摘 要：現(xiàn)象教學的素材是自然的、本真的事實，但是并不完全排除那些標準化的數(shù)學題目。數(shù)學現(xiàn)象必須通過學生的活動賦予其明確的數(shù)學意義。為此，學生特別需要具有數(shù)學表征的能力和信息選擇的能力。這里，教師的鼓勵或適當?shù)狞c撥也是非常重要的。現(xiàn)象教學的成果必須體現(xiàn)為規(guī)范化的數(shù)學知識、良好的思維品質(zhì)、正確的情感態(tài)度價值觀，體現(xiàn)為人的素養(yǎng)的全面提升?，F(xiàn)象教學更著眼于活動與體驗，因此所重視的是過程性評價。

關(guān)鍵詞：現(xiàn)象教學 素材選取 學生活動 過程性評價

最近幾十年內(nèi)的逐漸積累，數(shù)學教育已經(jīng)發(fā)生了巨大的轉(zhuǎn)變。技術(shù)上從知識傳授轉(zhuǎn)到以問題解決又轉(zhuǎn)到情境教學；形態(tài)上從以教師為主轉(zhuǎn)到以教材為主又轉(zhuǎn)到以學生為主；觀念上從知識為本轉(zhuǎn)到以方法和思想為本。變革一直在持續(xù)，每一次的變革都是朝向?qū)W生走近了一步，朝向自然走近了一步。從情境到現(xiàn)象的教學轉(zhuǎn)變，把這個趨勢做了更大的推進，那就是：向自然再進一步。

教學需要學生的主動參與，為了形成學生積極的活動，我們用情境把他們都吸引過來或調(diào)動起來。但是讓他們來，不是讓他們認識情境的，而是認識情境里的現(xiàn)象，并探究現(xiàn)象背后的規(guī)律性。現(xiàn)象是世界在小范圍內(nèi)的呈現(xiàn)，認識現(xiàn)象實則是認識世界。那么，我們?yōu)槭裁粗苯犹峁┈F(xiàn)象呢？那就是教學的技術(shù)了。

一、現(xiàn)象教學的實施

（一）素材選取

現(xiàn)象教學的素材是自然的、本真的事實，但是并不完全排除那些標準化的數(shù)學題目，因為有些事實本身就是標準化的，自然不要再把它變模糊，比如“一支鉛筆8角錢，6支鉛筆多少錢”。有些數(shù)學題目經(jīng)過了大幅的改編，背景材料全被刪除、信息被篩選到恰如其分、思考方向明確無誤，失去了探究的價值，就已經(jīng)不適合做現(xiàn)象教學的素材了，比如“用公式法解二次方程x2-2x-3=0”，已經(jīng)對方法提出了明確無誤的要求，只要也只能按要求去做。當然，一個題目的思考方向是否明確、有沒有思考價值，也與學生的實際水平有關(guān)，因此難以給出一個絕對的標準。

但是，有一種素材是絕不可以用來作為現(xiàn)象教學素材的，那就是：出題者設定唯一的標準答案，題目中給出暗示信息，學習者必須揣摩出題者的意圖，根據(jù)自己的揣測而不是題目本身的邏輯思考。比如，“如果你駕車穿越撒哈拉沙漠，突然看見一個人趴在地上，經(jīng)檢查發(fā)現(xiàn)他已經(jīng)死了。在附近沒有看到任何有路的痕跡，最近也沒有因刮風而使路跡消失。你翻了一下那人的背包，發(fā)現(xiàn)了什么？”在讀這個題目的時候，我覺察到它的暗示：趴著的人和他背后的包。于是，揣測出答案：那人背包中的降落傘沒有打開。后來查看答案，果真如此。這個案例轉(zhuǎn)引自一本非常優(yōu)秀的心理學教材《認知心理學：理論、研究和應用》。作者自己說：“答案是不唯一的?！边@讓我對這個案例頗有好感。如果作者說這是唯一正確的答案，我將立刻產(chǎn)生反感，因為從實際情況來看，那個從空中墜落摔在沙漠里的可憐人其實很難用“趴”這個詞的，他應該沒有完整之軀。

好的數(shù)學現(xiàn)象必須是學生能夠理解而且含有數(shù)學核心內(nèi)容的。太深奧、學生不能理解的，不好；太簡單、不能反映數(shù)學價值的，也不好。

