王慎航 張煥鑫 楊 軼 許 琦 林瑞仕 楊名軍

北京航天自動(dòng)控制研究所，北京100854

三軸陀螺穩(wěn)定平臺(tái)[1-3]作為導(dǎo)航、制導(dǎo)與控制技術(shù)中的關(guān)鍵慣性測(cè)量設(shè)備，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于航天、航空和航海等領(lǐng)域。三軸陀螺穩(wěn)定平臺(tái)框架[4]的“失鎖”現(xiàn)象導(dǎo)致它僅限用于機(jī)動(dòng)姿態(tài)有限的載體上。若載體需要在全姿態(tài)狀態(tài)下工作，就必須采用四軸結(jié)構(gòu)。三框架四軸平臺(tái)是在原來(lái)兩框架三軸平臺(tái)的基礎(chǔ)上，增加了一個(gè)隨動(dòng)框架，即增加了一個(gè)自由度，以避免“失鎖”現(xiàn)象。

三框架四軸平臺(tái)[5-6]是一個(gè)多輸入、多輸出系統(tǒng)，包含了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量耦合、摩擦力矩、慣性耦合力矩、外部干擾、模型參數(shù)未知及不確定性等各類因素，這些都將影響穩(wěn)定回路控制的動(dòng)態(tài)性能和靜態(tài)性能。為了獲得穩(wěn)定回路良好的魯棒性能和跟蹤性能，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在平臺(tái)穩(wěn)定回路控制領(lǐng)域做了大量研究。PID[7-8]控制由于其控制算法簡(jiǎn)單、魯棒性較好及易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于平臺(tái)穩(wěn)定控制系統(tǒng)，但其對(duì)于系統(tǒng)干擾的抑制能力有限。干擾觀測(cè)器[9-11]也越來(lái)越多的應(yīng)用于穩(wěn)定回路的補(bǔ)償控制中，但這種算法的前提是系統(tǒng)的參數(shù)已知，但實(shí)際系統(tǒng)中總是存在參數(shù)未知和不確定性的情況。滑模變結(jié)構(gòu)控制[12]由于對(duì)參數(shù)不確定性和干擾具有強(qiáng)抑制性能也被應(yīng)用于穩(wěn)定回路的控制中，但滑模變結(jié)構(gòu)控制一般不可避免地存在“抖震”現(xiàn)象，將會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能變差。還有其他一些方法，如：自抗擾控制[13]、H∞魯棒控制[14]、自適應(yīng)控制[15]和最優(yōu)控制[16]等方法，這些方法大多沒(méi)有考慮參數(shù)未知、不確定性或外部干擾的情況，不能保證系統(tǒng)良好的魯棒和跟蹤性能。

針對(duì)存在模型未知、不確定參數(shù)以及外界干擾項(xiàng)的平臺(tái)系統(tǒng)穩(wěn)定回路，提出了一種魯棒自適應(yīng)反步控制方法。

1 四軸穩(wěn)定平臺(tái)數(shù)學(xué)模型

1.1 坐標(biāo)系定義及運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

如圖1所示，四軸平臺(tái)從外到內(nèi)由外框、中框、內(nèi)框和臺(tái)體4個(gè)框架組成，各坐標(biāo)系定義為：OXbYbZb為與基座固聯(lián)的坐標(biāo)系；OX3Y3Z3為與外框架固聯(lián)的坐標(biāo)系，OY3為內(nèi)框架軸；OX2Y2Z2為與中框架固聯(lián)的坐標(biāo)系，OX2為中框架軸；OX1Y1Z1為與內(nèi)框架固聯(lián)的坐標(biāo)系，OY1為內(nèi)框架軸；OXPYPZP為與臺(tái)體固聯(lián)的坐標(biāo)系，OZP為臺(tái)體軸。

圖1 平臺(tái)框架與坐標(biāo)系定義

(1)

