楊鵬飛，張學良，權(quán) 諾，侯曉丹

(太原科技大學機械工程學院，太原030024)

包含柔順桿連接的柔順機構(gòu)有很多潛在的優(yōu)點，與傳統(tǒng)的機構(gòu)相比，它積極地利用構(gòu)件自身的變形來傳遞運動、力和能量，具有減少構(gòu)件數(shù)量，節(jié)約裝配時間、簡化加工程序、避免摩擦和噪音等優(yōu)點[1]。目前對柔順桿的分析更多的集中在對等截面柔順桿的簡化和精確分析中，文獻[2]應用橢圓積分方法來計算柔順桿受力和位移、角度之間的關(guān)系，但其方法復雜 、計算難度大，且只能表示桿的末端運動情況。在柔順機構(gòu)的簡化分析中，HOWELL[3-5]、SU[6]、馮忠磊[7]等分別提出了1R、3R和2R偽剛體模型，在柔順桿的分析中各有優(yōu)劣，但其誤差較大，適合于柔順桿的簡化分析。Howell, Midha等[8-9]在對構(gòu)件分類時，提出段的直觀概念，將構(gòu)件由于橫截面的不同區(qū)分為若干段，并分析了柔順桿的段與段的自由度、以及段間的連接類型情況，提出了一個柔順段的劃分及柔順機構(gòu)自由度計算的標準。對于分析柔順機構(gòu)時使用的Adams方法，王英慧等[10，11]進行了研究。L.Saggere等[12]提出了一種數(shù)值方法對柔順桿進行分析，如圖1，針對末端受力F和同向力矩M0的柔順桿，將其用多個剛桿和剛度為EI/L的扭簧相連接的等長小段模型來代替(Model of curved beam using torsional springs and rigid elements簡稱T-S模型)，然后對各段之間的受力參數(shù)進行擬合，進而達到近似計算桿末端以及桿各部位變形情況的目的，但是其擬合難度較大，計算過程中需同時滿足運動學和靜力學平衡約束，導致當分段數(shù)較大時，其計算速度變得很慢，文中用此方法通過桿末端的位移和角度變化來反向設計柔順桿。綜上所述，當前對桿狀柔順機構(gòu)的研究包括應用橢圓積分對其末端運動情況的研究、應用偽剛體方法對其末端運動狀況的近似研究等，而此類方法并不能精確得出柔順桿受力和力矩后各部分的應變能、變形、受力等情況。

本文對T-S模型進行了改進，由一系列的剛性桿和剛度為EI/L的扭簧來等效替代柔順桿，進而對其進行大變形分析。將其對桿的分段方法由T-S模型中按桿長平均分段化為了按末端轉(zhuǎn)角分段，每段桿相對于上一段桿的相對轉(zhuǎn)角為固定值，得出了一種新的t-s模型(Model of curved beam using torsional springs and rigid elements which devided by angle, 簡稱A-T-S模型)，如圖2.根據(jù)相對轉(zhuǎn)角固定推出了相鄰兩桿的長度之間的關(guān)系，再利用桿右邊界所受力矩為集中力矩M0的邊界條件，通過數(shù)值搜索得出合適的桿長組合，進而得出桿末端轉(zhuǎn)角和所受力之間互相計算的方法。最后與橢圓積分算法進行了對比，驗證了此方法的可行性,從而為柔順桿的分析及設計提供了一種新的思路和方法。

圖1 末端受力柔順桿及其T-S模型
Fig.1 The compliant bar with tip load and its T-S model

1 A-T-S模型

如圖2(a)所示，研究對象為末端受到集中力和同向力矩的均質(zhì)柔順桿，其桿長為L0，桿的彈性模量為E，慣性矩為I.桿受到縱向力P，橫向力n×P和末端力矩M0后變形情況如圖中實線所示，變形前桿位置如圖中虛線所示。受力后末端轉(zhuǎn)角為θ°，右端點的橫向坐標為a，縱向坐標為b，所受力矩M0和力P的關(guān)系為M0=P*K1*L0,(K1用以表示末端受力和力矩對桿變形的貢獻率[7])。

分析模型如圖2(b)所示，將柔順桿設為多個剛桿和扭簧的組合，利用T-S模型，設第i段的扭簧剛度為W=E*I/Li，其中E為桿彈性模量，I為桿的慣性矩，Li為第i段的長度。對T-S模型進行了改變，每段桿長不再相等，而是假設每一段相對上一段的相對扭轉(zhuǎn)角度都一樣。每段的左端點所受的力矩分別用Mi來表示，則第一段在復合力F的作用下扭轉(zhuǎn)角度為Φ，于是對第一段有等式(1)：

圖2 自由端受力的柔性梁及其A-T-S模型
Fig.2Acompliantbeamwithatiploadandasamedirectionmomentwithit’sA-T-Smodel

(1)

同理對第2、…和第i、m段有等式(2)：

(2)

