摘 要：數(shù)學(xué)的基本特性決定著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由淺層學(xué)習(xí)向深度學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變的必要性。為此，以“每日一題”為載體，構(gòu)建微型學(xué)程，面向?qū)W有余力的學(xué)生，采用先自主探究后小組交流的實(shí)施方式。以“網(wǎng)格背景下求銳角三角函數(shù)值”問題為例，闡述微型學(xué)程構(gòu)建的基本原則、基本板塊和學(xué)習(xí)成果分享的意義。由此得出：“深度”生成的緣由有任務(wù)聚焦點(diǎn)，開放自主編，成果必展示；激活“深度”的啟示有“一題一得”比“多題多得”更深刻，開放探究比封閉任務(wù)更有效，群體分享比教師評(píng)價(jià)更有力。

關(guān)鍵詞：“每日一題” 深度學(xué)習(xí) 網(wǎng)格背景下的三角函數(shù)求值

“深度學(xué)習(xí)”是當(dāng)前學(xué)習(xí)研究的熱點(diǎn)之一。數(shù)學(xué)的基本特性決定著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由淺層學(xué)習(xí)向深度學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變的必要性。筆者與所在團(tuán)隊(duì)對(duì)此進(jìn)行了近兩年的研究與實(shí)踐，以“每日一題”為載體，構(gòu)建微型學(xué)程。起初面向全體學(xué)生，主要采用分組的實(shí)施方式，發(fā)現(xiàn)由于不同學(xué)生在學(xué)習(xí)能力上存在差異，導(dǎo)致教學(xué)成效一般。后來調(diào)整為面向?qū)W有余力的學(xué)生，采用先自主探究后小組交流的實(shí)施方式，取得了較好的教學(xué)效果。下面，以“網(wǎng)格背景下求銳角三角函數(shù)值”問題為例，談?wù)勎覀兊膶?shí)踐與思考。

一、微型學(xué)程構(gòu)建

（一）基本原則

每個(gè)微型學(xué)程以“每日一題”為載體，以“發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題”為方向，將目標(biāo)問題化、內(nèi)容問題化，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

“每日一題”基于學(xué)生已有，立足當(dāng)天課時(shí)內(nèi)容，選擇可生長(zhǎng)的一道題，即“由一題生一類”。需要注意的是，不過分追求難度，因?yàn)樯疃炔坏扔陔y度；而更多地聚焦于基于理解之上的分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造等高階思維的運(yùn)用。

（二）基本板塊

每個(gè)微型學(xué)程分“問題導(dǎo)向”“每日一題”“策略探究”三個(gè)基本板塊。例如：

【問題導(dǎo)向】

“網(wǎng)格背景下求銳角三角函數(shù)值”問題是近幾年中考出現(xiàn)頻率較高的題型。解決此類問題的突破口在哪里？ 具體方法有哪些？

通過“問題導(dǎo)向”意在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)主題探究的必要性（為什么要探究）和方向性（探究什么）。因此，這里的問題導(dǎo)向不僅是“網(wǎng)格背景下求銳角三角函數(shù)值”問題的探究目標(biāo)，而且是探究過程中需要不斷反思生成的方向。

【每日一題】

如圖1，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上，則∠ABC的正切值是 。

思考：你是如何做的？為什么要這樣做？

通過“每日一題”和“思考”，引導(dǎo)學(xué)生分析問題的關(guān)鍵特征，把握解決問題的基本規(guī)律和知識(shí)之間的聯(lián)系，從而發(fā)展學(xué)生原有的知識(shí)和能力結(jié)構(gòu)，為深度遷移和運(yùn)用奠基。

【策略探究】

如圖2、圖3，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B、C、D都在格點(diǎn)上。

自我設(shè)計(jì)：請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)2～3個(gè)求銳角三角函數(shù)正切值的問題，比如求直線AB與直線CD夾角的正切值，并解答。

