摘 要：理答是對學(xué)生回答問題的處理（應(yīng)對），是常用的教學(xué)評價（引導(dǎo)）形式。數(shù)學(xué)課堂中，理答可以從問題的類型特點和學(xué)生的回答情況兩個方面入手：把數(shù)學(xué)問題分為判斷性問題、陳述性問題、程序性問題和探究性問題四類，然后根據(jù)問題的特點理答；把學(xué)生的回答分為正確回答、錯誤回答和異?；卮鹑?，然后根據(jù)回答的差異理答。這兩者具有密切的聯(lián)系，體現(xiàn)了預(yù)設(shè)和生成、學(xué)科與學(xué)生、過程與結(jié)果的有機(jī)統(tǒng)一。

關(guān)鍵詞：理答 問題類型 學(xué)生回答

問題是數(shù)學(xué)的心臟，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的源泉。鄭毓信教授主張：“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該堅持問題引領(lǐng)，實現(xiàn)‘教學(xué)內(nèi)容的問題化’，由具體內(nèi)容提煉出相應(yīng)的核心問題，通過適當(dāng)?shù)奶釂枺瑢W(xué)生的注意力由具體的知識引向隱藏于其背后的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，從而逐漸學(xué)會思考。”

事實上，很多數(shù)學(xué)教師在實際教學(xué)中都十分重視提問的藝術(shù)，精心設(shè)計數(shù)學(xué)問題，優(yōu)化創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境。但也有許多教師只重視數(shù)學(xué)問題的設(shè)計，卻忽視了提問后對學(xué)生回答的處理（應(yīng)對），即理答。

理答是常用的教學(xué)評價（引導(dǎo)）形式。它的主要任務(wù)是幫助學(xué)生減小現(xiàn)有的回答與理想的答案之間的差距，縮短已有的知識、能力與未來必須達(dá)到的知識、能力之間的距離。它的重要功能是引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生的思維更加深刻、靈活、敏捷、廣闊；提升學(xué)生認(rèn)識，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解更加系統(tǒng)、全面，對數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟更加顯化、深化。它既反映了教師對提出的問題是否具有準(zhǔn)確、深刻的理解和科學(xué)、全面的預(yù)設(shè)，也反映了教師對教學(xué)生成的判斷、應(yīng)變、處置等能力的高低，且直接影響教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成、學(xué)習(xí)效果的好壞。

因此，教師不僅要認(rèn)真研究如何科學(xué)地提出數(shù)學(xué)問題，還要研究提出問題后學(xué)生會有哪些回答方式和結(jié)果，更要研究針對學(xué)生千差萬異、千變?nèi)f化的回答如何進(jìn)行理答。理答應(yīng)該講究策略，優(yōu)化方法，可從以下兩個方面入手：

一、按照問題的類型特點理答

根據(jù)提問的意圖，我們可以把數(shù)學(xué)問題分為判斷性問題、陳述性問題、程序性問題和探究性問題四類，然后根據(jù)問題的特點理答。

（一）判斷性問題的理答

判斷性問題通常指向所給結(jié)論正確與否。對此，學(xué)生頭腦中往往有一些自己認(rèn)為正確而其實錯誤的結(jié)論。因此，學(xué)生回答后，教師要及時給出正確的評價，并重復(fù)正確的答案，幫助學(xué)生加深印象。與此同時，教師還要讓學(xué)生說出判斷的依據(jù)（理由），幫助學(xué)生克服隨意猜測結(jié)論、隱藏錯誤認(rèn)識的現(xiàn)象。

【案例1】 “函數(shù)的奇偶性”教學(xué)設(shè)計

提問：判斷下列函數(shù)（省略）的奇偶性。

預(yù)設(shè)回答與理答：無論學(xué)生回答是奇（偶）函數(shù)，或不具有奇偶性，都應(yīng)要求學(xué)生說明依據(jù)（理由），然后應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出判斷函數(shù)奇偶性的一般方法：具有奇偶性時可以依據(jù)定義加以肯定，不具有奇偶性時可以舉出反例加以否定。

