摘 要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分發(fā)掘教材例題和習(xí)題，尤其是習(xí)題的內(nèi)涵和價值，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行豐富而深刻的數(shù)學(xué)探究活動，充分感悟數(shù)學(xué)思想和方法。在蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中一道“四點(diǎn)共圓”問題的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生探究（發(fā)現(xiàn)），凸顯了數(shù)學(xué)探究的一般方法（環(huán)節(jié)或步驟）：觀察、猜想、驗(yàn)證、證明。對此，進(jìn)一步的體會是，數(shù)學(xué)教學(xué)必須注意引導(dǎo)學(xué)生“以今度之，想當(dāng)然”，大膽猜想；由“想當(dāng)然”到“知所以然”，小心求證。

關(guān)鍵詞：教材習(xí)題 數(shù)學(xué)探究 猜想 求證 “四點(diǎn)共圓”問題

數(shù)學(xué)中的知識結(jié)論是豐富而深刻的?，F(xiàn)行數(shù)學(xué)教材除了把課程標(biāo)準(zhǔn)要求掌握的知識結(jié)論在一系列探究的引導(dǎo)鋪墊之后明確呈現(xiàn)出來之外，還把很多相關(guān)或拓展的知識結(jié)論隱藏在例題或習(xí)題中。這樣，一方面減輕學(xué)生學(xué)習(xí)記憶的負(fù)擔(dān)，另一方面便于學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究的過程。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分發(fā)掘教材例題和習(xí)題，尤其是習(xí)題的內(nèi)涵和價值（因?yàn)槔}局限于基礎(chǔ)性，往往比較簡單），引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行豐富而深刻的數(shù)學(xué)探究活動，充分感悟數(shù)學(xué)思想和方法。

蘇科版初中數(shù)學(xué)八年級上冊第2章《軸對稱圖形》第4節(jié)《線段、角的軸對稱性》習(xí)題的第4題就是這么一道隱藏重要知識結(jié)論、需要充分發(fā)掘內(nèi)涵和價值的題目。對此，筆者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了廣泛而深入的探究（發(fā)現(xiàn)）。

一、習(xí)題分析

習(xí)題 （1）如圖1，利用網(wǎng)格線畫出四邊形ABCD任意兩邊的垂直平分線，設(shè)它們相交于點(diǎn)O；

（2）觀察點(diǎn)O是否在另兩邊的垂直平分線上；

（3）把四邊形ABCD的頂點(diǎn)D向左移動8格，還能觀察到與上面相同的結(jié)論嗎？

按照題目字面意思，學(xué)生畫出圖形，觀察圖形得出結(jié)論并不難。但是，如果就這樣結(jié)束此題，而不追求題目背后的內(nèi)涵和價值，則會白白浪費(fèi)很多教學(xué)資源。問題（1）要求學(xué)生在網(wǎng)格中畫出已知線段的垂直平分線，旨在幫助學(xué)生鞏固線段垂直平分線的概念；問題（2）要求學(xué)生觀察所畫出的四條垂直平分線是否交于一點(diǎn)，旨在引導(dǎo)學(xué)生類比三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，猜測四邊形四邊的垂直平分線交于一點(diǎn)；問題（3）要求學(xué)生改變圖形，再次畫圖觀察，旨在引導(dǎo)學(xué)生得出不同的結(jié)論，進(jìn)而引發(fā)關(guān)于四邊形四邊的垂直平分線是否交于一點(diǎn)（即四點(diǎn)是否共圓）的廣泛而深入的探究（發(fā)現(xiàn)）。

二、教學(xué)過程

（一）初步的觀察、猜想、驗(yàn)證、證明

學(xué)生完成問題（1）（2）后，暫時不讓學(xué)生完成問題（3）。

師 由此，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生 可能像三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)一樣，四邊形四邊的垂直平分線也交于一點(diǎn)。