反思提煉：請(qǐng)就你設(shè)計(jì)的問題與解答過程進(jìn)行反思優(yōu)化和方法提煉。

著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾指出：“只要兒童沒能對(duì)自己的活動(dòng)反思，他就達(dá)不到高一級(jí)的層次?！币虼?，單純依靠反復(fù)實(shí)踐不可能實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，必須強(qiáng)化自主探索、反思整合與深度加工。通過“空白圖形”可以更好地引發(fā)聯(lián)想，使問題得以有效遷移與拓展。通過“自我設(shè)計(jì)”“反思提煉”意在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問題，并反思過程與方法，從而獲得解決這類問題深層次的思想方法，一方面激發(fā)探索的主動(dòng)性，培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性，另一方面引發(fā)廣泛深入的反思完善，培養(yǎng)思維的廣闊性、深刻性。

二、學(xué)習(xí)成果分享

一般讓學(xué)生四人一組，采用先組內(nèi)交流后群體展示的方式分享“每日一題”的學(xué)習(xí)成果。這樣的分享不僅讓學(xué)生獲得了更廣闊的視野、更深入的理解，而且提高了學(xué)生收集、處理信息的能力和溝通、合作的能力。

對(duì)于上述“網(wǎng)格背景下求銳角三角函數(shù)值”問題，學(xué)生分享形成的部分學(xué)習(xí)成果如下：

1.解決“網(wǎng)格背景下求銳角三角函數(shù)值”問題，突破口在于構(gòu)造銳角所在的直角三角形并使直角三角形為格點(diǎn)三角形。

2.一般通過構(gòu)建“K”型（相鄰兩個(gè)正方形的對(duì)角線互相垂直）來解決問題，具體方法如下：

（1）直接連。比如，對(duì)于圖1所示的“基本任務(wù)”，如圖4，連接AC，借助于相鄰兩個(gè)正方形的對(duì)角線互相垂直，形成格點(diǎn)直角三角形，即AC⊥AB，△CAB為格點(diǎn)直角三角形，得tan∠ABC=ACAB=12。

（2）移中連。比如，對(duì)于問題“如圖5，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B、C、D都在格點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)P，則tan∠APD的值是 ”，平移CD至BH，連接AH，得∠APD=∠ABH，△ABH為直角三角形，則tan∠APD=tan∠ABH=AHBH=2。這里，首先通過平移，實(shí)現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化，回歸格點(diǎn)三角形，然后同樣借助于相鄰兩個(gè)正方形的對(duì)角線互相垂直，形成格點(diǎn)直角三角形。

再如，對(duì)于問題“如圖6，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B、C、D都在格點(diǎn)上，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，則tan∠AOD的值是 ”，平移AB至DE（平移方法意在平行，可以伸縮），連接EF，得∠AOD=∠EDF，△EDF為直角三角形，則tan∠AOD=tan∠EDF =EFED=3。這是兩條線段延長(zhǎng)后相交的情況（不直接相交）。方法同上，還是先平移回歸格點(diǎn)三角形，再連接形成格點(diǎn)直角三角形。不過，在不補(bǔ)充方格的情況下，對(duì)于平移到與哪個(gè)格點(diǎn)（點(diǎn)C或D）相連接，需要做出選擇（考慮能否構(gòu)建“K”型）。

（3）移補(bǔ)連。比如，對(duì)于問題“如圖7，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B、C、D都在格點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)E，則tan∠BED的值是 ”，平移CD至BF（同時(shí)縮短），補(bǔ)充方格，連接FH，得∠BED=∠FBH，△FBH為直角三角形，則tan∠BED=tan∠FBH=FHFB=5。這里，在平移的基礎(chǔ)上，為了構(gòu)建“K”型，把原來的“3×3”的方格補(bǔ)成“5×6”的方格。

三、實(shí)踐反思

（一）“深度”生成的緣由

1.任務(wù)聚焦點(diǎn)。

“每日一題”主題較小、任務(wù)聚焦。學(xué)生因此容易深入探究，更易體驗(yàn)成功，即通過由點(diǎn)帶面，實(shí)現(xiàn)“通一題達(dá)一類”，分析發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)與路徑。比如，上述案例中，學(xué)生分析得出了“構(gòu)建‘K’型，形成格點(diǎn)直角三角形；根據(jù)銳角三角函數(shù)定義解決問題”的一般規(guī)律，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了“以不變應(yīng)萬變”的解題格局。

