)生的自我發(fā)展是數(shù)學(xué)規(guī)則教學(xué)的應(yīng)有之義。

特級教師蔡宏圣執(zhí)教的“四則混合運(yùn)算”能帶給我們些許啟迪。問題一：“信封里3張5元紙幣，信封外1個1元硬幣，一共有多少元？”基于實(shí)際問題，在5×3+1、5×2+5+1、5+5+5+1的比較中，學(xué)生體悟到乘法優(yōu)先計(jì)算的快捷性與合理性。問題二：“每碗魚湯面5元，每個雞蛋1元，每份早餐里含一碗魚湯面和1個雞蛋，3份早餐一共多少元？”思辨算式5+1×3，為避免與上面的運(yùn)算順序混淆，創(chuàng)造出小括號的使用，體驗(yàn)到小括號使用是確保計(jì)算結(jié)果唯一性的必然要求；從生活中的步行——自行車——汽車——火車——飛機(jī)，到數(shù)學(xué)中的數(shù)數(shù)——加減法——乘除法……體現(xiàn)高階替代低階的發(fā)展性，與生活的類比使得數(shù)學(xué)道理淺顯易懂。系列教學(xué)，學(xué)生深刻認(rèn)識到四則運(yùn)算規(guī)則的求簡原則；感悟到數(shù)學(xué)規(guī)則產(chǎn)生于人們解決問題的需要，雖是人為規(guī)定，但卻是合理的，在規(guī)則的形成過程中折射出人類智慧的光芒。

數(shù)學(xué)規(guī)則深刻地反映了數(shù)學(xué)的規(guī)律，而數(shù)學(xué)規(guī)律能深刻地反映萬事萬物的規(guī)律。在規(guī)則教學(xué)中，整體、個體、本體三重視域分別從宏觀、中觀、微觀三個層面折射出規(guī)則形成過程中的思想精神和路徑方法，使規(guī)則的教學(xué)具有廣度、深度和溫度三重屬性。循“規(guī)”守“則”，豐富著規(guī)則教學(xué)的理論意義與實(shí)踐價值，詮釋著從單一走向結(jié)構(gòu)、從感性走向理性、從遵守走向創(chuàng)造的數(shù)學(xué)教育真諦。▲

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