諸德宏，歐陽中萃

(江蘇大學，鎮(zhèn)江 212013)

0 引 言

永磁同步電機(以下簡稱PMSM)具有體積小、效率高、可靠性高、易于散熱、易于維護等優(yōu)點,在交流伺服系統(tǒng)中獲得廣泛應用。直接轉矩控制(以下簡稱DTC)計算量小，響應速度快，對電機參數(shù)變化具有一定的魯棒性，是受歡迎的電機控制方法之一。然而傳統(tǒng)的DTC存在系統(tǒng)抖動太大，開關頻率不恒定，起動時有較大的沖擊電流等缺點。

為解決這些問題，近些年來人們提出了多種方案，如改進空間電壓矢量開關表、引入多電平逆變器、滑模變結構控制、自適應控制、模糊控制等。其中，基于滑模變結構的DTC以算法簡單、響應速度快、對參數(shù)及擾動不靈敏等優(yōu)點受到諸多關注。文獻[1]用兩個滑模控制器替代傳統(tǒng)DTC中的滯環(huán)調節(jié)器，來解決以上問題。文獻[2]在滑模控制器引入積分項，利用積分滑模面平滑的特性來削弱抖振，同時通過調節(jié)初始值的大小，使系統(tǒng)初始狀態(tài)位于滑模面上，縮減了趨近運動的時間。文獻[3-5]用分數(shù)階積分項來替換滑?？刂破髦械膫鹘y(tǒng)的整數(shù)階積分項，利用分數(shù)階系統(tǒng)中舊誤差累積會隨時間緩慢衰減的特性來抑制傳統(tǒng)積分滑?？刂破髦蟹e分飽和的現(xiàn)象，從而達到提高滑?？刂菩阅苣康模捎诨Ｗ兘Y構技術的應用，會不可避免地存在抖振問題。文獻[6]指出了趨近率的不足，分析了傳統(tǒng)趨近率產生抖振的本質原因，并設計了兩種新型滑模趨近率。文獻[7]則以航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)為控制對象，將分數(shù)階微分方程和傳統(tǒng)等速趨近率相結合提出了分數(shù)階趨近率概念，仿真結果顯示分數(shù)階趨近率不僅可以柔化系統(tǒng)運動軌跡，減小暫態(tài)過程中的超調量，同時還可以改善系統(tǒng)抖振現(xiàn)象。文獻[8-9]針對Lorenz電路等不同形式的混沌系統(tǒng)對分數(shù)階趨近率進行一系列的研究。上述文獻雖然不同程度地涉及到分數(shù)階趨近率，但還未有專門的文獻針對基于分數(shù)階趨近率的滑模控制器在PMSM中的應用特性進行研究。

本文在文獻[3-5]分數(shù)階滑模控制器基礎上，結合文獻[7-9]分數(shù)階趨近率設計一種改進型的分數(shù)階滑?？刂破?。首先分析了分數(shù)階指數(shù)函數(shù)曲線特性圖，從理論上證明了它的收斂性和平穩(wěn)性，然后通過和傳統(tǒng)的指數(shù)趨近率對比仿真來驗證這些特性，最后以PMSM為控制對象使用Simulink仿真軟件來驗證該控制方法的可行性。

1 數(shù)學模型

1.1 PMSM數(shù)學模型

本文的PMSM采用三相交流電，定子采用星形接法。為方便數(shù)學建模，忽略磁路飽和、渦流、磁滯損耗、阻尼繞組以及高次諧波的影響，則PMSM在α-β坐標系下的狀態(tài)方程：

式中：uα，uβ，iα，iβ分別為α-β坐標系下的定子電壓、電流；Ld，Ld分別為d-q坐標系下的等效電感；Rs，ψf分別為定子電阻和永磁體磁鏈系數(shù)；eα，eβ為拓展反電動勢[1-3],其值：

α-β坐標系下PMSM轉矩方程：

ψαiβ-ψβiα) (3)

θ為轉子磁鏈與x軸之間的夾角；p為電機磁極對數(shù)。

1.2 分數(shù)階微積分定義

分數(shù)階微積分是對古典微積分的拓展和延伸，使得古典微積分的階次從正整數(shù)推廣到了任意實數(shù)乃至復數(shù)。大多數(shù)情況下，在對實際系統(tǒng)建模過程中，古典微積分只能建立近似的數(shù)學模型，而分數(shù)階微積分才能建立更加精準的數(shù)學模型[6]。

dtαR(α)>0

1 R(α)=0

式中：a，t分別為微積分的下限和上限;α是微積分的階次；R(α)為任意復數(shù)α的實部。

由于分數(shù)階微積分的特殊性，至今還未有統(tǒng)一的定義，人們根據(jù)不同的應用需求和限制條件,推導出了形式不同的分數(shù)階微積分定義，現(xiàn)在主要有Grunwald-Letnikov型、Riemann-Liouville型和Caputo型這3種[10]定義。

