摘 要：好的教學設計應該基于知識結構，一線串通、精中求簡，讓學生學得輕松。這正是教育數(shù)學的追求?；诮逃龜?shù)學理念的“平行四邊形”教學設計可以安排如下課時內容：平行四邊形的性質；平行四邊形的判定；平行四邊形、矩形和正方形；平行四邊形、菱形和正方形；矩形和菱形；從正方形到平行四邊形；梯形。基于教育數(shù)學理念的教學設計具有如下特征：整體性；重構性；重復性；現(xiàn)實性；發(fā)展性。

關鍵詞：教育數(shù)學 知識結構 平行四邊形 教學設計

數(shù)學教學設計的理念多種多樣：有基于數(shù)學史的，有基于數(shù)學方法論的，也有基于學習理論的……好的教學設計應該以生為本，既能讓學生提升考試成績，也能讓學生發(fā)展核心素養(yǎng)。筆者認為，這樣的教學設計應該基于知識結構，一線串通、精中求簡，讓學生學得輕松。這正是教育數(shù)學的追求。

教育數(shù)學的理論與實踐正在興起。張景中院士基于教育數(shù)學的理念，成功地改造了平面幾何知識體系，重建了三角函數(shù)知識結構。不過，現(xiàn)行課程標準和教材并沒有吸收這種做法。那么，能不能在現(xiàn)行的課程框架之下，利用教育數(shù)學的理念進行教學設計呢？下面，以“平行四邊形”為例進行闡述。

一、基于教育數(shù)學理念的教學設計案例

平行四邊形是一類特殊的四邊形，包含矩形、菱形、正方形等更特殊的情況。教學這一主題時，要讓學生看到數(shù)學的傳承與擴張，領會數(shù)學的生長方式，感悟數(shù)學的基本思想方法，積累數(shù)學的基本活動經驗。下面，給出可操作的、結構化的教學設計程式。

（一）高觀點地整體理解教材內容

平行四邊形在邏輯上最簡單，正方形在圖形上最簡單。既可以從平行四邊形講到正方形，也可以從正方形講到平行四邊形。從平行四邊形到正方形是強抽象的過程，是不斷豐富概念內涵的過程；從正方形到平行四邊形是弱抽象的過程，是不斷擴張概念外延的過程。

現(xiàn)行初中數(shù)學教材大多采取的是強抽象的過程。其路徑如圖1所示?？梢钥吹?，這是一個雙線結構，矩形和菱形是中間的兩個“驛站”。這兩個“驛站”之間是要相互溝通的，從而形成雙紐線結構，教學時要注意到這一點。

內容結構的解析決定了教學方法的選擇?？梢园选捌叫兴倪呅巍匦巍叫巍碑斪髅骶€，把“平行四邊形—菱形—正方形”當作暗線。若用講授法講明線，那么可用探究法學暗線。各種教學方法有機搭配，決不不恰當?shù)靥Ц吣撤N方法，也不無根據(jù)地貶低某種方法。這是理解結構之后，一線串通，確定教學的思路。

這兩條線變化的手法是一樣的，或變角度，或變長度，只是順序不一樣。這突出了平面幾何的兩個基本量角度和長度的作用。從本質上講，這幾種平行四邊形其實是一樣的。因而更激進一點的做法是，用啟發(fā)式講授法教學平行四邊形之后，讓學生仿照平行四邊形的研究方法來研究矩形、菱形和正方形的性質和判定。這樣，學習后三種特殊的平行四邊形，其實就相當于在復習平行四邊形的相關知識。因而，整個教學過程的重心應放在平行四邊形的研究上。這是理解結構之后，精中求簡，確定教學的重點。

（二）低起點地從學生已有經驗出發(fā)

現(xiàn)行初中數(shù)學教材的引入方式主要有兩種：（1）直接指出兩組對邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形；（2）呈現(xiàn)生活中的一些平行四邊形形象，如小區(qū)的伸縮門、庭院的竹籬笆、載重汽車的防護鏈等。第一種引入法開門見山，直截了當；第二種引入法從實例到抽象，有助于發(fā)展學生的抽象能力。但是，這兩種引入法的共同缺陷在于沒有和前面學過的全等三角形發(fā)生有機的關聯(lián)。

教育數(shù)學強調“從學生頭腦中找概念”?；谶@種想法，可以有這樣一種引入方式：讓學生拿出兩個全等三角形來進行拼接，有可能拼成平行四邊形，也有可能拼成箏形；引入生活中的一些平行四邊形形象，說明平行四邊形比箏形更常見，不妨先來研究平行四邊形。這種做法的理據(jù)之一是還可以發(fā)展學生的組合思維能力：此處需要組合思維能力的強度強于從常見的實物圖中抽象出平行四邊形。

（三）教之以法，研究平行四邊形

課程標準要求學生“能養(yǎng)成良好的學習習慣，掌握適合自身的學習方法”。由三角形全等，很容易推導出平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形。然后，可以列表格，引導學生從邊、角、對角線這三個維度分析平行四邊形的性質。

一般而言，圖形內蘊性質的探究是比較困難的，需要教師的適切引導。因為這里的引入方法是建立在全等三角形基礎上的，所以學生很容易發(fā)現(xiàn)邊和邊、角和角的關系，但是不容易明白為什么要研究對角線以及對角線有怎樣的性質?；谌热切?，已經自然生成了一條對角線，即兩個頂點已經直接聯(lián)通了。這時，可以啟發(fā)學生：另外兩個頂點能不能直接聯(lián)通呢？這樣，兩條對角線就全生成了。這時，可以引導學生：它們之間又有什么關系呢？讓學生展開探究。聯(lián)通性的觀念來源于圖論。此處也是在滲透組合數(shù)學的思想。

