張瑩瑩

[摘? 要] 本文闡述了加強高中數(shù)學知識聯(lián)系的必要性，如何根據(jù)高中數(shù)學教學的內(nèi)容特點及學生特點選取橫向聯(lián)系、縱向類比兩種方式來加強知識聯(lián)系，培養(yǎng)學生多方向的數(shù)學思維能力. 筆者針對兩個平行班各自的特點，實施加強高中數(shù)學知識聯(lián)系的一系列教學實踐. 文中展示其中一課案例，并說明實施效果.

[關(guān)鍵詞] 加強;知識聯(lián)系;案例研究;橫向聯(lián)系;縱向類比

筆者曾經(jīng)做過這樣一個教學反饋測試：在學生學完高中數(shù)學人教A版必修1.2.2“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”一課后，隔一周后抽取三名由不同教師執(zhí)教的數(shù)學基礎(chǔ)相近的學生重做一遍課本第19頁例6.學生丙由于先進行了角α情況的分析，所以能正確完成該題. 筆者結(jié)合三名教師的教學過程分析這三名學生的做題情況，得知三位數(shù)學教師都嚴格按照教材內(nèi)容進行了授課. 學生甲的老師在學生初中所學的直角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，引入任意角的三角函數(shù)后，經(jīng)常以直角三角形為例，通過設(shè)邊長向?qū)W生解析或求解任意角的三角函數(shù)值，于是學生便學會了用直角三角形為工具來解決此類問題;學生乙的老師推導了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系后，講解例6時雖然也強調(diào)了要先判斷角α的情況，但是學生僅記得有兩個公式可套用;學生丙的老師先讓學生復(fù)習前面所學任意角的三角函數(shù)內(nèi)容，突出通過三角函數(shù)值的符號判斷角α的情況，再講解例6，學生丙對要先判斷角α的情況留下了較深刻的印象. 比較學生乙與學生丙，可以說明加強高中數(shù)學知識的聯(lián)系可以讓學生對所學的知識有清晰的認識和較持久的記憶;比較學生甲與學生丙，可以說明如何加強高中數(shù)學知識的聯(lián)系也直接影響學生的數(shù)學思維及解決問題的方式.

加強高中數(shù)學知識聯(lián)系的必要性

高中數(shù)學課程內(nèi)容主要是選取了滿足基本數(shù)學需求、能為學生進一步的學習提供必要數(shù)學準備的知識. 這些高中數(shù)學知識有的是初中數(shù)學知識的延伸與深化;有的是學生從未接觸過的，是從多個領(lǐng)域的數(shù)學知識系統(tǒng)中抽出來的，顯得比較零碎. 由于不注重知識間的聯(lián)系，如果教師僅以章節(jié)為單位完成教學內(nèi)容，學生往往以碎片化的形式將知識存儲于腦中. 這樣一來，學生容易忘記或混淆部分知識和題型，在解題過程中常常無法靈活運用知識，出現(xiàn)思路中斷，不利于高中學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng). 筆者根據(jù)自身多年的教學經(jīng)驗，認為加強高中數(shù)學知識聯(lián)系非常必要. 加強高中數(shù)學知識聯(lián)系既能讓學生在頭腦中形成較完整的數(shù)學知識體系，又能提升其數(shù)學思維的能力.

