摘 要：在數(shù)學教學實踐中，學程后總結的存在及意義還未被更多教師發(fā)現(xiàn)和理解。學程后總結不同于終結性總結和學程前總結，是本學程終結與新學程開始之間的一種過渡性總結。其主要作用在于對學程的延伸，從而培養(yǎng)學生可持續(xù)發(fā)展的學力。學程后總結的常用方式有類比式、推理式、懸疑式、猜想式和直白式。

關鍵詞：學程后總結 內涵 方式

學程一般意義上指學習進程?，F(xiàn)代教學把學生和教師都看作主體，強調以學定教。因此，本文所說的學程指基于教程引導的雙主體學習進程。而學程總結是教師基于學生的認知特點，依據(jù)明確的教學目標，對學程進行整體規(guī)劃、設計、實施并引領學生進行總結提升的過程。它比一般意義上的課堂總結所涵蓋的內容更廣，也不同于一般意義上的復習課；它貫穿于教學的全過程之中，體現(xiàn)在教學的雙主體之間。

以時間為序的學程總結在教學中最為常用。它具體可分為學程前總結、學程中總結、學程后總結。其中，學程中總結又包括即時性總結、形成性總結、階段性總結、終結性總結。在數(shù)學教學實踐中，學程后總結的存在及意義還未被更多教師發(fā)現(xiàn)和理解——其或被理解為終結性總結，或被理解為學程前總結。本文主要談學程后總結的內涵與常用方式。

一、什么是學程后總結

學程后總結是本學程終結與新學程開始之間的一種過渡性總結。其目的有二：一是為尋找“新種子”設置懸念，激發(fā)學生進一步探索的欲望；二是為尋找“新種子”預留線索，為學生進一步探索提供適度的幫助?；蛘哒f，其主要作用在于對學程的延伸，這種延伸不僅在知識層面，而且在學習方法、學習意志層面，從而培養(yǎng)學生可持續(xù)發(fā)展的學力。正確理解學程后總結要注意以下幾點：

第一，學程后總結與終結性總結往往是連在一起的，有時幾乎是同時進行的，所以學程后總結往往容易被忽視，被認為是終結性總結。事實上，學程后總結與終結性總結的區(qū)別在于：終結性總結著重強調對本學程的概括、提煉、提升，要有明明確確的成果，一般可以說成是“綜上可得”；而學程后總結重點強調承上啟下，要求在概括、提煉、提升的基礎上引出新話題、新線索，甚至新方法、新成果的端倪，為知識的進一步生長找到“萌芽點”，也就是說“欲知后事如何，且聽下回分解”的味道更濃。

第二，如果與本學程相關的下一學程的學習內容在教材（教學）中緊緊相連的話，那么本學程的學程后總結“幾乎”就是下一學程的學程前總結。但是作為教師，要明白兩者的明顯區(qū)別在于：學程后總結在于引出話題，而學程前總結在于開展研究；前者要求“粗線條”，讓學生有發(fā)散性的思考，后者要求“精細化”，讓學生能快速切題，開展深入研究。如果與本學程相關的下一學程的學習內容在教材（教學）中并不相連，學程后總結仍然重要。我們需要做長程預設，讓學生的思考沒有終點。

二、學程后總結的常用方式

（一）類比式

類比式是指類比相近的知識或方法，引出下一學程的方式。它是最常用的一種學程后總結方式。這種總結方式不但給學生指明了學習方向，同時也給出了具體研究方法。

例如，學完“三角形”后，為了向“四邊形”延伸，我們可以做如下學程后總結：“同學們，我們知道研究幾何圖形總是遵循由簡單到復雜，由特殊到一般的規(guī)律。一開始我們研究了點、線、面、體，然后我們研究了直線、射線、線段、角，接著我們研究了相交線、平行線，現(xiàn)在我們學習了三角形的知識，這個過程就是一個由點到線、由一條線到兩條線、由兩條線到三條線的‘由簡單到復雜’的過程，那么想一想：我們接下來會研究什么圖形呢？”學生自然而然地說出：“接下來我們會研究四邊形。”這種總結方式不僅讓學生知道研究什么圖形，而且讓學生知道為什么研究這個圖形；更重要的是，這種總結方式讓學生將所學的圖形知識織成一個網(wǎng)，四邊形成為這個網(wǎng)絡下自然的延伸，因而不再是一個孤立的知識，而是一個處在結構中的知識。在此基礎上再開啟新學程的學習時，我們就可以直接問學生：“同學們，大家都覺得我們接下來要研究四邊形，那么我們應該如何研究四邊形呢？”這時，學生頭腦中就有了可類比的對象，他們就會想到“類比三角形研究的方法研究四邊形”“從研究特殊的四邊形到研究一般的四邊形”等具有元認識性質的問題。