[說明：康德說：“人類的一切知識都是從直觀開始，從那里進(jìn)到概念，而以理念結(jié)束的?！蓖ㄟ^具體事例尋找（歸納）一類事物的共同屬性是人類思維的本能：人們只能感知具體事例，但能形成抽象概念，為的就是找到一般規(guī)律，從而更好地認(rèn)識事物的本質(zhì)，預(yù)測事物的發(fā)展。這里，學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)一個四邊形各邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，加上已有三角形中的知識結(jié)論做類比，自然會產(chǎn)生一個猜想：和三角形一樣，四邊形各邊的垂直平分線交于一點(diǎn)。當(dāng)然，這個念頭會隨著問題（3）的完成而丟失。于是，筆者在學(xué)生完成問題（2）后及時提問，讓學(xué)生把猜想說出來。這樣，可以完整凸顯數(shù)學(xué)探究的一般過程。]

師 這只是我們從具體事例中歸納——當(dāng)然，也有一點(diǎn)從相似事物中類比——而產(chǎn)生的猜想。我們可以稱之為猜想1。那么，這個猜想正確嗎？

生 不正確。我偷偷做了問題（3），發(fā)現(xiàn)這個猜想不正確。

師 很好！這是具體的操作（觀察）驗(yàn)證。如果不這樣，你能一般地推理出上述猜想不正確嗎？

生 還是移動點(diǎn)D，這時AB、BC的垂直平分線保持不變，所以它們的交點(diǎn)不變；而CD的垂直平分線（在豎直方向上）會沿著水平方向移動，所以它可能不經(jīng)過前述交點(diǎn)，所以四邊的垂直平分線不一定交于一點(diǎn)。

師 不錯。這樣，我們就可以構(gòu)造出很多的反例了。當(dāng)然，在某種程度上，這也可以算是一種證明——具有一定的一般性。

[說明：要確定猜想是否正確，學(xué)生的第一反應(yīng)是再找實(shí)例驗(yàn)證一下，從而初步感知結(jié)論是否成立：如果新的例子與猜想的結(jié)論吻合（證實(shí)），那么，猜想的結(jié)論正確的可能性就得到加強(qiáng)；反之（證偽），猜想的結(jié)論就是不正確的。當(dāng)然，僅僅通過幾個例子的證實(shí)，在數(shù)學(xué)上還不能確定一般猜想的正確性；只有通過嚴(yán)格的證明，才能確定數(shù)學(xué)猜想的正確性。不過，通過具體例子的證偽，即舉出反例，在數(shù)學(xué)上可以否定一般猜想的正確性，即否定數(shù)學(xué)命題。這里，學(xué)生借助于問題（3）給出的反例否定了猜想。在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推理，幫助學(xué)生進(jìn)一步學(xué)會構(gòu)造反例，同時初步體驗(yàn)證明的一般性。至此，學(xué)生完整地經(jīng)歷了數(shù)學(xué)探究的基本環(huán)節(jié)或步驟：觀察、猜想、驗(yàn)證、證明。]

（二）進(jìn)一步的觀察、猜想、驗(yàn)證、證明

師 剛剛的猜想1不成立，那么問題（2）中四邊形各邊的垂直平分線交于一點(diǎn)是巧合還是必然呢？要弄清楚這個問題，我們要思考一正、一逆兩個一般化（本質(zhì)性）的問題：什么樣的四邊形滿足各邊的垂直平分線交于一點(diǎn)？各邊的垂直平分線交于一點(diǎn)的四邊形是什么樣的？

[說明：所得結(jié)論不正確，數(shù)學(xué)探究就還沒達(dá)到最終目的。這里，筆者進(jìn)一步提出了兩個問題，凸顯了數(shù)學(xué)探究的根本追求：尋找一般化的結(jié)論，本質(zhì)性地解決問題。這兩個問題看似簡單，其實(shí)指向了一般的本質(zhì)，包含了各邊的垂直平分線交于一點(diǎn)的四邊形的性質(zhì)與判定（充分條件和必要條件），是深刻而全面的。由此可以引導(dǎo)學(xué)生展開進(jìn)一步的探究：如果兩個問題全部解決了，也就找到了“各邊的垂直平分線交于一點(diǎn)的四邊形”的等價概念。]