（二）陳述性問題的理答

陳述性問題通常指向知識結(jié)論，目的是了解學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容，學(xué)到了什么程度，還缺少什么。比如，習(xí)題課、復(fù)習(xí)課開始時，教師通常提問，前面我們學(xué)習(xí)了哪些知識，解決了哪些問題。首先，它要求學(xué)生知識目標(biāo)明確，結(jié)論表述準(zhǔn)確。教師可以通過遞進(jìn)式提示讓學(xué)生列舉符合知識結(jié)論的具體例子（正例和反例），發(fā)現(xiàn)、解決學(xué)生學(xué)習(xí)中的膚淺認(rèn)識和疑惑問題，促進(jìn)學(xué)生理解知識。其次，它要求學(xué)生運用多種數(shù)學(xué)語言表達(dá)同一個知識結(jié)論，運用同一個知識結(jié)論的多種呈現(xiàn)形式去分析、解決問題。教師可以引導(dǎo)學(xué)生相互補充完善知識的各種呈現(xiàn)形式。再次，學(xué)生的回答往往隱含錯誤或不足。教師要啟發(fā)學(xué)生自主改正，或請其他學(xué)生補充，從而幫助學(xué)生完善知識結(jié)構(gòu)體系。

【案例2】 “正弦定理和余弦定理的應(yīng)用”教學(xué)片段

師 前面，我們學(xué)習(xí)了正弦定理和余弦定理，今天，我們進(jìn)一步研究它們的應(yīng)用。首先，請同學(xué)們說說正弦定理和余弦定理的內(nèi)容。

師 很好！剛才大家給出了正弦定理與余弦定理的多種形式。它們在解三角形中有重要的應(yīng)用。

……

在以上案例中，教師的理答設(shè)計關(guān)注正弦定理和余弦定理相關(guān)知識結(jié)構(gòu)的完整性、知識呈現(xiàn)形式的多樣性、不同知識間的關(guān)聯(lián)性，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識有了更加準(zhǔn)確、全面、深刻的理解。

（三）程序性問題的理答

程序性問題通常指向策略方法。它要求學(xué)生首先說出處理問題的基本策略或思路，然后回答解決問題的方法或步驟。教師理答時，首先要啟發(fā)學(xué)生說出是如何想到的，其次要引導(dǎo)學(xué)生完整規(guī)范地說出相應(yīng)的過程，再次要鼓勵學(xué)生補充不同的策略與方法，并對它們做出比較與評價，促使學(xué)生進(jìn)行選擇與優(yōu)化，進(jìn)而掌握適合自己的解題策略與方法。

【案例3】 “橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)片段

（學(xué)生推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。）

師 你能總結(jié)推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法與步驟嗎？

生 第一步是建立坐標(biāo)系。

（教師啟發(fā)學(xué)生從結(jié)果認(rèn)識建立坐標(biāo)系的合理性、簡捷性。）

生 第二步是根據(jù)定義列出等量關(guān)系。

（教師要求學(xué)生準(zhǔn)確表示橢圓上的點的坐標(biāo)滿足的數(shù)量關(guān)系。）

生 第三步是化簡。

（教師提醒學(xué)生如何才能簡化運算，比較幾種化簡方法的優(yōu)劣。）

生 第四步是證明化簡后的方程是橢圓的方程。

（教師提醒學(xué)生只要說明兩點。）

生 第五步是總結(jié)方程特點。

（教師引導(dǎo)學(xué)生比較橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與直線的截距式方程、圓的最簡方程，發(fā)現(xiàn)相應(yīng)特點。）

推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法與步驟對于以后學(xué)習(xí)雙曲線和拋物線的方程具有典范意義。因此，這里的理答設(shè)計引導(dǎo)學(xué)生一步一步、充分詳盡地進(jìn)行歸納總結(jié)。