加強高中數(shù)學知識聯(lián)系應(yīng)把握的兩個原則

1. 教師應(yīng)充分了解高中數(shù)學知識的來龍去脈

要加強高中數(shù)學知識的聯(lián)系，需要數(shù)學教師充分了解高中數(shù)學知識的來龍去脈. 只有教師能清楚地梳理知識間的聯(lián)系，才能清晰地抓住知識鏈，讓數(shù)學知識以一環(huán)扣一環(huán)的方式緊湊出現(xiàn)，使學生在學習的過程中體會知識間的聯(lián)系，逐步完善已有的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，提高分析問題和解決問題的能力. 教師需要了解哪些高中數(shù)學知識是在學生已有知識的基礎(chǔ)上進行延伸、拓展、深化而來的;哪些高中數(shù)學知識有相似的結(jié)論;哪些高中數(shù)學知識可以結(jié)合更多的數(shù)學知識進行理解……例如，高中數(shù)學人教A版必修4中任意角的概念就是在學生初中原有的角的概念的基礎(chǔ)上，結(jié)合生活實例進行推廣得到的;高中數(shù)學人教A版必修5中等差數(shù)列與等比數(shù)列有許多相似的結(jié)論;高中數(shù)學人教A版必修4中兩角差的余弦定理可以結(jié)合三角函數(shù)線或向量的數(shù)量積進行推導.

2. 考慮高中學生心理特點及接受能力

心理學研究表明，學生是學習的主體，所有的新知識只有通過學生自身的“再創(chuàng)造”活動，才能納入其認知結(jié)構(gòu)中，才可能成為下一個有效的知識. 因此，教師必須轉(zhuǎn)變角色，尊重學生的主體性，選擇更適合學生的知識聯(lián)系方式進行教學，使學習過程成為在教師指導下學生自動的建構(gòu)過程. 實施加強高中數(shù)學知識聯(lián)系教學，需要根據(jù)學生現(xiàn)有基礎(chǔ)知識情況、接受能力、理解能力，兼顧培養(yǎng)學生發(fā)展的能力進行設(shè)計. 例如，對于面向大部分基礎(chǔ)較弱的學生，可以考慮降低起點，設(shè)定符合學生認知規(guī)律的學習目標，漸近式向思維最近發(fā)展區(qū)域靠近;照顧學生的心理特點，從模仿到逐步發(fā)現(xiàn)、歸納，在教師的引導和啟示下一步步地靠近目標，實現(xiàn)從初中知識到高中知識的順利銜接;對于面向大部分能力較好的學生，可以基于學生原有的知識體驗，設(shè)定有一定跨度的學習目標，引發(fā)適度的認知沖突，引導學生注意聯(lián)系已有的知識嘗試解決問題，從而發(fā)展學生的數(shù)學思維及提升解決問題的能力.

加強高中數(shù)學知識聯(lián)系的方式及作用

客觀世界的多樣性、數(shù)學應(yīng)用的廣泛性決定了數(shù)學教材各部分聯(lián)系的普遍性，決定了數(shù)學教材中進行縱向類比、橫向聯(lián)系的可能性和必要性. 根據(jù)教學內(nèi)容，我們常?？梢钥紤]橫向聯(lián)系設(shè)計，也可以考慮縱向類比設(shè)計，以培養(yǎng)學生多方向思維能力.

1. 橫向聯(lián)系方式加強高中數(shù)學知識聯(lián)系，將知識串起來

以橫向聯(lián)系方式加強高中數(shù)學知識聯(lián)系，可以將學生頭腦中零散的知識串起來，形成知識鏈. 這種方式有助于學生加深對原有知識的理解，易于記憶新學的內(nèi)容，形成較牢固的知識鏈;有助于使知識的重難點突出，提升大腦對知識信息提取速度;有助于增強學生充分運用豐富的知識分析問題的能力，提高學習效率. 例如，在學完高中數(shù)學人教A版兩角和與差的正弦、余弦、正切公式后，采用橫向聯(lián)系方式可以讓學生自己嘗試推導出二倍角的正弦、余弦、正切公式，體驗自主學習的快樂，同時也強化了原有知識和新知識的聯(lián)系，增強了學生學習數(shù)學的信心.

