摘 要：《向量的數(shù)量積》第一課時(shí)的教學(xué)，可以設(shè)計(jì)“回顧舊知”“引入新知”“認(rèn)識(shí)向量的夾角”“認(rèn)識(shí)向量數(shù)量積的定義”“認(rèn)識(shí)向量數(shù)量積的幾何意義”“認(rèn)識(shí)向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)”等環(huán)節(jié)。教學(xué)時(shí)，要注意通過(guò)對(duì)力做功表達(dá)式的抽象和實(shí)數(shù)乘法的類比等方式，突出主體建構(gòu)，并做到“知識(shí)適度”“思想高度”和“文化厚度”。

關(guān)鍵詞：向量數(shù)量積 教學(xué)設(shè)計(jì) 建構(gòu) “三度”

“向量的數(shù)量積”是滬教版高中數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)第8章《平面向量的坐標(biāo)表示》第2節(jié)的內(nèi)容。作為一種新的向量運(yùn)算，向量的數(shù)量積應(yīng)用十分廣泛，對(duì)于學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)十分重要。

在最近的一次教研活動(dòng)中，筆者借上海市莘莊中學(xué)（閔行區(qū)重點(diǎn)中學(xué)）的一個(gè)班執(zhí)教了這節(jié)內(nèi)容的第一課時(shí)（內(nèi)容主要包括“向量的夾角”“向量數(shù)量積的定義”“向量數(shù)量積的幾何意義”“向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)”）。課上，筆者突出了主體建構(gòu)，落實(shí)了教學(xué)“三度”，取得了不錯(cuò)的效果。下面，呈現(xiàn)具體的教學(xué)過(guò)程，并談?wù)劰P者的教學(xué)感悟。

一、教學(xué)過(guò)程

（一）課前準(zhǔn)備

教師把導(dǎo)學(xué)案發(fā)給學(xué)生，讓學(xué)生熟悉一下，然后說(shuō)道：“同學(xué)們好！我來(lái)到上海教的第一屆學(xué)生就是莘莊中學(xué)高二（2）班，所以對(duì)高二（2）班很有感情。當(dāng)年那屆學(xué)生高考達(dá)到市重點(diǎn)均分，相信你們會(huì)超越他們！”

[設(shè)計(jì)意圖：因?yàn)槭墙璋嗌险n，所以課前先讓學(xué)生熟悉一下內(nèi)容，并和學(xué)生聯(lián)絡(luò)一下感情。]

（二）回顧舊識(shí)

教師出示并復(fù)述導(dǎo)學(xué)案中的“回顧舊知”內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)。

回顧舊知 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，將a的起點(diǎn)置于坐標(biāo)原點(diǎn)O，作向量OA=

a，我們將OA叫作a的位置向量。

如圖2，位置向量OA

一一對(duì)應(yīng)

點(diǎn)的坐標(biāo)A（x，y），OA=OM+ON=xi

+yj=（x，y）。

然后，教師出示并敘述如下兩首打油詩(shī)，總結(jié)向量的坐標(biāo)表示與坐標(biāo)運(yùn)算。

向量本自由，不羈到處溜；一旦坐標(biāo)化，立馬回源頭。

向量坐標(biāo)，動(dòng)中不動(dòng)以數(shù)馭形；悟空百變，騰云駕霧不出佛手！

[設(shè)計(jì)意圖：打油詩(shī)的基本意思是，引入坐標(biāo)可以讓每個(gè)自由移動(dòng)的向量對(duì)應(yīng)唯一固定不動(dòng)的數(shù)對(duì)，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決；引申意思是，數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，就像孫悟空，但是每位同學(xué)都能掌握它，就像如來(lái)佛。由此，既對(duì)知識(shí)進(jìn)行總結(jié)，又對(duì)學(xué)生進(jìn)行鼓勵(lì)。]

（三）引入新知

教師說(shuō)道：“前面學(xué)習(xí)了向量的加減運(yùn)算，今天我們將學(xué)習(xí)向量的另一種運(yùn)算?！比缓蟪鍪緦?dǎo)學(xué)案中的問(wèn)題1。學(xué)生完成后，教師指名口答。

問(wèn)題1 如圖3，如果一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，

F與s的夾角是θ，那么力F所做的功W= 。

這個(gè)公式有什么特點(diǎn)？請(qǐng)完成下列填空：W（功）是 量，F(xiàn)（力）是 量，

s（位移）是 量。

教師說(shuō)道：“很好！去掉物理背景，抽象成一般向量，可以得到什么？”然后出示導(dǎo)學(xué)案中的問(wèn)題2。學(xué)生完成后，教師指名口答。

問(wèn)題2 把力做功的式子抽象到兩個(gè)非零向量a與b中，可以得到 。

[設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)力做功提出問(wèn)題，引出式子|a||b|cos θ，自然合理，揭示了物理量的數(shù)學(xué)本質(zhì)，易于學(xué)生理解。]