（四）探究性問題的理答

探究性問題通常指向發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新。一般來說，學(xué)生依據(jù)現(xiàn)有的知識技能和方法經(jīng)驗無法及時回答此類問題，必須經(jīng)過獨立思考、小組討論、實驗探究等過程，采用觀察、歸納、猜想、類比、想象、化歸、推理、計算、逆向分析等方法才可能獲得答案。對此，在設(shè)計理答時，教師要制定基本的探究策略和方法，讓學(xué)生明確探究要求，不能一提出問題，就拋出結(jié)果，或者讓學(xué)習(xí)成績較好的學(xué)生回答；也不能先指定學(xué)生，后提出問題，導(dǎo)致其他學(xué)生不加思考。在理答過程中，教師既要善于等待，留有充分的時間，讓學(xué)生獨立思考，鼓勵學(xué)生大膽發(fā)表自己的探究結(jié)果和想法，又要“雪中送炭”，適時提供有啟發(fā)性的材料，以點撥學(xué)生，防止學(xué)生走入死胡同；且要及時組織學(xué)生合作討論，并在關(guān)鍵處引導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生豁然開朗、發(fā)現(xiàn)目標(biāo)；還要及時反饋，通過追根溯源、補充完善、另辟蹊徑、反例辨析等方式引導(dǎo)學(xué)生尋找正確答案。

【案例4】 “橢圓的離心率性質(zhì)”教學(xué)片段

師 （呈現(xiàn)一組離心率各異的橢圓，讓學(xué)生觀察片刻）上面一組橢圓的形狀各有差異，你能用數(shù)量關(guān)系反映它們的差異嗎？

生 這些橢圓的扁圓差異是由a、b取值的不同引起的。

生 應(yīng)該是由a、b、c的變化引起的。

生 你能說出具體的變化規(guī)律嗎？

生 我發(fā)現(xiàn)，b越大（接近a），橢圓越圓；b越小，橢圓越扁。

生 當(dāng)b不變時，a越大，橢圓越扁；a越小（接近b），橢圓越圓。

生 其實，c越大，橢圓越扁；c越小，橢圓越圓。

師 既然橢圓的扁圓程度同時與a、b、c有關(guān)，那么能否將這3個量結(jié)合起來？

生 因為b2=a2-c2，所以可以將3個量變成2個獨立的量。因為a、c是已知的，所以最好選a、c。

生 可將橢圓的扁圓程度看作一個變量，它與c成正比，與a成反比，因此可以表示成y=k·ca。

師 為了方便起見，我們給扁圓程度變量起一個名字叫離心率，用e表示。為了簡潔起見，令k=1，則e=ca。

（教師簡單說明離心率的含義與合理性。）

發(fā)現(xiàn)橢圓的離心率是具有探究意義的課題。以上理答過程中，教師抓住三個問題啟發(fā)學(xué)生探究。一是呈現(xiàn)現(xiàn)象引發(fā)問題：橢圓的形狀有什么不同？二是共同探究：橢圓扁圓變化的規(guī)律是什么？三是獲得離心率的概念：如何科學(xué)合理簡潔地表達(dá)規(guī)律？在這一過程中，學(xué)生經(jīng)歷了完整的直觀抽象、邏輯推理、符號表達(dá)數(shù)學(xué)知識的過程。

二、按照學(xué)生的回答情況理答

我們可以把學(xué)生的回答分為正確回答、錯誤回答和異?；卮鹑?，然后根據(jù)回答的差異理答。

（一）正確回答的理答

正確回答主要表現(xiàn)為學(xué)生的回答基本正確；或部分正確，但不完整；或思考正確，但不會表達(dá)，其原因往往是記憶不清晰、理解有差異、考慮不全面、計算不準(zhǔn)確、條件不充分等。教師對學(xué)生的正確回答要及時肯定，對學(xué)生的復(fù)雜回答要復(fù)述一遍，以便讓其他學(xué)生及時鞏固，加深理解；對學(xué)生部分正確但不完整的回答要先肯定正確的部分，再啟發(fā)學(xué)生不斷完善，或讓其他學(xué)生進(jìn)行補充，以幫助學(xué)生學(xué)會完整、系統(tǒng)地處理問題。

