夏桂梅，張 丹，趙晉彬

(太原科技大學應用科學學院，太原 030024)

MIMIC算法是一種依賴于解空間分布，具有較強全局搜索能力的分布估計算法， Rosenbrock算法是一種局部求精能力強的的優(yōu)化算法。本文將MIMIC算法與Rosenbrock算法相結合，提出一種結合Rosenbrock算法的混合MIMIC算法——Rb-MIMIC算法，并將其應用在蝸桿傳動優(yōu)化設計中。

蝸桿傳動是一種具有傳動比大，結構緊湊，傳動平穩(wěn)，可實現(xiàn)自鎖等優(yōu)點的空間嚙合傳動，用于在空間交錯的兩軸間傳遞運動和動力。蝸桿傳動在機床，汽車，起重機械等很多領域中發(fā)揮著重要的作用。通常采用碳鋼或合金鋼制蝸桿，采用青銅鑄造蝸輪，這樣可以使傳動副具有良好的耐磨性，但是在制造過程中往往因為設計問題造成有色貴重金屬的浪費。為了減少浪費，降低成本，將蝸輪齒圈體積最小作為優(yōu)化設計目標[1-4]。本文采用結合了Rosenbrock算法的MIMIC算法對蝸桿金屬圈體積進行參數(shù)優(yōu)化，取得了良好的優(yōu)化結果。

1 結合Rosenbrock法的混合MIMIC算法

1.1 MIMIC算法

MIMIC(Mutual Information Maximization for Input Clustering)算法，是在1997年由美國MIT人工智能實驗室的De Bonet等人提出的一種基于雙變量相關模型的分布估計算法[5]。算法通過在初始群體中建立一個概率模型，使得該模型可以描述解的分布，然后對概率模型進行隨機采樣來產生新的種群，如此反復進行，實現(xiàn)種群的進化，直至得到滿意解6]。

在MIMIC算法中定義解空間概率分布模型：

其中，h(X)=-∑xP(X=x)logp(X=x)，

h(X|Y)=-∑yh(X|Y=y)p(Y=y)

h(X|Y=y)=

-∑x(p(X=x|Y=y)logp(X=x|Y=y))

MIMIC算法的過程是一個不斷更新概率模型，從而使概率模型越來越能反映優(yōu)秀個體的分布的過程，所以算法在進化過程中，過于依靠解空間分布，導致算法在后期的進化過程中速度變慢，種群的多樣性減少，這說明MIMIC算法具有比較強的全局搜索能力，但是局部求精能力較弱且易早熟。為了有效提高MIMIC算法的尋優(yōu)能力，本文是在種群的進化過程中加入了局部求精能力強，收斂速度快的旋轉方向法(Rosenbrock)，提出一種結合Rosenbrock法的分布估計算法(Rb-MIMIC).

1.2 Rb-MIMIC算法

旋轉方向法又稱轉軸法，是Rosenbrock于1960年提出的，Rosenbrock法是在當前點構造n個正交方向，然后在構造的每個方向進行探測移動，找到函數(shù)值減小最快的方向，移動某個步長，然后利用軸向的旋轉產生一組新的方向作為下一次迭代的軸向，如此循環(huán)[7]。Rosenbrock法是一種局部搜索算法，具有較強的局部求精能力，而MIMIC算法的全局尋優(yōu)能力強，但局部搜索能力較弱，易早熟，所以在MIMIC算法進化過程中可以加入Rosenbrock法來提高算法的尋優(yōu)能力和效率。在MIMIC算法中，由于新個體的產生規(guī)則單一，導致新群體個性差異較小，為了增加種群的個性差異，同時又不背離群體的分布模型，在生成新的群體時，從當前群體中隨機選擇出部分個體利用Rosenbrock法進行搜索，將得到的新個體作為新群體中的一部分。具體步驟如下

步1 初始化群體。隨機產生N個個體作為初始群體pop.

