摘 要：合情推理是數(shù)學(xué)研究的起點(diǎn)，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段，還能為演繹推理提供思路。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，合情推理應(yīng)該具有相當(dāng)重要的地位，不應(yīng)被淡化。為此，要發(fā)揮考試的導(dǎo)向作用，將合情推理和數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)結(jié)合起來(lái)考查，突出思維過(guò)程，具體地要做到減少試卷題目的數(shù)量，加強(qiáng)“研究型、開(kāi)放型試題”的設(shè)置；還要強(qiáng)化教學(xué)的滲透意識(shí)，在基礎(chǔ)年級(jí)的新授課和高三的復(fù)習(xí)課中始終注意充分運(yùn)用合情推理，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)、解決問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：合情推理 數(shù)學(xué)探究 考試導(dǎo)向 教學(xué)滲透

一、現(xiàn)實(shí)背景及原因分析

在我校最近的一次高三數(shù)學(xué)檢測(cè)練習(xí)中，有這樣一道填空題：

已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若bn=a1+2a2+3a3+…+nan1+2+3+…+n，則數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列。類(lèi)比上述結(jié)論，已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，若bn= ，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列。

對(duì)于此題，筆者所教的物化班47名學(xué)生中，19人沒(méi)有作答，其余28人的解答也無(wú)一正確。

如此全軍覆沒(méi)，到底是什么原因呢？筆者經(jīng)過(guò)反復(fù)分析，覺(jué)得原因有二：

一是題目本身有一定的難度。一般地，從等差數(shù)列到等比數(shù)列的類(lèi)比，結(jié)論往往是由加減到乘除、由乘除到乘方開(kāi)方，但是并不絕對(duì)。此題正確類(lèi)比的結(jié)論是bn=（a11·a22·a33·…·ann）11+2+3+…+n，其中和1+2+3+…+n不應(yīng)類(lèi)比為積1·2·3·…·n，這是學(xué)生類(lèi)比錯(cuò)誤的重要原因。

二是合情推理問(wèn)題在考試中淡化，以致在教學(xué)中淡化。江蘇高考自2008年改革以來(lái)，文理通用的正卷部分，只有2008年、2009年各考過(guò)一道類(lèi)比推理的填空題；理科附加題部分，有時(shí)會(huì)考查一點(diǎn)歸納推理，即由幾個(gè)特例歸納出一般性結(jié)論，然后要求學(xué)生用數(shù)學(xué)歸納法證明。同樣的，全國(guó)其他省市地區(qū)的高考試卷對(duì)合情推理的考查要求也都很低。合情推理的考查要求較低，導(dǎo)致教學(xué)上的嚴(yán)重淡化，進(jìn)而導(dǎo)致學(xué)生合情推理的經(jīng)驗(yàn)很少、能力很弱，遇到稍難一點(diǎn)的題目，就完全沒(méi)有招架之力。

二、合情推理的地位分析

那么，合情推理在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位真的應(yīng)該這么低嗎？我們來(lái)看看教材中是怎么說(shuō)的。

對(duì)于歸納推理的特點(diǎn)，蘇教版高中數(shù)學(xué)教材中談到一點(diǎn)：“歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理。通過(guò)歸納推理得到的猜想可以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn)，幫助人們發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題?！彪S后還舉出了一些重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)的例子來(lái)說(shuō)明：“物理學(xué)中的波義耳—馬略特定律、化學(xué)中的門(mén)捷列夫元素周期表、天文學(xué)中的開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律等，也都是在實(shí)驗(yàn)和觀察的基礎(chǔ)上通過(guò)歸納發(fā)現(xiàn)的。”

關(guān)于合情推理和演繹推理的關(guān)系，蘇教版高中數(shù)學(xué)教材中談道：“（1）數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)是一個(gè)探索創(chuàng)造的過(guò)程。這是一個(gè)不斷地提出猜想、驗(yàn)證猜想的過(guò)程。合情推理和演繹推理相輔相成，相互為用，共同推動(dòng)著發(fā)現(xiàn)活動(dòng)的進(jìn)程。（2）合情推理是富于創(chuàng)造性的或然推理，在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中，它為演繹推理確定了目標(biāo)和方向，具有提出猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論、提供思路的作用。（3）演繹推理……”隨后還引用了著名數(shù)學(xué)教育家G.波利亞的精辟論述：“數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過(guò)程與任何其他知識(shí)的創(chuàng)造過(guò)程一樣，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，先得猜想這個(gè)定理的內(nèi)容；在完成詳細(xì)的證明之前，先得推測(cè)證明的思路。創(chuàng)造過(guò)程是一個(gè)艱苦曲折的過(guò)程。數(shù)學(xué)家創(chuàng)造性的工作是論證推理，即證明。但這個(gè)證明是通過(guò)合情推理、通過(guò)猜想發(fā)現(xiàn)的。”