【案例5】 “雙曲線的幾何性質(zhì)”教學(xué)片段

師 上節(jié)課我們研究了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，本節(jié)課我們應(yīng)該研究什么？

生 研究雙曲線的性質(zhì)。

師 雙曲線有哪些性質(zhì)呢？

（學(xué)生思考、討論。）

生 類比橢圓，運用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以得到雙曲線有范圍、對稱性、頂點、離心率等性質(zhì)。

師 很好！還有其他性質(zhì)嗎？

生 在初中我們學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)，它的圖像是雙曲線，不知道與現(xiàn)在的雙曲線是否一樣有漸近線？

師 這個問題提得好，下面我們一起來探究。

……

（二）錯誤回答的理答

錯誤回答主要表現(xiàn)為學(xué)生不會回答，一問三不知；或答非所問，文不對題，顛三倒四，邏輯混亂；或表面正確，隱藏錯誤；或誤打誤撞，猜出答案，沒有真理解，說不出理由。從知識、能力方面分析，主要有知識性錯誤、方法性錯誤、思維性錯誤、計算性錯誤、規(guī)范性錯誤等。對此，教師可以采取“誘敵深入”的辦法，讓學(xué)生充分暴露思維過程，說出產(chǎn)生錯誤的原因，再通過反例反駁辨析，暴露錯誤的根源，最后因勢利導(dǎo)，糾正錯誤。此外，教師還要及時增加點評、討論、練習(xí)等環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生鞏固糾錯成果。

【案例6】 《函數(shù)的性質(zhì)》復(fù)習(xí)課教學(xué)片段

生 與全班每個同學(xué)比較身高，我比其他同學(xué)都高，或其他同學(xué)都比我矮。

師 找到一個同學(xué)個子比你矮，能不能證明？

生 不能。因為不能確定其他同學(xué)都比我矮。

師 找到一個同學(xué)個子比你高，能不能證明？能說明什么？

生 可以說明結(jié)論是錯誤的。（停頓片刻）老師，我知道我判斷錯誤的原因了。要說明函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)，必須對任意兩個值滿足x1

師 好。這個問題同學(xué)們都理解了嗎？

……

對于教師最初提出的問題，學(xué)生的回答有錯誤。教師“誘敵深入”，讓學(xué)生說出判斷的依據(jù)并解釋相應(yīng)的概念。由此，學(xué)生暴露出“對肯定判斷要加以證明，而對否定判斷只要舉出反例”的不理解。對此，教師利用一個生活化的例子，糾正了學(xué)生的理解錯誤。

（三）異常回答的理答

異?；卮鹬饕憩F(xiàn)為學(xué)生的回答另辟蹊徑，雖然出現(xiàn)錯誤，但是新穎獨到；或出乎意料，雖然奇思妙想，但是彌足珍貴。對此，在理答時教師不能簡單地以對錯作為評價標(biāo)準(zhǔn)，對學(xué)生做出否定和批評；必須因勢利導(dǎo)，追根溯源，“逼”學(xué)生講出是如何想到的，展示他們理解、分析的思維過程，甚至是靈感閃現(xiàn)的過程；還要適當(dāng)點撥，引發(fā)討論，發(fā)掘某位學(xué)生的閃光之處，發(fā)揮全體學(xué)生的聰明才智，拓寬學(xué)生的思維，提升學(xué)生的認(rèn)識。在這一過程中，教師尤其要注意放低姿態(tài)，不怕出丑、不怕出錯，坦然承認(rèn)自己的“無能”和“錯誤”，讓學(xué)生展示成功，品嘗快樂。

【案例7】 《直線與圓錐曲線的位置關(guān)系》習(xí)題課教學(xué)片段

（教師出示如下例題。學(xué)生獨立思考，自主探究。）

生 我認(rèn)為結(jié)論應(yīng)該是不存在。

師 請你說說理由。

生 我畫圖發(fā)現(xiàn)直線與雙曲線不相交。

生 畫圖直觀，但不一定準(zhǔn)確?？梢越夥匠探M判斷是否相交.