其中，ωpx，ωpy，ωpz為臺(tái)體絕對(duì)角速度；ωbx，ωby，ωbz為載體絕對(duì)角速度；ω1x，ω1y，ω1z為內(nèi)框架絕對(duì)角速度；ω2x，ω2y，ω2z為中框架絕對(duì)角速度；ω3x，ω3y，ω3z為外框架絕對(duì)角速度。轉(zhuǎn)換矩陣：

利用式(1)可迭代得到臺(tái)體角速度、框架角速度和載體角速度間的運(yùn)動(dòng)方程：

(2)

1.2 動(dòng)力學(xué)模型[5]

三框架四軸平臺(tái)可看做外框架、中框架、內(nèi)框架和臺(tái)體繞定點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，因此，可根據(jù)歐拉方程分別建立四軸的動(dòng)力方程，也即分別建立臺(tái)體組合件、內(nèi)框組合件、中框組合件和外框組合件方程。假設(shè)臺(tái)體組合件結(jié)構(gòu)完全對(duì)稱，三軸主慣性矩相同，皆為Jp；內(nèi)環(huán)的慣性矩為J1x=J1z=J1xz≠J1y；中環(huán)的慣性矩為J2x=J2y=J2xy≠J2z；外環(huán)的慣性矩為J3x，J3y，J3z。令Tp，T1，T2，T3分別為臺(tái)體軸、內(nèi)框架軸、中框架軸及外框架軸上的力矩電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩；fp，f1，f2，f3分別為臺(tái)體軸、內(nèi)框架軸、中框架軸及外框架軸上的干擾力矩，包括摩擦力矩、不平衡負(fù)載力矩等。根據(jù)參考文獻(xiàn)[5]得：

(3)

式中：

J3=J2xy+(J1y+Jp)cos2θy+J1xzsin2θy；

J4=J3x+J2xycos2θx+(J2z+(J1y+Jp)sin2θy+J1xzcos2θy)sin2θx；

J34=J43=(J1y-J1xz+Jp)sinθycosθysinθx。

從式(2)和(3)可以看出，四軸平臺(tái)軸是相互耦合的，且伴隨著相對(duì)轉(zhuǎn)角的變化，耦合程度或系數(shù)也隨之變化。除此之外，外部干擾、模型參數(shù)未知及不確定性等各類因素都將影響穩(wěn)定回路控制的動(dòng)態(tài)性能和靜態(tài)性能。因此，四軸平臺(tái)的控制是十分復(fù)雜的問(wèn)題。

1.3 穩(wěn)定回路

三框架四軸平臺(tái)是在原來(lái)兩框架三軸平臺(tái)的基礎(chǔ)上，增加了一個(gè)隨動(dòng)框架。三軸平臺(tái)部分由陀螺儀和穩(wěn)定回路控制，穩(wěn)定在慣性空間，而隨動(dòng)框架則由隨動(dòng)回路的控制而始終跟隨內(nèi)框架。本文只研究穩(wěn)定回路部分，選擇單自由度陀螺儀作為穩(wěn)定回路的慣性敏感器件，由文獻(xiàn)[4]可得穩(wěn)定回路方程：

(4)

令：

(5)

(6)

穩(wěn)定回路方程式(6)考慮了模型未知、參數(shù)不確定以及外界干擾等因素，符合實(shí)際系統(tǒng)模型。

2 魯棒自適應(yīng)反步控制器設(shè)計(jì)

為了便于分析問(wèn)題，給出如下的假設(shè)與引理：

假設(shè)2 系統(tǒng)的不確定項(xiàng)|Δ1|≤B1，|Δ2|≤B2,其中B1，B2為已知參數(shù)。

假設(shè)3 系統(tǒng)的不確定參數(shù)θ滿足θmin≤θ≤θmax，其中θmin，θmax為θ的已知上下界。

其中，Г為參數(shù)辨識(shí)速率的正定對(duì)角陣，τ為自適應(yīng)函數(shù)，此算法有如下2個(gè)特性：

根據(jù)反步法的基本原理，定義系統(tǒng)的誤差：

(7)