由此可見(jiàn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，合情推理應(yīng)該具有相當(dāng)重要的地位，因?yàn)樗菙?shù)學(xué)研究的起點(diǎn)，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段，還能為演繹推理提供思路。因此，考試淡化合情推理問(wèn)題是不合適的，教學(xué)淡化合情推理內(nèi)容是沒(méi)道理的。

當(dāng)前，教育部門(mén)一直在強(qiáng)調(diào)新課程理念，強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新教育，強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。就數(shù)學(xué)教學(xué)而言，加強(qiáng)合情推理的教學(xué)不正滿(mǎn)足于此嗎？

三、發(fā)揮考試的導(dǎo)向作用

考試（尤其是高利害的高考）成績(jī)關(guān)系到每位學(xué)生的切身利益，對(duì)每位學(xué)生今后的發(fā)展有著較大的影響；是教育主管部門(mén)考核學(xué)校和社會(huì)各界人士衡量學(xué)校的主要依據(jù)，也是學(xué)校評(píng)價(jià)教師的主要標(biāo)準(zhǔn)。因此對(duì)于教師的教學(xué)，考試（高考）具有強(qiáng)大的導(dǎo)向作用。相比于一些理想的教育理念，教師顯然更聽(tīng)考試（高考）的話(huà)：怎樣能使學(xué)生考試（高考）成績(jī)好，就怎么教。

因此，考試（高考）命題應(yīng)該充分發(fā)揮導(dǎo)向作用，加強(qiáng)合情推理的應(yīng)用引導(dǎo)。

不過(guò)，考試淡化合情推理問(wèn)題是有原因的。筆者參與過(guò)大市調(diào)研考試的命題工作，在交流過(guò)程中從側(cè)面了解到：學(xué)生通過(guò)合情推理得到的結(jié)論有時(shí)不正確，但是他們推理的過(guò)程也許是正確的，因此作為填空題，不好判分。確實(shí)如此，通過(guò)合情推理得到的結(jié)論往往靠不住，需要通過(guò)演繹推理證明真?zhèn)危ㄖ辽傩枰獙?shí)例檢驗(yàn)），但是我們不能因?yàn)榻Y(jié)論的不正確，否定過(guò)程的正確性。所以，考試直接考查合情推理是有困難的。

那么，應(yīng)該怎樣考查合情推理呢？基于對(duì)合情推理地位的分析，筆者認(rèn)為考查合情推理應(yīng)該和考查數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)（分析問(wèn)題、獲得結(jié)論）結(jié)合起來(lái)，突出思維過(guò)程（能力立意）。為此，至少要做到兩點(diǎn)：

第一，減少試卷題目的數(shù)量。張景中院士在“教育數(shù)學(xué)創(chuàng)新教學(xué)實(shí)驗(yàn)”課題的報(bào)告中談到，目前高考數(shù)學(xué)試卷普遍存在題量過(guò)大的問(wèn)題。題目不見(jiàn)得非要多，沒(méi)必要面面俱到，把所有的知識(shí)點(diǎn)都涵蓋；題量應(yīng)該減少，著重基本的東西，讓學(xué)生有時(shí)間思考。試題數(shù)量過(guò)多，會(huì)使學(xué)生必須提高做題速度，甚至達(dá)到看到題就能做，于是教師只能加大壓力、增多作業(yè)，要求學(xué)生進(jìn)行高強(qiáng)度、重復(fù)性的訓(xùn)練，從而強(qiáng)化題型模式，固化套路技巧，訓(xùn)練熟練程度——實(shí)踐證明，這樣的做法是有效果的，但是，這樣的導(dǎo)向是有問(wèn)題的。試題數(shù)量減少，才能使學(xué)生降低做題速度，并充分展開(kāi)思考，從而教師可以在“教”上下功夫，創(chuàng)設(shè)豐富的情境，選取適當(dāng)?shù)闹黝}，引導(dǎo)學(xué)生積極、主動(dòng)地探索問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)知識(shí)，掌握思想方法，從而培養(yǎng)思維能力，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣——這樣的導(dǎo)向才是我們所期望的。