2. 縱向類比方式加強高中數(shù)學知識聯(lián)系，用已知的方法解決未知的問題

以縱向類比方式加強高中數(shù)學知識聯(lián)系，旨在調(diào)動學生的一切背景知識，用以往的經(jīng)驗及所形成的數(shù)學知識體系，通過觀察幾個不同領(lǐng)域的知識系統(tǒng)彼此間某種結(jié)構(gòu)的相似性，由已知的知識系統(tǒng)推導到欲知的知識系統(tǒng)，從而發(fā)現(xiàn)知識聯(lián)系，更好地掌握知識體系. 首先，縱向類比方式能引導學生將過去的經(jīng)驗與概念建立關(guān)聯(lián)，使學習變得有意義從而引起學習動機，激起學生學習數(shù)學的興趣. 其次，它能促進學生以觀察發(fā)現(xiàn)的姿態(tài)去學習，透過探尋相似性促進對抽象概念的了解，透過相似性達成知識轉(zhuǎn)移，開啟新的觀點，使看似煩瑣深奧的數(shù)學變得簡明清晰，大大調(diào)動了學生的學習積極性. 再次，它能訓練學生思維的靈活性. 面對形形色色的各類數(shù)學題，學生要調(diào)動已有的知識經(jīng)驗，推導知識體系，建立知識聯(lián)系，在學習過程中增強解決問題的能力，還能讓學生得到運用科學方法獲取知識的成功體驗，自主學習，促進知識能力持續(xù)發(fā)展. 例如，在高中數(shù)學人教A版必修5中，為了從量化的角度，研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和另兩個角的問題，可以讓學生聯(lián)系已經(jīng)學過的知識和方法，以縱向類比方式考慮到此問題主要涉及兩邊及其夾角，從而自然考慮到可以利用具有共性的向量的數(shù)量積來研究這個問題;考慮到涉及邊長也可以嘗試用解析幾何中的兩點間距離公式來研究這個問題.

案例及效果

筆者根據(jù)自身多年的教學經(jīng)驗，在高一選取了兩個具有不同特點的平行班，實施了一個學期加強高中數(shù)學知識聯(lián)系的教學研究. 現(xiàn)以高中數(shù)學人教A版必修5第三章3.2“一元二次不等式及其解法”（第1課時）為例，展示在實踐中加強高中數(shù)學知識聯(lián)系的案例及效果.

在該課的設(shè)計階段，筆者通讀全章節(jié)、參看教參，了解該課在整個章節(jié)中的地位、作用及教學目標、重點與難點，然后分析兩個平行班學生的心理特點及接受能力. 平行班甲班（簡稱甲班）中大部分的學生數(shù)學基礎(chǔ)比較弱，對于階梯跨度較大的知識的理解明顯跟不上，接受度比較低;平行班乙班（簡稱乙班）有較大部分數(shù)學思維能力較好的學生，這些學生的數(shù)學基礎(chǔ)也相對甲班要好一些.

對于甲班，筆者考慮讓學生以縱向類比的方式，“低起步”漸近式前進. 通過讓學生類比初中所學的一元一次不等式解法，經(jīng)歷從模仿到逐步發(fā)現(xiàn)、歸納，在教師的引導和啟示下，一步步地靠近目標，自然而然地從初中知識銜接到高中知識. 設(shè)定的過程與方法目標是：通過學生感興趣的上網(wǎng)問題讓他們比較兩種不同的收費方式，并從中抽象出不等關(guān)系;引入一元二次不等式的有關(guān)概念;通過類比一元一次不等式的解法，讓學生積極參與，親身經(jīng)歷“三個二次”的關(guān)系，體會數(shù)形結(jié)合思想.

對于乙班，筆者考慮采取橫向聯(lián)系的方式尋求突破口，引發(fā)學生在解決問題時，自然而然地聯(lián)想一元二次方程及一元二次函數(shù)，突出強調(diào)了數(shù)形結(jié)合思想，從而達到發(fā)展學生的數(shù)學思維及提升解決問題的能力. 設(shè)定的過程與方法目標是：通過學生感興趣的上網(wǎng)問題讓學生比較兩種不同的收費方式，抽象出不等關(guān)系;引入一元二次不等式的有關(guān)概念;通過讓學生積極參與觀察、聯(lián)想一元二次等式、一元二次函數(shù)探求一元二次不等式的解法，親身經(jīng)歷“三個二次”的關(guān)系，體會數(shù)形結(jié)合思想.