使用類比式學程后總結時，要注意兩點。一是要揭示本學程已學內容的規(guī)律性。這種規(guī)律性又有兩個層次：一個是抽象層次，一個是具體層次。比如，上述案例中，研究幾何圖形“由簡單到復雜，由特殊到一般”的規(guī)律就屬于抽象層次的規(guī)律，而“這個過程就是一個由點到線、由一條線到兩條線、由兩條線到三條線的‘由簡單到復雜’的過程”就屬于具體層次的規(guī)律。二是要引導學生自主進行規(guī)律的揭示和延伸。在做法上，可讓學生先進行具體描述，再進行抽象提煉。

（二）推理式

推理式是指依據(jù)學科內在的聯(lián)系進行合情推理或演繹推理，通過知識或方法之間內在的邏輯關系，引導學生推斷下一學程即將且必須研究的內容的方式。

例如，學完相反數(shù)的定義（“只有符號不同的兩個數(shù)叫作互為相反數(shù)”）后，我們可以引導學生分析這句話的含義。首先讓學生明白相反數(shù)的定義揭示了相反數(shù)的外在特征是“符號不同”，其次讓學生思考“只有符號不同”是不是隱含了什么。在這樣的分析下，學生就會產生“相反數(shù)中難道還有什么相同的東西”的想法。這樣，就為下一學程“絕對值”的生長找到了“萌芽點”。這就是演繹推理的總結方式。

再如，學完“一元一次方程”后，我們可以做如下學程后總結：“同學們，本章我們學習了一元一次方程，知道了‘元’是未知數(shù)，‘次’是未知項的次數(shù)，‘一元’是指一個未知數(shù)，‘一次’是指未知項的次數(shù)為一。如果接下來還需要研究方程的話，我們會如何研究呢？”學生就會從元和次兩個角度進行由簡單到復雜的思考，想出后續(xù)可能要研究的二元一次方程、一元二次方程，直至n元n次方程。我們可以接著問：“你覺得我們應該先研究哪一個呢？”這時，學生的回答就會沿兩個思路走：一個是增加未知數(shù)的個數(shù)，研究“二元一次方程”；另一個是增加未知數(shù)的次數(shù)，研究“一元二次方程”。如果再問下去，那么“消元”“降次”的思想也會自然而然地出來。這就是合情推理的總結方式。

使用推理式學程后總結時，要注意以下三點：一是采用演繹推理時要找準知識內在的邏輯生長點，正如“只有符號不同”必然隱含“存在某種相同”一樣，這種推理是一種必然關系；二是采用合情推理時要結合學生的認知經驗，比如“由簡單到復雜”就是學生最基本的認知經驗；三是在具體操作過程中要盡量區(qū)分是演繹推理還是合情推理，因為有時候這兩種推理是交織在一起的。

比如，平方根知識的生長點是乘方運算。學完“乘方”后，我們可以做如下學程后總結：“同學們，我們知道加法運算有逆運算——減法，乘法運算也有逆運算——除法，那么，學完乘方運算后，我們將會產生怎樣的問題呢？”學生自然而然會想到“乘方運算有沒有逆運算呢”“如何研究乘方運算的逆運算呢”“是不是所有的運算（關系）都有逆運算（逆關系）呢”等問題。第一個問題猜想乘方運算也有逆運算是合情推理，第二個問題研究乘方運算的逆運算時所采用的窮舉法（乘方運算的逆運算有兩種情況，一個是開方，一個是對數(shù)）則是演繹推理，而第三個問題的產生則說明學生已經初步產生認識方法上的辯證思維，為后續(xù)學習函數(shù)與反函數(shù)找到了“萌芽點”。

（三）懸疑式

懸疑式是指設計利用本學程的知識能解決但不能徹底解決的問題，引發(fā)學生的認知沖突，產生新的疑問并造成一種急切想要弄明白的心向的方式。這種學程后總結方式能促進學生對本學程的深入思考，激發(fā)學生對新學程的探究欲望，在長程的思考中強化知識的聯(lián)系，加深對知識的理解，形成綜合的能力，有時甚至會引發(fā)學生的創(chuàng)造性思維。

例如，學完概率知識后，我們可以設計這樣一個問題來進行學程后總結：“同學們，老師覺得我們班60名同學中一定有2名同學的生日在同一天，你們信不信？”當然，會有學生對這個結論表示懷疑，因為他們一般會按照抽屜原理進行分析：一年有365天或366天，要想有兩人的生日在同一天，至少有366個或367個人。這時，我們可讓學生通過事實進行驗證。等驗證后發(fā)現(xiàn)教師的結論竟然是正確的，學生就會對已有的認知產生懷疑，從而迫切地想要知道原因。這時，我們可留懸念：“想要知道為什么，等學了高中概率中的乘法原理就明白了?！币恍W生就會主動去了解乘法原理、大概率事件、小概率事件等知識。