師 如何解決這兩個問題？我們還是從觀察開始，尋找蛛絲馬跡。從畫好的圖形中，你能觀察到什么？

（學(xué)生交流后匯總：①兩個內(nèi)角∠A、∠C是直角；②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；③各邊垂直平分線的交點(diǎn)是直角所對的對角線BD的中點(diǎn)；④這個交點(diǎn)到四個頂點(diǎn)距離相等。）

師 很好！這四個結(jié)論，①是觀察到的，②是聯(lián)想到的，③是推測出的，而④是基于線段垂直平分線的性質(zhì)推測出的問題本質(zhì)——這其實(shí)是一個“四點(diǎn)共圓”問題。同學(xué)們初三學(xué)“圓”的時候還會接觸到。所以說，觀察和思考往往是分不開的。那么，你覺得什么樣的四邊形滿足各邊的垂直平分線交于一點(diǎn)？

生 我們小組討論認(rèn)為，一組對角是直角的四邊形滿足各邊的垂直平分線交于一點(diǎn)。

師 這還是我們從具體事例中歸納而產(chǎn)生的猜想——當(dāng)然，這次我們進(jìn)一步認(rèn)識了事例的特征，從而擴(kuò)大了概念的內(nèi)涵，縮小了概念的外延。我們可以稱之為猜想2。下面大家還是先來驗(yàn)證一下。

（學(xué)生畫圖、觀察。）

生 我們小組在格點(diǎn)圖中畫出了另一個一組對角是直角的四邊形，進(jìn)行了初步的驗(yàn)證，結(jié)果發(fā)現(xiàn)各邊的垂直平分線交于一點(diǎn)。

師 很好！當(dāng)然，再多的操作（觀察），也只是驗(yàn)證了這個猜想的特殊性。要證明這個猜想的一般性，還需要運(yùn)用（演繹）推理。請大家試一試——其實(shí)，剛才發(fā)現(xiàn)的結(jié)論③和④已經(jīng)給了我們啟發(fā)。

生 設(shè)BD的中點(diǎn)為O，連接OA，在Rt△ABD中，根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得OA=OB，所以點(diǎn)O在邊AB的垂直平分線上。同理，點(diǎn)O也在其他三邊的垂直平分線上。所以，點(diǎn)O是四邊的垂直平分線的交點(diǎn)，證得猜想2。

師 很好！這里，我們從結(jié)論③中找到了要證的交點(diǎn)，又倒過來用結(jié)論④，即用線段垂直平分線的判定說明了要證的垂直平分線。

[說明：明確探究目的后，筆者再一次引導(dǎo)學(xué)生完整地經(jīng)歷了數(shù)學(xué)探究的基本環(huán)節(jié)或步驟：觀察、猜想、驗(yàn)證、證明。在這一過程中，學(xué)生在觀察基礎(chǔ)上的多個發(fā)現(xiàn)體現(xiàn)了觀察與思考的自然結(jié)合；教師點(diǎn)出“四點(diǎn)共圓”體現(xiàn)了“以學(xué)定教”，為后續(xù)的教學(xué)埋下了伏筆。學(xué)生的觀察聚焦了具體的特征，使得猜想做出了調(diào)整，筆者點(diǎn)出概念內(nèi)涵、外延的變化，讓學(xué)生明晰了經(jīng)驗(yàn)過程中的思想方法。 此后，學(xué)生對猜想的驗(yàn)證駕輕就熟，而證明也因?yàn)橹暗挠^察發(fā)現(xiàn)以及線段垂直平分線知識、證明三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)方法的儲備，顯得水到渠成。]

師 在大家的努力下，我們確定了猜想2的正確性。根據(jù)之前提出的探究思路，現(xiàn)在我們要確定猜想2的逆向結(jié)論的正確性。這個結(jié)論就是——

