摘 要：教學“函數(shù)的單調(diào)性”時，應從函數(shù)的基本概念出發(fā)，引導學生將直觀粗略的幾何圖像轉(zhuǎn)化為抽象精細的代數(shù)關系；以“集合—對應”語言為抓手，引導學生將復雜的無限模式轉(zhuǎn)化為簡單的有限模式，從而充分理解函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)。具體可分“分析一次函數(shù)f（x）=kx”“分析二次函數(shù)f（x）=x2”“分析一般函數(shù)”“剖析序關系”四個步驟進行。

關鍵詞：教育數(shù)學 函數(shù)單調(diào)性 “集合—對應”語言

作為中學數(shù)學的核心概念之一，函數(shù)是描述事物變化過程中數(shù)量關系的基本模型，函數(shù)的單調(diào)性是刻畫函數(shù)變化規(guī)律的重要工具。在高中學習“函數(shù)的單調(diào)性”時，學生已經(jīng)有了從家到學?！皟牲c一線”“單調(diào)不變”的生活經(jīng)驗以及一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖像“上升、下降”“單調(diào)變化”的數(shù)學經(jīng)驗，但是缺乏運用文字、符號語言，精確、細致地描述現(xiàn)象，定義概念的能力。

教育數(shù)學認為要“從頭腦中找概念”，就是要基于已有的知識和經(jīng)驗，理解新的知識和經(jīng)驗。在高中，函數(shù)概念是通過“集合—對應”語言來精細定義的。因此，教學“函數(shù)的單調(diào)性”時，教師應從函數(shù)的基本概念出發(fā)，引導學生將直觀粗略的幾何圖像轉(zhuǎn)化為抽象精細的代數(shù)關系；以“集合—對應”語言為抓手，引導學生將復雜的無限模式轉(zhuǎn)化為簡單的有限模式，從而充分理解函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)。

一、教材分析：從物理操作到心理操作

人教版高中數(shù)學教材先給出一次函數(shù)f（x）=x和二次函數(shù)f（x）=x2的圖像，引導學生發(fā)現(xiàn)“上升”“下降”的特征；再列出二次函數(shù)f（x）=x2的對應值表，引導學生明確“隨著x的增大，f（x）增大或減小”；然后利用二次函數(shù)f（x）=x2的解析式，引導學生得到“當x1f（x2）”的描述，從而引出函數(shù)單調(diào)性的定義。

上述教材設計大體上是可取的，但是也具有一定的局限性。具體而言，通過粗略觀察宏觀圖像和具體計算幾個數(shù)值，發(fā)現(xiàn)函數(shù)變化規(guī)律，判斷函數(shù)的性質(zhì)，屬于直觀感知和歸納推理，其結(jié)論不一定可靠。此時，學生還處于物理操作階段，沒有進入心理操作階段，只是經(jīng)驗性地認識了函數(shù)的單調(diào)性，沒有思辨性地領會到函數(shù)的本質(zhì)對單調(diào)性的形成的基礎重要性。因此，需要從對解析式的精細分析中，跨越直觀走向抽象，跨越具體走向一般。

二、教學改進：基于“集合—對應”語言

（一）分析一次函數(shù)f（x）=kx

兩點確定一條直線，即可以用有限個點來表示無限個點，故探求一次函數(shù)f（x）=kx的變化規(guī)律只需取兩點。從“集合—對應”語言出發(fā)，任取x軸上的兩點x1、x2，x1→f（x1）與x2→f（x2）均是一一對應，兩點A（x1，f（x1））、B（x2，f（x2））可以確定一條直線，即這兩點的運動軌跡：直線f（x）=kx。對于斜率kAB=f（x2）-f（x1）x2-x1，若kAB>0，則當x1

因此，對于直線模型，欲判斷其單調(diào)性，只需任取x1、x2∈R：若當x1f（x2），則一次函數(shù)為減函數(shù)。

（二）分析二次函數(shù)f（x）=x2

二次函數(shù)f（x）=x2不再是簡單的直線，而是復雜的曲線。從“集合—對應”語言出發(fā)，對于x軸上的任意兩點x1、x2，經(jīng)過一一對應可以得到f（x1）=x21、f（x2）=x22兩個相應的函數(shù)值，從而得到兩點A（x1，f（x1））、B（x2，f（x2）），這兩點可以確定一條直線。當兩點x1、x2取遍x軸上的所有值時，兩點A、B可以跑遍整條曲線，直線AB可以取遍曲線的所有割線和切線（當兩點重合時，即為切線）。

無論是割線，還是切線，都可以幫助我們從直線的性狀來了解曲線的性狀，即可以把對二次函數(shù)單調(diào)性的探究化歸到對直線性狀的探究。對于斜率kAB=f（x2）-f（x1）x2-x1，當kAB<0時，若x1f（x2），說明直線的變化趨勢在此區(qū)間上一直都是向下的，也就表明二次函數(shù)f（x）=x2在此區(qū)間上的變化趨勢是單調(diào)遞減的；單調(diào)遞增的情況是類似的。

這樣，就得到了二次函數(shù)單調(diào)性的判斷法：對任意x1、x2∈（-∞，0），若x1f（x2），所以f（x）=x2在此區(qū)間上單調(diào)遞減；對任意x1、x2∈（0，+∞），若x1

（三）分析一般函數(shù)

可以發(fā)現(xiàn)，不論是比較簡單的直線模型，還是較為復雜的曲線模型，都可以從“集合-對應”語言出發(fā)，通過分析兩點所確定的直線的變化規(guī)律來探究函數(shù)的單調(diào)性?；诖?，不難想到利用同樣的方法探究一般函數(shù)模型的單調(diào)性，即從直線的角度認識曲線。

以圖1所示函數(shù)的單調(diào)性探究為例，具體步驟如下：（1）找自變量的代表。因為自變量在水平直線上變動，故可用兩點來代替，如圖2所示。（2）從自變量到因變量作對應。給定x軸上的兩個值x1、x2，對應之后得到與之相對應的函數(shù)值f（x1）與f（x2），如圖3所示。（3）作直線。過兩點A（x1，f（x1））、B（x2，f（x2））作直線，如圖4所示。（4）利用直線的性狀研究曲線的性態(tài)。

函數(shù)的單調(diào)性其實說的是自變量的變化與因變量的變化是否同步的問題。自變量在水平軸上變化，對一系列x1

經(jīng)過這樣的處理，如果要定義函數(shù)在某一區(qū)間上的單調(diào)性，進行兩次“簡化”即可。以定義單調(diào)增函數(shù)為例，在區(qū)間（a，b）上對自變量x取定一系列值x1

從更深層次剖析，單調(diào)性乃是序關系的體現(xiàn)，故要從“集合—對應—關聯(lián)”思想入手理解。排序不等式指出，若x1x2y1+x1y2，變形可得（x1-x2）（y1-y2）>0，即y2-y1x2-x1>0。這就是單調(diào)性定義的一種變式表達。因此，函數(shù)的單調(diào)性同時考慮自變量的序和因變量的序，還考慮兩者的關聯(lián)（對應，內(nèi)在邏輯）。這些見解的獲得，均需要對已有知識進行“重認識”和“再建構(gòu)”，對頭腦中獲得的經(jīng)驗進行思辨。

參考文獻：

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[2] 涂榮豹.“教與數(shù)學對應”原理的實踐——對“函數(shù)單調(diào)性”教學設計的思考[J].數(shù)學教育學報，2004（11）.