其中，xd為位置期望值;a1，a2為虛擬控制量;z1，z2和z3為控制誤差。

1) 對(duì)第1個(gè)子系統(tǒng)z1=x1-xd，考慮如下的Lyapunov函數(shù)：

(8)

對(duì)式(8)求導(dǎo)并聯(lián)合式(7)得：

(9)

取虛擬控制律：

(10)

式中，k1為虛擬控制律設(shè)計(jì)參數(shù)，且k1>0,將式(10)代入式(9)得：

(11)

2)選取如下的Lyapunov函數(shù)：

(12)

對(duì)式(12)求導(dǎo)，并聯(lián)合式(7)得：

(13)

取虛擬控制律：

(14)

(15)

3)選取如下的Lyapunov函數(shù)：

(16)

對(duì)式(16)求導(dǎo)得：

(17)

由式(7)得：

(18)

(19)

取控制律：

(20)

將式(20)代入式(19)得：

(21)

3 穩(wěn)定性分析

(22)

對(duì)式(22)求導(dǎo)，并聯(lián)合式(21)得：

(23)

選擇自適應(yīng)函數(shù)：

(24)

自適應(yīng)控制律

(25)

將式(24)和(25)代入式(23)，同時(shí)聯(lián)合特性2可得：

(26)

由式(26)和V≥0，可知Lyapunov函數(shù)V是遞減有界的，根據(jù)引理2可知，整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

4 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文提出的魯棒自適應(yīng)反步法的有效性和優(yōu)越性，用MATLAB進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，并與傳統(tǒng)的PID算法作對(duì)比試驗(yàn)。陀螺儀參數(shù)：H=230g·cm·s，I=0.153g·cm·s2，D=25g·cm·s；框架軸參數(shù)：J=320 g·cm·s2，C=40g·cm·s；力矩電機(jī)提供最大力矩為Tn=40000g·cm：PID控制器參數(shù)：P=42，I=190，D=2；魯棒自適應(yīng)反步法控制器參數(shù)：D1=0.004/I,D2=0.04/J，η1=2，η2=2，k1=36,k2=8,k3=5。設(shè)干擾力矩及未建模參數(shù)：Δ1=0.002g·cm，Δ2=0.02g·cm，上述條件下分別采用傳統(tǒng)PID控制和本文提出的魯棒自適應(yīng)反步法控制方法，在MATLAB/SIMULINK下進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖2。

圖2 臺(tái)體軸擾動(dòng)力矩下的轉(zhuǎn)動(dòng)角度β響應(yīng)曲線

由圖2仿真結(jié)果可得PID控制算法臺(tái)體軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度最大值為0.031rad，穩(wěn)定時(shí)間為0.4s，超調(diào)量為0.0012rad，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為9×10-5rad；魯棒自適應(yīng)反步法控制方法臺(tái)體軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度最大值為0.0091rad，穩(wěn)定時(shí)間為0.2s，系統(tǒng)無(wú)超調(diào)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為1.3×10-5rad。

5 結(jié)論

針對(duì)存在模型未知、不確定參數(shù)以及外界干擾項(xiàng)的平臺(tái)系統(tǒng)穩(wěn)定回路，提出了一種魯棒自適應(yīng)反步控制方法。首先，建立了平臺(tái)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，開(kāi)展了平臺(tái)四框架運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)分析；其次，充分考慮系統(tǒng)參數(shù)的模型未知、參數(shù)不確定以及外界干擾的因素，建立了平臺(tái)穩(wěn)定回路方程；再次，結(jié)合反步法理論，設(shè)計(jì)了合適的虛擬控制量,來(lái)補(bǔ)償外界干擾對(duì)穩(wěn)定回路的影響；最后利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和光滑投影算法, 設(shè)計(jì)了參數(shù)自適應(yīng)律，實(shí)現(xiàn)了對(duì)穩(wěn)定回路中未知參數(shù)的估計(jì)。

參 考 文 獻(xiàn)

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