1. 案例

以下是甲班的縱向類比方式與乙班的橫向聯(lián)系方式部分環(huán)節(jié)的比較：

2. 實施效果反饋

據(jù)聽課教師反饋，教師認為兩種高中數(shù)學知識聯(lián)系方案都各有優(yōu)勢. 甲班的縱向類比方式與乙班的橫向聯(lián)系方式均強調(diào)了數(shù)形結(jié)合思想. 縱向類比方式更強調(diào)類比的數(shù)學思想. 學生在探究了由一元一次不等式的圖像解法過程及解決步驟后，縱向類比了一元二次不等式的解法及解決步驟. 這讓學生深刻體會到一元一次不等式圖像解法與一元二次不等式的解法的聯(lián)系、數(shù)形結(jié)合及類比思想. 學生運用類比較易探求一元二次不等式的解法，但思維量不大. 橫向聯(lián)系方式通過觀察聯(lián)想一元二次不等式、一元二次函數(shù)，更突出強調(diào)了數(shù)形結(jié)合思想，思維量較大. 部分教師認為縱向類比方式能照顧到數(shù)學基礎(chǔ)較弱的學生，實現(xiàn)從初中知識到高中知識的銜接. 讓學生先回顧從一元一次不等式的解法入手，去類比到一元二次不等式的解法較為容易，但由于初中學生最熟悉的是用代數(shù)解法解一元一次不等式，而極少用圖像解法解一元一次不等式. 橫向聯(lián)系方式直接讓學生聯(lián)想，“形”上更接近一元二次不等式的相應(yīng)一元二次方程、一元二次函數(shù)，比較符合高中數(shù)學解決問題的思維習慣，這種方式既容易為數(shù)學基礎(chǔ)較好的學生接受，又有利于培養(yǎng)學生在解決問題時的分析、聯(lián)想能力.

從學生課后測試反饋來看，兩個平行班的學生均能較好掌握一元二次不等式的解法. 實施了縱向類比方式的甲班學生，普遍反映由于大家都比較熟悉一元一次不等式，因此感覺該課內(nèi)容較容易理解. 學生課后印象更深的是一元一次不等式圖像解法與一元二次不等式的解法的關(guān)系、數(shù)形結(jié)合及類比思想. 實施了橫向聯(lián)系方式的乙班學生課后印象更深的是一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函數(shù)之間的關(guān)系、數(shù)形結(jié)合及聯(lián)想、比較，在思維量上得到了較大訓練.

總結(jié)

可見，實施了縱向類比方式的學生在學習該課中感覺較容易入手，在今后解決一元二次不等式問題中遇到困難時，會不自覺地聯(lián)想到一元一次不等式的相關(guān)問題，從而試圖通過類比去解決問題. 而實施了橫向聯(lián)系方式的學生則會聯(lián)想相應(yīng)的一元二次方程及一元二次函數(shù)尋求突破. 筆者認為，可以先根據(jù)學生情況選擇以其中一種方式為主，以另一種方式為輔的形式加強高中數(shù)學知識的聯(lián)系. 例如，可以在實施縱向類比方式的甲班里，引導較好的學生課后繼續(xù)探究一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函數(shù)的關(guān)系，也可以在橫向聯(lián)系方式的乙班里，布置學生課后類比一元一次不等式、一元二次不等式的解法，找出相似的地方.

由于高中數(shù)學知識容量大、涉及領(lǐng)域廣，采用縱向類比方式可以讓學生學會運用已有的知識解決未知的問題，采用橫向聯(lián)系方式可以讓學生形成知識鏈. 兩種方式各有優(yōu)勢，可以將兩種方式合理地結(jié)合起來，培養(yǎng)學生多方向思考問題的能力，使學生建立更為立體的高中數(shù)學知識體系，提高學生分析問題和解決問題的能力.