（二）學生活動

現(xiàn)象教學中的素材更具現(xiàn)實性，更接近大自然。在內(nèi)容上它含有更多的信息，在形式上它往往沒有明確給出條件，有時也不明確要探究的結(jié)論。必須通過學生的活動賦予其明確的數(shù)學意義，因此學生的思維必須向前延伸一步。除了情境教學中所需要的那些能力外，更需要學生具有數(shù)學表征的能力。即在現(xiàn)實問題中建立起正確的心理表象，再表征為數(shù)學的概念、符號、圖形等。顯然，弗賴登塔爾所說的“數(shù)學化”的意識和能力在這里全部可以用上，還要另外多出一個信息選擇的能力。信息選擇的過程，是情境教學中所沒有的，因此還不為我們所熟悉，但它是學生數(shù)學活動非常重要的環(huán)節(jié)。信息的選擇既決定于學生頭腦中的意義建構(gòu)，也決定了他們將建立的心理表象，因此也是其后一切活動的基礎，應當特別地引起我們的關(guān)注。

比如，對于“y=1”，在學生建構(gòu)起它的數(shù)學意義之前，它還不是數(shù)學現(xiàn)象，僅僅是一個字符串（這與文盲看待它的感覺沒有區(qū)別）。如果甲學生說“函數(shù)y=1”，乙學生說“方程y=1”，丙學生說“直線y=1”，則他們看到的就是截然不同的數(shù)學現(xiàn)象。而如果前面的“函數(shù)”“方程”“直線”這些字眼是教師讀題時加進去的，則學生“活動”的價值就被消解了。更進一步的，如果教師讀出“常函數(shù)y=1”這樣的句子，基本上這個素材就廢掉了。在我看來，它已經(jīng)失去了作為現(xiàn)象教學素材的資格。

教師給學生呈現(xiàn)什么樣的學習材料、怎樣呈現(xiàn)，都應該考慮到教學目標，尤其要考慮學生的數(shù)學現(xiàn)實。奧蘇伯爾曾經(jīng)說過：“老師最重要的工作就是要弄清學生已經(jīng)知道了什么?！边@一點在現(xiàn)象教學中顯得尤其重要。因為，從現(xiàn)實到數(shù)學的轉(zhuǎn)換，其間的自由度實在是太大了。

這里還要特別提醒的是，教師眼里的數(shù)學現(xiàn)象和學生眼里的數(shù)學現(xiàn)象是不同的。作為教師選定的教學素材，教師的頭腦里已經(jīng)有了對其現(xiàn)象的意義建構(gòu)，所以看起來它“就是個數(shù)學題”。但是學生不一樣，他們的頭腦里還沒有那樣的意義建構(gòu)，因此他們看不出那是什么，更看不出其背后有什么。而從現(xiàn)實到數(shù)學的意義建構(gòu)恰恰又是現(xiàn)象教學區(qū)別于情境教學以及以往所有教學的主要方面，因此教師必須有準備、有耐心地等待學生完成意義建構(gòu)，有時這個過程比較漫長，或者多有曲折。

不妨換位思考一下。在對y=1的認識上我們優(yōu)于學生，那么當我們看到n=1的時候，想到了什么？是不是和學生一樣，想到了一個字母被賦值為1？我相信是的，因為我們已經(jīng)習慣于n=1，2，3，…這樣的說法。但是，如果有另一群人，他們喜歡用（m，n）來表示點的坐標，就像我們喜歡用（x，y）一樣。他們所畫的坐標系是mOn，就像我們習慣的坐標系xOy那樣，則n=1也可以表示一個常函數(shù)。而如果沒有這些解釋，在我們看來，“n=1表示函數(shù)”并不是很自然的。

如果頭腦里有了意義，則識別出某樣東西就很容易；如果頭腦里沒有，則新的建構(gòu)往往需要頓悟。所有的頓悟都是有創(chuàng)新意義的，有時還需要運氣，這里存在多大的困難有時不好估計，有時則根本就無法自主實現(xiàn)這個“頓悟”。所以，在學生活動的時候，教師的鼓勵或適當?shù)狞c撥也是非常重要的。

例如，教學“正方體的平面展開圖”時，可以安排以下學生活動：（1）課前，請每位學生準備一個以紙片粘成的正方體模型；（2）課始，先讓學生在一張紙上畫出正方體；（3）讓學生把正方體模型沿棱剪開，要求既能夠鋪平又不能剪掉任何一個面；（4）讓學生把展開后的圖畫在一張紙上；（5）展示不同學生的作品（展開的實物和畫的圖），讓學生提出問題：要剪開幾條棱，為什么？展開圖的形狀是否唯一？可能有多少種？（6）幫助學生形成答案：需且只需剪開七條棱，一共有十一種展開圖；（7）挑選學生已經(jīng)畫好的圖，實物投影，讓全體學生想象怎樣“恢復”成正方體。

這里，活動（2）很重要，因為最后要形成數(shù)學的能力；如果僅停留在剪紙上，那就是“手工課”而不是數(shù)學課了。活動（3）中的“要求”應盡量由學生提出來；如果學生想把正方體的每一個面都單獨剪開來，教師則需加以提醒。學生在活動（4）中應該有所發(fā)現(xiàn)。學生在活動（6）中可以不完成所有情況。學生在活動（7）中通常興致非常高。