生 各邊的垂直平分線交于一點(diǎn)的四邊形是一組對角是直角的。

師 不錯。我們可以稱之為猜想3。你覺得它正確嗎？

生 正確。

師 怎么驗(yàn)證或證明呢？

（學(xué)生畫圖、觀察。）

生 （出示圖2）我們小組從一個點(diǎn)出發(fā)，隨便畫出四條相等的線段，然后順次連接它們的另一個端點(diǎn)，得到一個四邊形。根據(jù)猜想2的證明，我們知道，這個四邊形各邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，但是，我們發(fā)現(xiàn)，這個四邊形沒有內(nèi)角是直角。

師 很好！直接作出各邊的垂直平分線交于一點(diǎn)的四邊形比較困難，但是，你們靈活地運(yùn)用了之前發(fā)現(xiàn)的結(jié)論④，即線段垂直平分線的性質(zhì)。這里，你們想驗(yàn)證猜想3，結(jié)果卻找到了一個反例。這說明——

生 猜想3不正確。

師 好的?，F(xiàn)在老師用更先進(jìn)的工具——幾何畫板——也來找一找反例。（幾何畫板演示：構(gòu)造任意四邊形ABCD，分別作出四邊的垂直平分線，拖動頂點(diǎn)，使得垂直平分線交于一點(diǎn)O，如圖3）這個各邊的垂直平分線交于一點(diǎn)的四邊形也沒有一個內(nèi)角是直角?？梢姡孪?確實(shí)是錯誤的。

[說明：這是前一次觀察、猜想、驗(yàn)證、證明過程的一個分支——根據(jù)之前設(shè)計(jì)的等價性探究思路，學(xué)生提出了前一次猜想的逆向猜想；在驗(yàn)證的過程中，學(xué)生活用了之前的觀察發(fā)現(xiàn)以及線段垂直平分線知識，意外地找到了反例。于是，筆者利用幾何畫板呈現(xiàn)了更多的反例，強(qiáng)化了對猜想的反駁。再一次否定猜想，讓教學(xué)過程“一波三折”，充滿吸引力，促使學(xué)生的探究更深入，所得的結(jié)論更嚴(yán)謹(jǐn)。]

（三）最終的觀察、猜想、驗(yàn)證、證明

師 猜想2正確，而猜想3不正確，即一組對角是直角的四邊形滿足各邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，而各邊的垂直平分線交于一點(diǎn)的四邊形不一定是一組對角是直角的。這就說明，“一組對角是直角的四邊形”不是“各邊的垂直平分線交于一點(diǎn)的四邊形”的等價概念，它的特征過于特殊，從而過分?jǐn)U大了概念的內(nèi)涵，縮小了概念的外延。因此，我們需要用一個特征更加一般的概念來產(chǎn)生一組新的猜想。那么，它是什么樣的四邊形呢？

生 由四個腰相等的等腰三角形拼成的四邊形。

生 他的這個猜想正確，但是不具有操作性：因?yàn)闊o法判斷一個四邊形是否是由四個腰相等的等腰三角形拼成的；假使判斷出來了，那么各邊的垂直平分線也就畫出來了。

師 我覺得，他說的四邊形其實(shí)就是剛才那組同學(xué)從一個點(diǎn)出發(fā)，隨便畫出四條相等的線段，然后順次連接它們的另一個端點(diǎn)得到的四邊形。就像你說的，判斷這個四邊形確實(shí)不具有操作性，而且本質(zhì)上就是在判斷各邊的垂直平分線交于一點(diǎn)的四邊形。因此，這個結(jié)果不錯，但是不好！那么，怎么找更好的結(jié)果呢？探索的方向在哪里？（稍停）四邊形最基本的要素是邊、角以及對角線等。既然之前的特征“一組對角是直角”與角度有關(guān)，那么我們就來看看四邊形的角度吧。我們還是先觀察一些例子，利用幾何畫板，很容易作出圖形并且測量角度。（幾何畫板演示：拖動四邊形ABCD的頂點(diǎn)，保持四邊的垂直平分線交于一點(diǎn)O，同步度量四個內(nèi)角的度數(shù)）觀察四個內(nèi)角之間的關(guān)系，你有新的發(fā)現(xiàn)和猜想嗎？