…

(3)

…

(4)

相鄰兩段之間的力矩差為：

M1-M2=P×L1×cosΦ1+nP×L1×sinΦ1

(5)

…

Mi-1-Mi=P×Li-1×cosΦi-1+

nP×Li-1×sinΦi-1

式中，M為FFT點數(shù)，l=Round(2NMvΔfTr/c)，繼續(xù)對s(i)作FFT后歸一化取模，可得

(6)

…

Mm-1-Mm=P×Lm-1×cosΦm-1+nP×Lm-1×sinΦm

(7)

連列式(1)- (7)得：

(8)

…

(9)

…

(10)

于是當分段數(shù)趨于無窮時各桿長L之和滿足：

(11)

根據(jù)邊界條件，桿最末端所受力矩為M0，于是當分段數(shù)趨于無窮時有：

nP×Li×sinΦi)-M0=0

(12)

其中Φi=Φ×i

(13)

于是由式(1)、式(7)-(12)可得到一個n+2元非線性方程組。當已知末端轉(zhuǎn)角和末端對上面所得的方程組求解，得到其滿足精度的解即可得到每小段桿的長度和末端受力P的值，進而可得到桿各個部分的位移、變形和儲能狀況以及各部分所受力的大小。

2 模型求解

2.1 目標函數(shù)及約束定義

nP×Li×sinΦi)-M0|

(14)

s.tLi=

(i=2、3…m)

(15)

(16)

(17)

2.2 求解流程

3 算例驗證

3.1 末端軌跡誤差分析

當用A-T-S方法獲得了最佳桿長度向量之后，桿末端的軌跡可以用累加得到，公式如下：

(18)

(19)

取一參數(shù)已知的桿為研究對象，其幾何和物理參數(shù)如下：各材料均為柔性鋼梁，其彈性模量E=30×106 N/cm2,長L0=20 cm，寬w=1.25 cm以及高h=1/32 cm，即慣性矩I=3.28×10-6cm4，橫縱方向受力比為1，在末端轉(zhuǎn)角不同時，對末端軌跡和末端受力進行計算，橢圓積分和A-T-S方法的比較結(jié)果如圖4.

如圖4(a)所示，隨著分段數(shù)的增加，A-T-S方法對末端位移計算所得的結(jié)果越來越接近于傳統(tǒng)橢圓積分的計算結(jié)果。

定義偽剛體模型末端變形位置與柔順桿的末端變形位置的距離和柔順桿原長L0之比為相對變形誤差e來衡量偽剛體模型對柔順桿的模擬效果。相對變形誤差公式為[7]:

(20)

圖3 模型求解流程圖
Fig.3 The flow chart of the model’s solution process

于是得出圖4(b),由圖可得，當分段數(shù)為10 000時，在末端轉(zhuǎn)角不大于134°(此受力下極值角135°)，桿長和力F近似誤差限定在10-5時，最大相對變形誤差e小于0.1%，末端力F的相對計算誤差小于0.5%.而當分段數(shù)為100 000時，經(jīng)計算得，最大變形誤差e小于0.03%，力F相對計算誤差小于0.07%，且其誤差隨著分段數(shù)的增加而不斷減小。

3.2 大變形柔順桿的應變能分布情況

對末端受力矩的大變形柔順桿，其每一段的應變能可用下式計算：

(21)

其中Wi為第i段的扭簧剛度。

于是對上述大變形柔順桿，當其末端轉(zhuǎn)角為90°時，利用公式(20)及利用A-T-S方法累加，輸出了其應變能沿著桿長位置的變化情況如圖5所示：

由圖5可得，變形能隨著桿長的增大，逐步變大，但其趨勢越來越平緩，這是由于越接近右端，力對桿的力矩越小的原因，在此情況下計算得桿的總變形能為8.44 N·cm.

圖4 A-T-S方法和橢圓積分的誤差對比
Fig.4 Comparison of the error about A-T-S model and elliptical method

圖5 末端受力的柔順桿變形能分布情況
Fig.5 Deformation energy’s distribution of the compliantlink with tip load

4 結(jié) 論

本文將鏈式算法和t-s模型相結(jié)合，提出了A-T-S方法，為柔順桿的大變形分析提供了一種新的思路。該方法不僅可以計算大變形柔順桿的末端位移和受力，還可以對柔順桿受力后的變形情況、應變能的分布情況進行表示。它對桿末端位置、轉(zhuǎn)角和受力計算的誤差隨著桿長分段數(shù)的增大而逐漸變小，在實際應用中可根據(jù)問題的精度要求適當選擇分段數(shù)，進而達到速度和精度的平衡。由于通過此方法可以得到每一個小段所受拉力的情況，進而可以通過引入胡克定律，得到柔順桿受力后的軸向拉伸變形，使得柔順桿的力學分析更加精確，從而更適于實際應用。

參考文獻：

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