（四）學會思考，從正面到反面

首先，可以這樣過渡：給定了平行四邊形，可以考察它的性質；反過來，給定了一個四邊形，如何判定它是不是平行四邊形？其次，引導學生尋找判定條件時，需要滲透邏輯知識：A具有一系列性質，那么具有這些性質的事物是否就是A呢？即把反問題變成正問題，然后分別從邊、角、對角線的維度尋找判定方法。此處訓練了學生逆向思考問題的習慣和能力。

（五）組織變化鏈，突出基本特征

角度是平面幾何的基本量，而其中垂直是一個十分重要的關系。借助動態(tài)幾何技術，把平行四邊形變成矩形，讓學生仿照研究平行四邊形的“套路”，研究矩形的性質和判定。長度是平面幾何的基本量，而其中相等是一個十分重要的關系。借助動態(tài)幾何技術，把矩形變成正方形，讓學生仿照研究矩形的“套路”，研究正方形的性質和判定。

上面的做法是先變角度后變長度，能不能先變長度后變角度呢？借助動態(tài)幾何技術，把平行四邊形變成菱形（或把箏形變成菱形），讓學生仿照研究平行四邊形的“套路”，研究菱形的性質和判定。借助動態(tài)幾何技術，把菱形變成正方形，讓學生仿照研究菱形的“套路”，研究正方形的性質和判定。

信息技術進入課堂教學，于此處成了一種必須，而不是一種強求。

（六）反思總結，感受辯證思維

讓學生畫出學習路線，從而發(fā)現(xiàn)上述雙線結構。然后，提問：從平行四邊形可以漸次變化到正方形，那么由平行四邊形能否直接變到正方形？矩形和菱形之間能否相互演變？這樣提問稍顯抽象，但是可以設計有序題組，讓學生明白：（1）順次連接矩形四邊中點所得的四邊形是菱形；順次連接菱形四邊中點所得的四邊形是矩形。（2）從菱形兩條對角線的交點分別向各邊引垂線，連接各垂足組成的四邊形是矩形；從矩形兩條對角線的交點分別向各邊引垂線，連接各垂足組成的四邊形是菱形。此處訓練了學生的辯證思維：事物是相互聯(lián)系的，“你中有我，我中有你”。

（七）逆向思維，實現(xiàn)融會貫通

提出研究性問題：既然能從平行四邊形出發(fā)，經矩形或菱形，得到正方形，那么能不能從正方形出發(fā)，經矩形或菱形，得到平行四邊形？如果能，又該如何研究它們的性質？此處再次訓練了學生逆向思考問題的習慣和能力。

（八）構建知識網(wǎng)絡，發(fā)現(xiàn)新的主題

讓學生構建從四邊形到平行四邊形的知識網(wǎng)絡，再次運用數(shù)學抽象化手法。引導學生思考：“兩組對邊分別平行”的要求實在有點“苛刻”，若只要求一組對邊平行，得到的是什么樣的圖形？這樣就得到了梯形。《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出，評價既要關注學生學習的結果，更要重視學生學習的過程。這樣的問題是開放性的，雖然不是考試所要求的，但是能夠作為是否學會了“數(shù)學地思考”的一種檢測。

根據(jù)上面的設計，便可以制作一張課時安排表：（1）平行四邊形的性質；（2）平行四邊形的判定；（3）平行四邊形、矩形和正方形；（4）平行四邊形、菱形和正方形；（5）矩形和菱形；（6）從正方形到平行四邊形；（7）梯形。其中，（1）和（2）屬于基礎部分，學習（2）可視作復習（1）；（3）和（4）屬于強化部分，學習（4）可視作復習（3）；學習（5）是溝通矩形和菱形之間的關聯(lián)，屬于橫向學習；學習（6）可視作對（1）（2）（3）（4）（5）的一種另類復習；學習（7）則是跳出圈外，尋找新的主題。經過反復的滲透學習，學生能夠在課堂上的寶貴時間內掌握“四邊形”。

二、基于教育數(shù)學理念的教學設計特征

（一）整體性

根據(jù)教育數(shù)學理念，從整體的角度考察知識點之間的關系，并把它們安排在一個網(wǎng)絡中，溝通它們之間的關聯(lián)。這與修訂后的高中數(shù)學課程理念是一致的：按“主線—主題—核心內容”構建數(shù)學內容體系，“整體把握、抓住本質、發(fā)展素養(yǎng)”。

（二）重構性

根據(jù)教育數(shù)學理念，重新構置課程，一線串通、精中求簡，小而巧、不激進，可以與傳統(tǒng)的課堂教學有機相融。

（三）重復性

這種教學設計認為“學習即復習”，把訓練與新課的學習有機融合在一起，讓學生真正成為主體，教師真正成為主導，使學生的學習經驗能在教師的指導下反復熟悉與體會；把過程與結果統(tǒng)一起來，讓學生在課堂上感悟數(shù)學的基本思想方法，積累數(shù)學的基本活動經驗，并生成陳述性知識，化為操作性技能。

（四）現(xiàn)實性

這種教學設計并不懼怕考試，其思維訓練的深度大于常規(guī)的教學做法。因為它提出的問題是根本性的，學會了這些根本的思考方法，再加上一些具體的技法指導，自然不懼怕考試。

（五）發(fā)展性

這種教學設計對學生的長遠發(fā)展負責，不滿足于僅僅把學生送進高等學校，而期望把學生送進數(shù)學研究的殿堂。因為它能讓學生在具體主題的學習中，感悟“做”數(shù)學的過程，進而化實為虛，領略數(shù)學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值。

參考文獻：

[1] 張景中.幾何新方法和新體系[M].北京：科學出版社，2009.

[2] 張景中.一線串通的初等數(shù)學[M].北京：科學出版社，2009.