（三）成果體現(xiàn)

學生在自然里追問、思索、發(fā)現(xiàn)、踐行，活動既是手段也是目的。但是，作為專業(yè)的教育必須有效果意識和效率意識，人類數(shù)千年積累的、高度發(fā)達的文明，必須在短時間內(nèi)得到理解和掌握?，F(xiàn)象教學的成果必須體現(xiàn)為規(guī)范化的數(shù)學知識、良好的思維品質(zhì)、正確的情感態(tài)度價值觀，體現(xiàn)為人的素養(yǎng)的全面提升，這樣才可以說它符合人類利益、符合人性。

例如，教學“分數(shù)的大小比較”時，可以呈現(xiàn)如下問題：

問題1 把一塊蛋糕平均切成7份和平均切成9份，哪種切法所得的“一份”更大？

問題2 用兩種方案從一塊蛋糕中取出一部分。甲：平均切成7份，取其中的3份。乙：平均切成9份，取其中的4份。哪個方案取出的蛋糕更多？

問題3 甲：一塊300克的蛋糕平均分成7份，取其中的3份；乙：500克的蛋糕平均分成9份，取其中的2份。那個獲取更多？

這里，問題1很簡單，意在調(diào)用學生的生活經(jīng)驗，體會數(shù)學的真實；表示為17和19的比較后，引入新課。問題2引導學生學會把實際問題用數(shù)學進行表征，寫出37和49并進行比較；知道不能用稱量去比較，而要用數(shù)學的方法，比如化為小數(shù)、通分——即使化成分子相同再比較（聯(lián)想到17和19），也不是不可以。問題3看起來很“實際”，首先要進行的是數(shù)學化，讓它脫離實際背景，用純數(shù)學的手法解決之，才能體現(xiàn)出數(shù)學能力（不僅僅是解這道題的能力）。也只有在情感上接受“這是道純數(shù)學題”，學生才能把注意力集中到規(guī)范的分數(shù)表示的意識、分數(shù)比較的概念和熟練的通分比較的技能上。當學生對這些有了明確意識時，其元認知就形成了，這是最根本的認知。

如果教師開始就把題目寫成“請用通分的方法比較37和49的大小”，就已經(jīng)不是現(xiàn)象教學了。它可以用在技能訓練環(huán)節(jié)，但不能作為最終的教學目標。

再如，教學“怎樣找線段中點”時，可以呈現(xiàn)如下問題，安排如下活動：

問題 我曾遇到一個非常優(yōu)秀的物理老師，他對數(shù)學老師用直尺和圓規(guī)找線段中點的做法很是不屑。說現(xiàn)在我們有尺子了，用尺子量一下就能找到中點了。你怎么看？

活動 在講義上印制一條線段，讓所有同學用“測量”的方法找中點。（1）記錄（原線段長度、線段一半的長度精確到0.1毫米）。（2）回答：知道長度后怎樣把點標出來？（3）仔細檢查鄰座的作圖，看看你是否認可。

結(jié)果學生發(fā)現(xiàn)，他們測量的結(jié)果不一樣，所標的中點多數(shù)也不被鄰座所認可。

問題中物理老師所說的“尺子”，顯然是帶刻度的。用帶有刻度的尺子量出線段的長度再除以2，就可找到中點。他所秉承的是物理思維，依據(jù)的是實驗和經(jīng)驗。這也是我們?nèi)粘Ｐ袨橹械牧晳T方法，如果我做物理實驗，也會這樣操作。問題是從數(shù)學的觀點來看，我量到的那個點真的是中點嗎？如果有人說我量得不準確，我能堅持我的結(jié)果嗎？如果有幾十個人來測量，他們的結(jié)果和我都不一樣，我還保持心理的穩(wěn)定嗎？我能毫不動搖地維護我的結(jié)果嗎？我肯定沒有這樣的自信和勇氣，況且，那個刻度尺也不足以讓我完全信賴，它是否準確、有沒有熱脹冷縮我都不知道。但是，如果我是用尺規(guī)作圖找到的那個中點，我一定能堅持我的結(jié)果，不管誰來質(zhì)疑都不動搖。數(shù)學，使我變得自信而堅定。在生活中、在物理實驗上我可以承認用刻度尺找中點的實用意義，但是在數(shù)學上我只承認用尺規(guī)作圖找到的那個中點，只有它才具有終極的意義。這就是我對尺規(guī)作圖的情感和態(tài)度，也是在這個問題上的價值觀。也可以說，這就是我在數(shù)學上的真理觀。