（四）認(rèn)識(shí)向量的夾角

教師問(wèn)道：“這里的θ是什么？”學(xué)生回答后，教師出示導(dǎo)學(xué)案中的問(wèn)題3。學(xué)生完成后，教師指名展示、口答。

問(wèn)題3 向量a（OA）與b（OB）的夾角θ有哪些情況？請(qǐng)?jiān)谙旅娴目瞻滋幃嫵觥?/p>

向量a（OA）與b（OB）的夾角θ就是 ，它的取值范圍是 。

教師出示導(dǎo)學(xué)案中的練習(xí)1，引導(dǎo)學(xué)生完成。

練習(xí)1 如圖4，說(shuō)出圖中兩個(gè)向量所成角的大小。

[設(shè)計(jì)意圖：由式子|a||b|cos θ自然引出向量的夾角。問(wèn)題3讓學(xué)生動(dòng)手畫圖，體驗(yàn)各種情況下向量所成的角，有助于學(xué)生正確理解、準(zhǔn)確判斷向量的夾角，減少相關(guān)錯(cuò)誤。練習(xí)1的目的是讓學(xué)生及時(shí)鞏固所學(xué)。]

（五）認(rèn)識(shí)向量數(shù)量積的定義

教師說(shuō)道：“我們把|a||b|cos θ叫作向量a與b的數(shù)量積，記作

a·b?！比缓蟪鍪緦?dǎo)學(xué)案中的問(wèn)題4，引導(dǎo)學(xué)生看教材來(lái)完成。

問(wèn)題4 向量數(shù)量積的定義：

（符號(hào)表述） ；

（文字表述） 。

教師強(qiáng)調(diào)：“符號(hào)a·b不能寫作ab或a×b，但是

a·a可以寫作a2，顯然它等于|a|2?！比缓蟪鍪緦?dǎo)學(xué)案中的例1，引導(dǎo)學(xué)生完成。學(xué)生在完成的過(guò)程中注意到后兩個(gè)向量的夾角需要經(jīng)過(guò)平移才能得到。

例1 （教材P60）如圖5，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，求AB·AC和AB·BC。

[設(shè)計(jì)意圖：由式子|a||b|cos θ自然引出向量的數(shù)量積。問(wèn)題4讓學(xué)生復(fù)述數(shù)量積的定義，強(qiáng)化學(xué)生的記憶。例1是教材例題，難度不大，意在鞏固數(shù)量積的定義。]

（六）認(rèn)識(shí)向量數(shù)量積的幾何意義

教師說(shuō)道：“為了認(rèn)識(shí)向量數(shù)量積的幾何意義，我們先要了解投影的概念?！?然后出示導(dǎo)學(xué)案中的問(wèn)題5。學(xué)生完成后，教師指名口答，并進(jìn)行評(píng)價(jià)，引導(dǎo)糾正。

問(wèn)題5 如圖6，|a|cos θ和|b|cos θ的幾何意義分別是什么？

我們把|a|

cos θ叫作向量a在向量b方向上的投影，把|b|cos θ叫作向量

b在向量a方向上的投影。投影是 量，不是 量，因而其值可以是如圖7，請(qǐng)?jiān)诳崭裉幪钌线m當(dāng)?shù)姆?hào)或式子：

由此可知：a⊥b的充要條件是 ；a∥b的充要條件是

。

向量數(shù)量積a·b=|a||b|cos θ的幾何意義的文字表述是

。

教師說(shuō)道：“語(yǔ)言表達(dá)有點(diǎn)兒拗口，但能幫助我們深刻理解其意義。”然后出示并敘述如下打油詩(shī)，總結(jié)向量數(shù)量積的定義與幾何意義。

向量?jī)?nèi)積是數(shù)量，一量投影另量上；銳正鈍負(fù)直角零，熟練變形能力強(qiáng)。

教師出示導(dǎo)學(xué)案中的練習(xí)2，引導(dǎo)學(xué)生完成。學(xué)生利用定義計(jì)算，發(fā)現(xiàn)前幾項(xiàng)的結(jié)果都是1；經(jīng)過(guò)思考，發(fā)現(xiàn)利用幾何意義可以很快得到所有項(xiàng)的結(jié)果都是1。

[設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}5讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)量積的幾何意義，加深對(duì)數(shù)量積定義的理解。練習(xí)2是一道自編題，意在說(shuō)明有時(shí)用定義求數(shù)量積比較麻煩，而用幾何意義求數(shù)量積會(huì)比較簡(jiǎn)單。]

（七）認(rèn)識(shí)向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)

教師說(shuō)道：“對(duì)于一個(gè)新的運(yùn)算，引入定義之后，通常需要研究其性質(zhì)，即運(yùn)算律。向量的數(shù)量積形式上類似于實(shí)數(shù)的乘法，我們可以類比研究?！比缓蟪鍪緦?dǎo)學(xué)案中的問(wèn)題6。學(xué)生完成后，教師組織集體匯報(bào)，并給出證明或舉出反例。

問(wèn)題6 如表1，類比實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算性質(zhì)得到的向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)是否成立？