1) Grunwald-Letnikov型定義

jf(t-jh) (5)

2) Riemann-Liouville型定義

3) Caputo型定義

本文采用GL型的定義對分數(shù)階滑模趨近率進行數(shù)值上的計算，采用C型的定義對分數(shù)階系統(tǒng)微分方程進行數(shù)值計算。

GL型定義下的Laplace變換：

L{Dαf(t)}=sαF(s) (8)

式中：F(s)為f(t)的Laplace變換;sα為分數(shù)階微積分算子。

1.3 分數(shù)階指數(shù)函數(shù)的特性

分數(shù)階微積分最基礎的單元形式就是基本分數(shù)階微分方程，對基本分數(shù)階微積分方程求解不僅能夠讓我們很好的了解其特性，并且在求解其他的分數(shù)階微積分方程具有很重要的意義，還能為改進分數(shù)階滑?？刂破魈峁┲匾囊罁?jù)[8]。

所有初始條件為0，并且忽略記憶因素影響的情況下，基本分數(shù)階微分方程：

Dαx(t)=-αx(t)+bu(t) (9)

傳遞函數(shù)：

可以利用下式進行反拉氏變換：

對式(10)反拉普拉斯變換：

并定義：

對式(9)兩邊同時求Laplace變換：

sαX(s)-x0=-aX(s)+bu(s) (14)

化簡：

(sα+a)X(s)=x0+bu(s) (15)

兩邊同時乘以F(s)進一步化簡：

X(s)=F(s)x0+F(s)bu(s) (16)

對式(14)求Laplace逆變換，解得：

式中:x0=[Dα-1x(t)]t=0，可以解出其解析解:

由式(18)通過MATLAB可以得到其解的曲線,如圖1所示。

(a)a=-4

(b)α=0.5

圖1不同階次不同系數(shù)的解

由圖1可以看出，分數(shù)階指數(shù)函數(shù)曲線形狀與整數(shù)階的指數(shù)函數(shù)曲線形狀十分類似，并且當參數(shù)a固定時，微分階次α越小，下降速度越快，趨于穩(wěn)定時的速度越緩慢，而這正好與趨近率的設計要求一致。

2 分數(shù)階滑?？刂破鞯脑O計

2.1 趨近率的設計

趨近率作為滑模控制的最基本組成部分之一，反映了系統(tǒng)以何種方式到達滑模面。在趨近過程中，通常希望系統(tǒng)遠離滑模面的時候，趨近速度盡可能得快；而在接近滑模面的時候，又希望趨近速度能盡可能地減小為零，以免造成較大的沖擊，從而達到抑制抖振的目的。

從分數(shù)階指數(shù)函數(shù)曲線特性以及分數(shù)階微積分的定義可以看出，分數(shù)階微分方程十分符合這一要求，因此，不難想到將分數(shù)階微分方程和傳統(tǒng)指數(shù)趨近相結合，與指數(shù)趨近率相比，這種趨近率收斂速度應該更快，且更加平滑，后面的仿真結果也證明了這點?，F(xiàn)給出分數(shù)階趨近率如下：

Dαs=-ks-εsgn (s)(k>0，ε>0，0<α<1) (19)

2.2 滑模面的設計

s=sT

ss=eT+c1D-α

eψ+c2D-α(20)

式中:c1，c2為分數(shù)階積分系數(shù)；α為分數(shù)階積分系數(shù)，0<α<1。

選擇式(19)的分數(shù)階趨近律：

對sT和sψ分別求導，得：

將式(1)代入式(22)可得：

U1=-B-1A1+F1+D1-α(KTS+εTsgn(s))

A2+F2+D1-α(KψS+εψsgn(s)) (23)

其中：

為了能更清楚的說明分數(shù)階趨近率的有優(yōu)點，先給出文獻[3]中改進前的控制率方程，方便后面的對比仿真。選取傳統(tǒng)的指數(shù)趨近率：

ε·sgn(s)