生 我發(fā)現(xiàn)它們的對角互補(bǔ)。

生 猜想4：對角互補(bǔ)的四邊形滿足各邊的垂直平分線交于一點(diǎn)。

生 猜想5：各邊的垂直平分線交于一點(diǎn)的四邊形是對角互補(bǔ)的。

師 好的，我們又得到了兩個猜想。怎么驗(yàn)證呢？

生 前面的例子都可以看作驗(yàn)證。

生 而且我們也找不到反例。

師 很好，大家都很聰明，知道幫助發(fā)現(xiàn)的例子本身也是驗(yàn)證。這樣，我們就來試著給出證明吧。猜想4是否正確呢？

（學(xué)生類比“三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)”的證明，在四邊形ABCD中，首先構(gòu)造出AB、BC的垂直平分線的交點(diǎn)O，得OA=OB=OC；然后嘗試直接證明OD與它們相等，遇到困難。教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用反證法間接證明。

這里的證明雖然過程有些復(fù)雜，但是思路是清楚的：在四邊形中，對角互補(bǔ)其實(shí)就是對角和相等，于是由角的相等，得線段相等，得點(diǎn)在線段垂直平分線上，利用的是線段垂直平分線的判定。由此你能得出猜想5的證明思路嗎？

生 利用線段垂直平分線的性質(zhì)，由點(diǎn)在線段垂直平分線上，得線段相等，得角的相等。

師 很好。從條件出發(fā)，用結(jié)論引領(lǐng)，是證明的基本思路。請同學(xué)們完成證明。

（學(xué)生證明。）

師 前面我們說過，“四邊形各邊的垂直平分線交于一點(diǎn)”的本質(zhì)是“四點(diǎn)共圓”。所以，對角互補(bǔ)其實(shí)也是“四點(diǎn)共圓”判定與性質(zhì)。

[說明：再一次否定猜想之后，筆者又一次引導(dǎo)學(xué)生完整地經(jīng)歷了數(shù)學(xué)探究的基本環(huán)節(jié)或步驟，最終實(shí)現(xiàn)了探究目的。對于學(xué)生的觀察，筆者借助了幾何畫板；對于學(xué)生的猜想，筆者提示了一般化特征，點(diǎn)出了概念內(nèi)涵、外延的變化；對于學(xué)生的驗(yàn)證，筆者強(qiáng)調(diào)了其與觀察在本質(zhì)上的一致性；對于學(xué)生的證明，筆者注意了難點(diǎn)的引領(lǐng)和思路的啟發(fā)。這些都是對前面探究的重復(fù)和提升，凸顯了本節(jié)課的邏輯連貫和前后一致。]

（四）拓展作業(yè)

最后，教師要求學(xué)生課后類比“三角形角平分線交于一點(diǎn)”的知識，拓展“四邊形各邊的垂直平分線交于一點(diǎn)”的判定與性質(zhì)，進(jìn)一步探究四邊形角平分線交于一點(diǎn)的判定與性質(zhì)。

[說明：通過拓展（變式）練習(xí)，讓學(xué)生對本次探究的活動經(jīng)驗(yàn)（思想方法）學(xué)以致用，觸類旁通，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察力以及思維的聯(lián)動性，幫助學(xué)生建立起知識之間的網(wǎng)絡(luò)體系。 ]

三、教學(xué)反思

本節(jié)課通過對一道教材習(xí)題的探究，凸顯了數(shù)學(xué)探究的一般方法（環(huán)節(jié)或步驟）：觀察、猜想、驗(yàn)證、證明。