2.開放自主編。

獲得方法與提高能力離不開學(xué)生自主探索、親身體驗(yàn)的過程。開放自主編強(qiáng)調(diào)了發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，較之給定問題更易激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)性、創(chuàng)造性。比如，上述案例中，學(xué)生還設(shè)計(jì)出了如下等一系列問題：

如圖8，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B、C、D都在格點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)E，則tan∠AEC的值是 。

如圖9，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B、C、D、E都在格點(diǎn)上，∠CAE+∠DAB=α，則tan α的值是 。

3.成果必展示。

深度學(xué)習(xí)需要積極的情緒支撐。每次微型學(xué)程都組織學(xué)生進(jìn)行成果展示，不僅有效強(qiáng)化了學(xué)生的成就感，而且展示中學(xué)生之間的好奇、迷惑、會(huì)心的笑、嘆服的贊等均大大激發(fā)了學(xué)生持續(xù)參與學(xué)習(xí)的動(dòng)力。

（二）激活“深度”的啟示

1.“一題一得”比“多題多得”更深刻。

貪多嚼不爛。內(nèi)容與方法的“多題多得”遠(yuǎn)不如“一題一得”。“多”會(huì)囫圇吞棗，從而制約聯(lián)想、遷移、反思等的時(shí)空；“一”能細(xì)嚼慢咽，從而引發(fā)更多的學(xué)習(xí)妙處、思維深度。

2.開放探究比封閉任務(wù)更有效。

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要在“做”的過程和“思”的過程中積淀，深層次的學(xué)習(xí)需要教師幫助和引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“再創(chuàng)造”。實(shí)踐證明，封閉任務(wù)容易使學(xué)生產(chǎn)生疲勞感，壓制思維的靈動(dòng)性，會(huì)大大降低學(xué)生探究的興趣與欲望，而開放探究更能激發(fā)、激活學(xué)生的發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造。

3.群體分享比教師評(píng)價(jià)更有力。

初中生普遍的心理特點(diǎn)是好勝心、參與感與表現(xiàn)欲較強(qiáng)。實(shí)踐證明，組織學(xué)生將經(jīng)過自己深思熟慮的成果在群體中展示交流，比單一的教師評(píng)價(jià)更有力。群體分享在檢驗(yàn)成果的同時(shí)，不僅激勵(lì)了學(xué)生，使其對(duì)“每日一題”的認(rèn)識(shí)傾向表現(xiàn)出更大的堅(jiān)持力，即有了較為長(zhǎng)久穩(wěn)定的興趣，而且啟發(fā)了學(xué)生，使其主動(dòng)汲取他人的優(yōu)秀經(jīng)驗(yàn)，反思自己的不足之處。

四、結(jié)束語

開展深度學(xué)習(xí)的路徑與方式遠(yuǎn)不止本文所述的“每日一題——微型學(xué)程”。它只是筆者與所在團(tuán)隊(duì)行走在研究路上的“一棵小樹”，希望能起到拋磚引玉的作用。數(shù)學(xué)教學(xué)由于對(duì)象、環(huán)境等的差異性，很難依靠某一固定的模式或框架有效地解決深度學(xué)習(xí)的問題。這就需要更多的數(shù)學(xué)教師基于學(xué)情、立足實(shí)際主動(dòng)實(shí)踐、創(chuàng)造、反思、總結(jié)，從而生長(zhǎng)出“更多的樹”。

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃初中專項(xiàng)重點(diǎn)資助課題“初中數(shù)學(xué)‘學(xué)材再建構(gòu)’研究”（編號(hào)：E—a/2016/06）的階段性研究成果。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張定強(qiáng)，薛鳳明.初中數(shù)學(xué)教育“學(xué)生”研究：現(xiàn)狀析理及研究展望——以2017年度人大《復(fù)印報(bào)刊資料·初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》中的學(xué)生專欄為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（2）.