(27)

同理可得：

其控制率為:

2.3 穩(wěn)定性分析

sT[D1-α(-kTs-εTsgns)]+

sψ[D1-α(-kψs-εψsgns)] (30)

由式(7)可以推導出：

利用sgn [D1-α(-ks-εsgns)]=-ks-εsgns[7]可以對等式進一步化簡：

sgnsT[D1-α(-kTs-εTsgns)]+

sgnsT[D1-α(-kTs-εTsgns)]=

sgns(-kTs-εTsgns)+

sgns(-kψs-εψsgns)=-kTs-

εTsgns·sgns-

kψs-εψsgns·sgns(32)

3 仿真分析

為了驗證改進后的分數(shù)階滑模控制器的控制性能，將它和改進前的分數(shù)階滑?？刂破髟赟imulink中進行對比仿真。系統(tǒng)控制原理結構框圖如圖2所示，所用PMSM參數(shù)：定子電阻Rs=0.98 Ω；母線電壓udc=300 V；極對數(shù)p=4；交、直軸電感Ld=Lq=0.008 5 H；轉動慣量J=0.008 kg·m2;磁鏈給定值ψf=0.175 Wb；負載給定轉矩T*=10 N·m；轉速給定值nN=500 r/min 。

圖2基于分數(shù)階趨近率的分數(shù)階滑模變結構系統(tǒng)控制框圖

設置電機空載起動，仿真時間為0.2 s，給定磁鏈ψ*=0.175，給定轉速為n*=500 r/min，分數(shù)階階次λ=0.95。滑模面采用分數(shù)階滑模面，趨近率分別采用指數(shù)趨近率和分數(shù)階趨近率來進行對比仿真，圖3～圖6分別為系統(tǒng)定子磁鏈軌跡、定子電流波形、轉速波形和電磁轉矩波形。

(a) 改進前

(b) 改進后

圖3定子磁鏈軌跡圖

(a) 改進前

(b) 改進后

圖4定子電流波形

圖5轉速曲線

(a) 改進前

(b) 改進后

圖6電磁轉矩圖

從圖3～圖6可以看出,分數(shù)階滑模面和分數(shù)階趨近率相結合的方法能使系統(tǒng)收斂較快，其轉速和轉矩波動也比較小。從圖4(a)和圖4(b)的對比也可以看出,改進后分數(shù)階滑?？刂破髂苁苟ㄗ与娏鞑ㄐ胃悠交?。

為了驗證動態(tài)特性，系統(tǒng)穩(wěn)定運行后，對給定的負載轉矩進行突變，然后觀測其運行效果。圖7和圖8分別是給定的負載轉矩在0.1 s時從10 N·m突然增加到15 N·m的轉矩響應曲線以及電機轉速響應曲線。

圖7突加負載時轉速響應圖

(a) 分數(shù)階滑模DTC

(b) 改進型分數(shù)階滑模DTC

圖8突加負載時轉矩響應圖

從圖7、圖8可以看出,分數(shù)階滑模面和分數(shù)階趨近率相結合能明顯減小轉速和轉矩脈動，系統(tǒng)響應速度也比改進前的要快。通過對比不難看出,改進后的分數(shù)階滑?？刂破鲗?shù)突變帶來的外部干擾有更好的魯棒性，具有更好的抗干擾能力。

從以上的仿真結果可以看出，用分數(shù)階趨近率替代傳統(tǒng)指數(shù)趨近率，構建的新型分數(shù)階滑?？刂破鳎粌H保留了轉矩、磁鏈抖振小等原有的性能，而且還能提高系統(tǒng)收斂速度、減小超調量、柔化了運動軌跡，提高了PMSM調速性能。

4 結 語

改進后的滑模控制器充分利用了分數(shù)階微積分具有微分和積分兩個可變的自由度的性質。

在滑模切換面的設計中引入分數(shù)階積分項，利用分數(shù)階積分方程中積分階次越小，下降速度越快，趨于穩(wěn)定時的速度越緩慢的性質，不僅保留了原來積分滑模控制器中原有的優(yōu)點，還很好地抑制傳統(tǒng)積分滑?？刂破髦写嬖诘姆e分飽和的問題。

在趨近率設計中引入分數(shù)階微分方程，利用分數(shù)階微分特性，使得系統(tǒng)在遠離滑模面時能更快地到達滑模面，接近滑模面時趨近速度又比較小，從而抑制因為沖擊帶來的抖振。

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