前6個(gè)結(jié)論的論證或反駁比較簡(jiǎn)單，學(xué)生能夠完成。第7個(gè)結(jié)論的論證有些困難，教師指出利用幾何方法比較麻煩，其關(guān)鍵是說(shuō)明向量b、c在向量a方向上的投影之和等于向量b+c在向量a方向上的投影（如圖9）；并指出下節(jié)課學(xué)習(xí)“向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算”之后，利用代數(shù)方法證明比較簡(jiǎn)單。

[設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比思想猜想向量數(shù)量積的運(yùn)算律，并加以論證或反駁，從而在加深理解的同時(shí)認(rèn)識(shí)向量數(shù)量積與實(shí)數(shù)乘法的區(qū)別與聯(lián)系，預(yù)防初學(xué)者容易犯的負(fù)遷移錯(cuò)誤，并學(xué)會(huì)從邏輯角度判斷正誤的基本方法，體會(huì)定義的重要性。這樣體現(xiàn)了學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程，比先講運(yùn)算律，再做判斷正誤的練習(xí)更好。分配律的幾何證法有一定的難度，尤其是對(duì)莘莊中學(xué)的學(xué)生而言。這里不要求學(xué)生掌握其證明，只要求學(xué)生了解其思路。]

然后出示導(dǎo)學(xué)案中的例2及變式、類比，引導(dǎo)學(xué)生完成。

例2 求證：（a-b）2=a2-2a·b+b2。

變式 如圖10，在三角形ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，由BC2=（AC-AB）2可以發(fā)現(xiàn)什么？

（八）課堂小結(jié)

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧、整理向量數(shù)量積的定義、幾何意義、運(yùn)算性質(zhì)及其與實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算性質(zhì)的異同，然后出示并敘述如下打油詩(shī)，總結(jié)全課。

內(nèi)積源于功，去表抽象揭本質(zhì)；公式變化多，應(yīng)用廣泛顯神通。

二、教學(xué)感悟

（一）突出主體建構(gòu)

數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)要突出知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程，使學(xué)生透徹理解知識(shí)，為以后學(xué)習(xí)打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)還要突出學(xué)生的主體地位，注意讓學(xué)生自己探索、嘗試、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造，在原有知識(shí)的基礎(chǔ)上同化、順應(yīng)新的知識(shí)，形成新的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并對(duì)學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)和糾正。

向量數(shù)量積的定義式有明顯的物理背景和幾何意義。教師可以通過(guò)學(xué)生熟悉的力做功的表達(dá)式，引導(dǎo)學(xué)生抽象得到向量數(shù)量積的定義式，然后探究其幾何意義，加深理解。其中，向量的夾角本質(zhì)上是射線的夾角，容易和學(xué)生學(xué)過(guò)的其他角混淆，在教學(xué)中要花時(shí)間讓學(xué)生畫圖，以加深印象。

向量的數(shù)量積和實(shí)數(shù)的乘法比較類似，它們的運(yùn)算性質(zhì)既有相同點(diǎn)，也有不同點(diǎn)。為了促進(jìn)理解，預(yù)防負(fù)遷移，教師可以采取與實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算性質(zhì)類比的方法，引導(dǎo)學(xué)生猜想向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，然后逐個(gè)論證或反駁（注意充分利用數(shù)形結(jié)合方法，對(duì)兩個(gè)向量同向、反向、垂直等特殊情況進(jìn)行討論）。

（二）落實(shí)教學(xué)“三度”

提高數(shù)學(xué)教學(xué)的品位，要做到“三度”（知識(shí)適度、思想高度和文化厚度），就是要讓學(xué)生在學(xué)到適當(dāng)數(shù)量和難度的數(shù)學(xué)知識(shí)（技能）的同時(shí)，領(lǐng)悟到相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，感受到相應(yīng)的數(shù)學(xué)文化，從而既加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，又提升思想境界和文化修養(yǎng)。

本節(jié)課中，通過(guò)力做功的表達(dá)式抽象出向量數(shù)量積的定義式，體現(xiàn)了從特殊到一般的歸納思想；根據(jù)實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算性質(zhì)猜想向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，體現(xiàn)了由此及彼的類比思想；利用向量數(shù)量積的定義式論證或反駁向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，則體現(xiàn)了從一般到特殊的演繹思想。當(dāng)然，數(shù)形結(jié)合也是本節(jié)課的重要數(shù)學(xué)思想之一：向量是數(shù)與形的紐帶，數(shù)量積在代數(shù)和幾何領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。

本節(jié)課中，通過(guò)類比的方法得到向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，體現(xiàn)了直覺之美；對(duì)向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)的論證與反駁，體現(xiàn)了邏輯之美；利用向量數(shù)量積運(yùn)算公式簡(jiǎn)捷地證明余弦定理，體現(xiàn)了奇異之美；展示數(shù)形轉(zhuǎn)化，則體現(xiàn)了和諧之美。此外，多處運(yùn)用打油詩(shī)總結(jié)所學(xué)知識(shí)，不僅體現(xiàn)了語(yǔ)言之美，更重要的是使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解上升到了更高的層面；課前與學(xué)生的寒暄、課上對(duì)學(xué)生的鼓勵(lì)等都表現(xiàn)出對(duì)學(xué)生的人文關(guān)懷，散發(fā)著情感的溫度。