步2 將約束優(yōu)化問題轉化為無約束優(yōu)化問題[8-9]，這里利用罰函數(shù)法。

步3 評價適應值。計算種群中每個個體的適應值，如果滿足算法的終止條件，則算法結束，否則轉至下一步。算法的終止條件為達到規(guī)定的進化代數(shù)(200代)，或者連續(xù)若干代(25代)最優(yōu)值沒有變化，或者誤差在某個范圍內(10-10).

步4 選擇優(yōu)勢群體。算法采用截斷法和輪盤賭法選擇S(N/2)個個體作為優(yōu)勢群體，并保留p個最優(yōu)個體。

步5 Rosenbrock法搜索。從當前群體中隨機選擇T個個體作為初始點進行Rosenbrock搜索，將得到的新個體作為新一代群體的一部分，增加種群的多樣性。

步6 根據(jù)貪婪算法尋找最優(yōu)排列構建概率模型。

1)使用in=argminjhl(Xj)，找出排列θ=(i1,i2,…in)中的in；

2)對任意k=n-1,…,1，由式ik=argminjhl(Xj|Xk+1)，其中k≠ik+1,…,in，計算出排列θ=(i1,i2,…in)；

3)計算出概率分布

步7 采樣得到新個體。按逆序的方法依據(jù)概率模型采樣N-T-p次，與步3保留的p個最優(yōu)個體及Rosenbrock法得到的T個個體組成新一代群體，轉步2.

圖1 算法流程圖
Fig.1 Basic flow chart of algorithm

2 應用實例

以某單級普通圓柱蝸桿齒輪減速器為例3]，它的輸入功率P1=6 kW，轉速n1=1 450 r/min，傳動比i=20，載荷系數(shù)K=1.1，蝸輪齒圈許用接觸應力[σH]=220 MPa.

2.1 構建數(shù)學模型

圖2所示的是蝸輪齒圈尺寸結構示意圖，包括：

圖2 蝸輪齒圈結構示意圖
Fig.2 Worm gear ring structure diagram

齒頂圓直徑da、齒根圓直徑df、齒圈內徑d0、齒圈的外徑de、齒寬b.蝸輪的齒圈體積為:

(1)

(2)

式(2)中，z2是蝸輪齒數(shù)；z1是蝸桿齒數(shù)；i是傳動比，通常情況下是已知的；m是蝸輪模數(shù)；ψb是齒寬系數(shù)，按照蝸桿齒數(shù)不同，取0.75或0.67，通常情況下當z1=1～2時，ψb=0.75，當z1=3～6時，ψb=0.67；da1是蝸桿齒頂圓直徑；q是直徑系數(shù)；ψe是蝸輪齒圈外徑系數(shù)；按照蝸桿齒數(shù)的不同，取2、1.5、1.

將式(2)代入(1)中，可以將體積公式轉化為:

[(iz1+ψe+2)2-(iz1-4.4)2]

(3)

由式(3)可以看出，蝸輪齒圈體積與蝸桿頭數(shù)z1，模數(shù)m，直徑系數(shù)q有關，因此，選取蝸桿頭數(shù)z1，模數(shù)m，直徑系數(shù)q作為設計變量，即X=(x1,x2,x3)=(z1,m,q)，所以式(3)可以改寫為:

V=f(x)=

(ix1-4.4)2]

(4)

2.2 確定約束條件

(5)

2)蝸桿剛度的限制[4]。蝸桿工作時最大撓度不大于0.001d=0.001mq，即:

(6)

(3)蝸桿頭數(shù)的限制。一般要求2≤z1≤3，因此有:

g3(x)=x1-3≤0

(7)

g4(x)=2-x1≤0

(8)

(4)模數(shù)的限制。對于中小功率得蝸桿傳動，一般要求3≤m≤5，因此有

g5(x)=x2-5≤0

(9)

g6(x)=3-x2≤0

(10)

(5)蝸桿直徑系數(shù)的限制。對于上述的模數(shù)范圍，要求5≤q≤16，因此有:

g7(x)=x3-16≤0

(11)

g8(x)=5-x3≤0

(12)

由上述可以得到蝸桿傳動的數(shù)學模型，式(4)是目標函數(shù)，式(5)到式(12)為約束條件，可見這是一個非線性約束優(yōu)化問題，將本文提出的改進后的MIMIC算法應用在該模型中，進行求解。