第二，僅僅減少試卷題目的數(shù)量是不夠的，還要加強(qiáng)“研究型、開(kāi)放型試題”（當(dāng)然是主觀題，非客觀題）的設(shè)置。目前高考數(shù)學(xué)試題的指向性太強(qiáng)，嚴(yán)重限制了考生的發(fā)散性思維：考生按照試題的要求，通過(guò)嚴(yán)密的演繹推理、精確的數(shù)學(xué)計(jì)算得到準(zhǔn)確的答案；從考生的解答過(guò)程中，通常看不到個(gè)性化的思維過(guò)程（觀點(diǎn)、想法）?，F(xiàn)在是科學(xué)（信息）技術(shù)高度發(fā)達(dá)的時(shí)代，我們不應(yīng)該重視機(jī)械操作的套路技巧，而應(yīng)該重視解決問(wèn)題、獲得結(jié)論過(guò)程中的觀點(diǎn)、想法。因此，我們不一定要讓考生得到試題的準(zhǔn)確答案，而可以引導(dǎo)考生講一講試題的分析思路以及解決過(guò)程，談一談對(duì)試題的認(rèn)識(shí)以及由試題得到的發(fā)現(xiàn)。

例如，可以設(shè)計(jì)這樣一道試題：

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C的方程為x24+y23=1，AB是過(guò)橢圓C右焦點(diǎn)F的任一條弦，D52，0，過(guò)點(diǎn)A平行于x軸的直線交BD于點(diǎn)P，試判斷點(diǎn)P的軌跡是否為一條直線？請(qǐng)將你的解題過(guò)程融于具體的分析思路中，并談?wù)勀銓?duì)這道題的認(rèn)識(shí)或發(fā)現(xiàn)。

四、強(qiáng)化教學(xué)的滲透意識(shí)

毫無(wú)疑問(wèn)，目前數(shù)學(xué)高考試卷是存在一點(diǎn)問(wèn)題的，但也不是一無(wú)是處。筆者在教學(xué)中也發(fā)現(xiàn)一些現(xiàn)象：有些教師的課堂強(qiáng)度大、課后作業(yè)多，對(duì)學(xué)生的要求也高，他們所教班級(jí)的平時(shí)成績(jī)確實(shí)不錯(cuò)，但高考成績(jī)卻平平，甚至不如人意。究其原因，平時(shí)的試卷陳題多，教師講得多，學(xué)生見(jiàn)識(shí)廣，加之練習(xí)量大，熟練程度高，自然能取得好成績(jī)；然而高考試卷要注重公平性、選拔性等原則，體現(xiàn)能力立意，不少試題都是命題專(zhuān)家花費(fèi)很大心思編擬出來(lái)的，有一定的新穎性，需要較強(qiáng)的思維能力才能完成，學(xué)生沒(méi)有見(jiàn)過(guò)，僅靠對(duì)陳題的熟練度是不能解決的，成績(jī)不理想也就不足為怪了。

因此，我們即使無(wú)法左右、決定（可以呼吁、建議）高考命題，也應(yīng)遵守教學(xué)理念，注重探究、發(fā)現(xiàn)式教學(xué)。如此，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，往往也能幫助學(xué)生在高考中取得優(yōu)異成績(jī)。

作為探究、發(fā)現(xiàn)的重要手段，合情推理應(yīng)該滲透在整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中：無(wú)論是基礎(chǔ)年級(jí)的新授課，還是高三的復(fù)習(xí)課，無(wú)論是概念課題、命題課，還是習(xí)題課，都需要運(yùn)用它，而不能只是在“合情推理”主題教學(xué)中運(yùn)用它。對(duì)此，我們要強(qiáng)化教學(xué)的滲透意識(shí)。

在基礎(chǔ)年級(jí)的新授課中，我們要充分運(yùn)用合情推理，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)。如探究?jī)山遣畹挠嘞夜綍r(shí)，可以運(yùn)用歸納推理，對(duì)cos（α-β）中的α、β取特殊值，研究共性規(guī)律，歸納結(jié)論，發(fā)現(xiàn)公式，然后證明。又如歸納得出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，類(lèi)比得出雙曲線的幾何性質(zhì)等等。

在高三的復(fù)習(xí)課中，我們也要充分運(yùn)用合情推理，引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題。對(duì)于例題的探究教學(xué)，僅僅讓學(xué)生會(huì)做是不行的。為什么這樣做？得讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考分析。問(wèn)題的背景是什么？可以變化、推廣嗎？得讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，總結(jié)一般性結(jié)論。如對(duì)于上文試題的教學(xué)，僅讓學(xué)生學(xué)會(huì)解答是不夠的，而要展示思路的分析過(guò)程，要總結(jié)探究的思維方法，要能夠發(fā)現(xiàn)一般性結(jié)論。如此，久而久之，學(xué)生的思維能力就得到發(fā)展了。

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法建構(gòu)知識(shí)，解決問(wèn)題。為此，我們一定要重視像合情推理這樣的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。