（一）“以今度之，想當(dāng)然”，大膽猜想

確定無疑的問題，雖然探索的道路比較艱苦，但是總是可以解決的，因?yàn)樵谔剿鞯牡缆飞?，我們至少知道“我們的目?biāo)”，能夠通過目標(biāo)引領(lǐng)方法，走向成功。對此，著名數(shù)學(xué)家黎曼感慨道：“但愿我手中有定理，屆時我想必會易如反掌地找出證明?！倍麛?shù)學(xué)教育家波利亞則更加直接地說：“證明一個數(shù)學(xué)定理之前，你得先猜到它才行?！笨梢?，猜想在數(shù)學(xué)中的重要地位。但是，在平時的教學(xué)中，我們往往給學(xué)生呈現(xiàn)已經(jīng)成型的定義，將確定無疑的結(jié)論拋給學(xué)生，讓學(xué)生證明這些結(jié)論，運(yùn)用這些結(jié)論繼續(xù)證明新的命題，以追求數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力。在這樣的環(huán)境下，學(xué)生會形成一個固化的認(rèn)識：數(shù)學(xué)的知識都是確定無疑的，我們接受它們就好了。

殊不知，借助于演繹推理進(jìn)行的證明只能驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)果，而發(fā)現(xiàn)任何新知識則需要借助合情（歸納、類比）推理來“預(yù)測”數(shù)學(xué)結(jié)果。相對于演繹推理的嚴(yán)謹(jǐn)，合情推理的魅力則在于想象的豐富。豐富的想象和對各種情況的判斷更利于培養(yǎng)人的智慧。為此，在教學(xué)中，我們要鼓勵學(xué)生在觀察中積累經(jīng)驗(yàn)，“以今度之，想當(dāng)然”地大膽猜想，放飛想象的翅膀。思想的飛翔可以“幫助學(xué)生積累基于原點(diǎn)思考問題的經(jīng)驗(yàn)，以及借助直觀判斷問題的經(jīng)驗(yàn)”，從而讓學(xué)生在飛翔之后，能夠冷靜地進(jìn)行演繹推理，將新知識落到實(shí)處。

（二）由“想當(dāng)然”到“知所以然”，小心求證

歷史上，關(guān)于“想當(dāng)然”的錯誤例子有很多，最經(jīng)典的莫過于自由落體的理論。亞里士多德由直觀經(jīng)驗(yàn)“想當(dāng)然”地認(rèn)為，物體下落的速度與物體的重量成正比；伽利略通過思想實(shí)驗(yàn)構(gòu)造反例（“重物與輕物結(jié)合體”）“知其然”——物體下落的速度與物體的重量無關(guān)；牛頓通過嚴(yán)格的邏輯論證（萬有引力理論與牛頓運(yùn)動定律）“知其所以然”——物體下落的加速度恒定。

在從“想當(dāng)然”到“知其然”到“知其所以然”的過程中，我們需要從不同的角度分析與思考問題。在驗(yàn)證的過程中，教師往往需要引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造反例，證偽一個假命題。由此，學(xué)生便能夠認(rèn)識到“想當(dāng)然”的一些錯誤，進(jìn)而體會到要用懷疑、質(zhì)疑的態(tài)度去學(xué)習(xí)，才能讓自己的思想不受約束。當(dāng)反例出現(xiàn)的時候，教師需要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到：簡單地否定命題，則收獲甚少；明智的做法是修改命題，讓結(jié)論更加特殊或一般，以適合反例。而當(dāng)沒有反例的時候，無論正向進(jìn)攻，還是逆向迂回，教師需要引導(dǎo)學(xué)生思考如何邏輯地證明命題，以“知其所以然”。

參考文獻(xiàn)：

[1] 【英】伊姆雷·拉卡托斯.證明與反駁——數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的邏輯[M].康宏逵譯.上海：上海譯文出版社，1987.

[2] 史寧中.數(shù)學(xué)思想概論（第4輯）——數(shù)學(xué)中的歸納推理[M].長春：東北師范大學(xué)出版社，2010.