再如，學完三角形高、中線、角平分線的知識后，我們可以設計如下問題來進行學程后總結：“同學們，通過學習我們知道三角形三條高、中線、角平分線所在的直線能交于一點，那么你們知道它們?yōu)槭裁茨芙挥谝稽c嗎？”當然，此時學生是沒辦法完全解決這些問題的，但是我們可以提醒學生：“等學了勾股定理、函數(shù)、相似三角形和解直角三角形的相關知識后，我們就可以從代數(shù)或幾何的角度進行證明了?！庇纱俗寣W生產生學習的欲望，帶著思考進入后續(xù)的學習。

使用懸疑式學程后總結時，要強調以下兩點：一是要巧妙激疑，即設計的問題要能激發(fā)學生的興趣和強烈的好奇心，讓學生產生“應該是這樣，可就是講不清理由”或者“不應該是這樣，可為什么會這樣的”的欲答不能、欲罷不忍的感覺；二是要“開而弗達”，即學生的欲望被激發(fā)出來后，要進行適度的方向性引導，讓學生有思考和努力的方向，但是不要一步到位，讓學生保持持久的動力或疑惑。這也是學程總結長程預設的要求。

（四）猜想式（發(fā)散式）

猜想式是指當兩個學程之間存在隱隱約約、不夠明了的關系時，讓學生根據(jù)已有認知或直覺進行猜想，猜測下一學程可能有哪些內容與本學程相關的方式。

例如，學完“平面直角坐標系”和“二元一次方程組”后，我們可以做如下學程后總結：“同學們，本章我們學過了二元一次方程和二元一次方程組，前面一章我們學過了平面直角坐標系，你能找到這兩章之間的聯(lián)系嗎？”如果學生反應不過來，可以再進行以下啟發(fā)：“二元一次方程有兩個未知數(shù)，平面直角坐標系中的點有兩個坐標，如果我們將二元一次方程的解x的值看成橫坐標，y的值看成縱坐標的話，將所有這些點都在平面直角坐標系內描出來會得到什么圖形呢？”“二元一次方程有無數(shù)個解，二元一次方程組卻有唯一解，又是什么原因呢？”這樣的學程后總結會讓愛思考的學生提前接觸到數(shù)形結合思想，為后續(xù)學習函數(shù)、函數(shù)與方程的關系作鋪墊。筆者認為，人教版教材把這兩個章節(jié)一前一后安排，可能也有這樣的考量。

使用猜想式學程后總結時，要注意以下三點：一是要讓學生盡可能地想，不預設目標，有一定的合理性即可；二是在學生無法展開猜想時要提供必要的引導；三是鼓勵學生對所做的猜想進行驗證。

比如，上面的例子中，學生完全可以列出一個二元一次方程，如2x+3y=4，寫出它的若干個解，描成點，再觀察會形成什么圖形；然后再列出一個二元一次方程，如x-3y=2，用同樣的方法，得到并觀察形成什么圖形。最終，學生就會發(fā)現(xiàn)二元一次方程組2x+3y=4，

x-3y=2有唯一的解原因居然是兩條直線相交時只有一個交點，從而真正將數(shù)和形結合起來。這樣的學程后總結是提前教學后面的內容嗎？不是！這里只是通過特例引一個方向，讓學生對學程的走向有一個初步的了解，具體的知識還是要按進度來教學。

（五）直白式

直白式是指直接告訴學生后續(xù)的研究方向、方法、目標，引發(fā)學生思考的方式。它是最無可奈何時采用的一種學程后總結方式，一般用于以下三種情況：一是兩個相對來說比較獨立的學程之間；二是憑學生的已有認知無法建立聯(lián)系的兩個學程之間；三是教師暫時無法找出合適聯(lián)系的兩個學程之間。對于這些情況，在本學程結束時就明確告知學生下面將學習什么內容，與曾經學習過的哪些知識相關，用什么方法進行研究，讓學生做到心中有數(shù)，早做準備。

*本文系江蘇省教育科學“十二五”規(guī)劃重點資助課題“中學數(shù)學學程總結技藝研究”（編號：B-a/2013/02/004）的階段性研究成果。

參考文獻：

[1] 徐小建，李庾南.淺談中學數(shù)學學程總結技藝——兼談以時間為序的學程總結[J].中國數(shù)學教育（初中版），2013（10）.

[2]徐小建.終結性復習課的總結技藝：“三多”與“三少”[J].中學數(shù)學教學參考（中旬），2014（6）.