二、現(xiàn)象教學的評價

現(xiàn)象教學源于自然又走向自然，所以難以有最終的“終端”。它更著眼于活動與體驗，因此所重視的是過程性評價，學生平時在課堂上的發(fā)言、在課外活動中的思索等都是重要的評價指標。即使是那些規(guī)范的數(shù)學知識，也只是過程中的花絮。知識可能被忘記，但一定有某種東西會留下來，這些“留下來的東西”就是現(xiàn)象教學追逐的目標。

例如，教學“空間幾何體”時，可以呈現(xiàn)如下材料，安排如下活動：

材料 1987年美國中學生數(shù)學競賽中有這樣一道題：有一個各條棱長都相等的正四棱錐和一個棱長也等于這個值的正四面體。如果把正四面體的一個面與正四棱錐的一個側(cè)面重合，組合后的多面體有幾個面？命題專家給出的答案是7個（5+4-2=7），參賽的中學生丹尼爾卻說只有5個，被判錯。

活動 你怎么看？

材料 毫無疑問，丹尼爾是對的，專家錯了。丹尼爾并沒有服從專家們的評判。他先是讓爸爸用木頭做了相應的模型，驗證了自己的判斷，接著又給出了嚴格的數(shù)學證明。于是他向組委會提出申訴。專家們經(jīng)過論證，確認丹尼爾是正確的，就向丹尼爾公開道歉和致謝，丹尼爾也成為全美家喻戶曉的人物。

活動 你有什么想法？

在這里，經(jīng)過探究，學生不難發(fā)現(xiàn)與丹尼爾一樣的結(jié)論。而丹尼爾的活動過程可以概括為：直覺判斷—實物驗證—數(shù)學證明—確認真理。我們似乎可以看見丹尼爾的目標和追求，他最終是為了“真理”。丹尼爾并沒有創(chuàng)造出什么了不起的數(shù)學成果，但是在整個過程中所體現(xiàn)的意識、方法、精神，對于這個年齡段的孩子來說，無疑是很寶貴的。這就是我對丹尼爾的數(shù)學活動的評價，重在過程和價值取向，而不是數(shù)學結(jié)論本身。結(jié)論其實無關(guān)緊要，但是丹尼爾引發(fā)的事件卻留在大眾的記憶里，在遇到相同問題的時候便可能以此為模板采取相應的行動——用科學的方法堅持真理、追究真相。這樣的人就是獨立的、舒展的，這樣的社會就是開放的、接納的。如果一種教育能為個人和社會留下這樣的“成果”，就是值得推崇的好的教育?，F(xiàn)象教學正是向著這個方向努力的，而且看起來前途光明。

對于這個材料，你也可以出一個數(shù)學題：“有一個各條棱長都相等的正四棱錐和一個棱長也等于這個值的正四面體，把它們的一個側(cè)面重合。求證：組合后的多面體共有5個面。”這樣的題作為數(shù)學訓練當然非常好，但它已不是數(shù)學現(xiàn)象，因為目標和結(jié)論都已經(jīng)非常明確和固定，學生只把它當作任務來完成就行了。

你也可以先介紹一下問題產(chǎn)生的背景，營造一個有趣的情境。這對喚醒學生的情感、激起他們的學習動機有很大的好處，此后的鞏固知識、訓練技能，效果應當也不錯。這就是情境教學的套路，我們看到，情境基本是過客，學生所思考的是問題而不是情境。

你也可以把它出成一個填空題，或者留一個開放式的設問，讓學生自己探究出結(jié)論，在此以后他們自覺自愿地去加以驗證或論證。如果遇到難以克服的困難，可以找別人合作；如果遇到與別人不一致的觀點，要能辨別真?zhèn)尾⒏矣趫猿帜莻€正確的。這樣仍舊缺少社會現(xiàn)象這一方面的教學價值。

最后，如果你撇開這里的空間關(guān)系、數(shù)學論證等細節(jié)，只用社會學的眼光看“丹尼爾事件”，它就是一個社會學現(xiàn)象了，它也折射出了社會上的人生百態(tài)。丹尼爾是可敬的，組委會的表現(xiàn)同樣令人贊嘆，在他們身上體現(xiàn)了對真理的敬畏，從而留下了這段佳話。雙方所體現(xiàn)出的節(jié)操與品行，對于社會的影響及價值無法估量。還有社會大眾，他們也對丹尼爾以及組委會給出了積極的回應，多家報紙、電視等媒體都對此事進行了全面的報道。小小的數(shù)學題已經(jīng)被升華了。數(shù)學考試出現(xiàn)錯題在世界上并不罕見，中國也曾有過多次（比如1986年那個“沒有高度的棱臺”，2003年那個“沒有原點的坐標軸”等），能把它們當作客觀現(xiàn)象看待，從容大度地進行研究和討論，這也是一種很值得夸耀的現(xiàn)象。

*本文系江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃課題“用數(shù)學現(xiàn)象啟發(fā)問題意識的教學實踐研究”（編號：B-b/2016/02/78）的階段性研究成果。