3 優(yōu)化結果分析

3.1 實驗參數(shù)設置

在實驗中，MIMIC算法的參數(shù)設置如下，群體規(guī)模N=200，截斷選擇S=N/2，保留的最優(yōu)個體數(shù)p=20，最大迭代次數(shù)200，精度10-9，進行Rosenbrock法的初始點個數(shù)T=20，Rosenbrock法的初始步長δ=[1 1 1]，增大系數(shù)α=3，收縮系數(shù)β=0.5，分別進行15次實驗。

3.2 實驗結果分析

表1 是經過MIMIC算法和Rb-MIMIC算法對模型進行優(yōu)化后得到的結果，由表1可以看出，改進后的MIMIC算法，最優(yōu)值和平均最優(yōu)值明顯都要小于MIMIC算法，而我們的實驗結果希望金屬圈體積盡可能的小，所以改進后的MIMIC算法要優(yōu)于MIMIC算法，Rb-MIMIC算法在求精能力上有了顯著的提高。而且Rb-MIMIC算法相比MIMIC算法進化代數(shù)也少了許多，說明Rb-MIMIC算法是一個可行的，求精能力強，收斂速度快的優(yōu)化算法。

將MIMIC算法和Rb-MIMIC算法得到的優(yōu)化結果進行圓整，經檢驗，圓整后的結果滿足性能約束條件，將圓整后的結果與文獻[3]中的結果進行比較，對比結果見表2.經過對比可以發(fā)現(xiàn)，MIMIC算法和Rb-MIMIC算法相對于常規(guī)優(yōu)化設計，雖然蝸桿頭數(shù)增加了，但是齒圈體積卻大幅度減小，MIMIC算法和Rb-MIMIC算法優(yōu)化后的齒圈體積減少了31%，但是Rb-MIMIC算法的進化代數(shù)明顯小于MIMIC算法，充分顯示了Rb-MIMIC算法的價值。

表1 MIMIC算法與Rb-MIMIC算法的比較
Tab.1 The comparison of MIMIC algorithm and Rb-MIMIC algorithm

算法最優(yōu)值平均最優(yōu)值蝸桿頭數(shù)z1模數(shù)m直徑系數(shù)q進化代數(shù)MIMIC602066．91604401．3833．923585231650Rb?MIMIC601777．35602949．63433．9229782915．999694827

表2 優(yōu)化算法與常規(guī)設計對比結果
Tab.2 The results of optimization algorithm compared with conventional design

對比項蝸桿頭數(shù)z1模數(shù)m直徑系數(shù)q齒圈體積常規(guī)設計2518920226．4844MIMIC3416637934．1162Rb?MIMIC3416637934．1162

4 結 論

為了提高MIMIC算法的局部求精能力，收斂速度，本文在MIMIC算法的進化過程中加入局部求精能力強的Rosenbrock算法，利用Rosenbrock法隨機搜索若干個體，將得到的新個體作為新群體的一部分，增加種群的多樣性，從而使算法避免陷入早熟，使算法得到改進。

蝸桿傳動是機械優(yōu)化中一個廣泛的應用，具有傳動比大，傳動平穩(wěn)等優(yōu)點，但是在設計中往往把蝸輪體積設計的比較大，造成有色貴重金屬的浪費。如何在確保傳動性能穩(wěn)健可靠的前提下，使得蝸輪齒圈體積盡可能減小成為蝸桿傳動的設計目標。本文將結合Rosenbrock算法的MIMIC算法應用在蝸桿蝸輪傳動優(yōu)化中。優(yōu)化結果相比MIMIC算法和常規(guī)優(yōu)化設計，體積顯著減少，降低了制造成本，且改進后的MIMIC算法在收斂速度上也優(yōu)于傳統(tǒng)的MIMIC算法。優(yōu)化結果表明改進后的MIMIC算法是一個有效的算法，求精能力強，收斂速度快，為蝸桿傳動優(yōu)化等約束優(yōu)化問題提供了一種新的思路和方法。

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