師 請同學(xué)們驗證一下。

（學(xué)生通過運算驗證發(fā)現(xiàn)，正確結(jié)論是不存在直線l。）

師 請同學(xué)們總結(jié)一下求解此問題的方法步驟和注意點。

生 在設(shè)直線的方程時，要先考慮斜率不存在的情況，還要考慮直線方程與雙曲線方程聯(lián)立所得的方程組有解，即消元后關(guān)于x或y的二次方程的判別式Δ大于0。

生 我發(fā)現(xiàn)用點差法時，對任意一點P都可以求出一個方程，且表示一條直線，但是這條直線不一定與雙曲線相交且以P為所截線段的中點，而可能是與其他曲線相交。

師 很好！你怎么會聯(lián)想到漸近線呢？

生 我聯(lián)想到求雙曲線的漸近線方程時，只要將雙曲線方程的常數(shù)項1變成0，分解因式即可。而且上周剛剛學(xué)到，與已知雙曲線漸近線相同的雙曲線可以表示為x2a2-y2b2=λ（λ≠0）。兩者結(jié)合，我就獲得了上面的猜想。

生 我猜想，過雙曲線與兩條漸近線圍成的區(qū)域內(nèi)的任意一點P，都不存在滿足條件的直線。

師 又是一個新的猜想。你的靈感來源于何處？

生 我是由線性規(guī)劃中直線劃分平面區(qū)域中點的共同性質(zhì)聯(lián)想得到的，但我不會證明。

師 那么，過其他區(qū)域內(nèi)的點，是否都存在滿足條件的直線呢？以上求出的直線是否與雙曲線的漸近線有兩個交點且以已知點為所截線段的中點呢？在橢圓中是否有類似的結(jié)論呢？請同學(xué)們繼續(xù)探索。

……

這里，教師的本意是讓學(xué)生掌握兩種常見的求直線方程的方法，并通過檢驗強調(diào)，直線與曲線相交是前提條件，但學(xué)生卻從解題錯誤中發(fā)現(xiàn)了另外幾個問題：（1）點P在什么位置才存在滿足條件的直線；（2）點P在什么位置不存在滿足條件的直線；（3）用點差法求出的直線盡管不一定符合條件，但是否有具體的幾何特征；（4）這些問題是如何想到的；（5）如何解決這些問題。大多數(shù)問題并不在教師的教學(xué)預(yù)設(shè)之中，但卻極具價值。對此，教師靈活應(yīng)變，抓住學(xué)生的課堂生成，保護(hù)學(xué)生的創(chuàng)造火花和創(chuàng)新意識，和學(xué)生一起探索奧秘，錘煉學(xué)生數(shù)學(xué)的眼光和思維。

按照問題的類型特點和學(xué)生的回答情況理答，僅僅是從兩個角度提供了理答的策略和方法。兩者具有密切的聯(lián)系，體現(xiàn)了預(yù)設(shè)和生成、學(xué)科與學(xué)生、過程與結(jié)果的有機(jī)統(tǒng)一。按照問題的類型特點理答，必須“心中有人”，緊緊圍繞學(xué)生的回答情況，選擇調(diào)整理答設(shè)計方案；按照學(xué)生的回答情況理答，既要靈活應(yīng)變，發(fā)現(xiàn)亮點，又要緊扣目標(biāo)問題，避免信馬由韁。