肖惠博

[摘要]“蕩秋千”是孩童時代喜歡的運動，其中有豐富的物理內(nèi)容。文章基于物理知識，就無阻力無助推、有阻力無助推及無阻力有助推三種情況進行分析。

[關(guān)鍵詞]蕩秋千；周期運動；擺角；擺動幅度

[中圖分類號]G633.7[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2018）08005202

一、引言

“蕩秋千”作為孩童時代喜歡的運動，幾乎每個人都曾經(jīng)歷或目睹過。然而，人們對其中的物理知識卻知之甚少。常見且最簡單的秋千由兩根長度同為l的細繩和座板構(gòu)成，兩繩的一端被懸掛起來，另一端固定在座板的兩端。一個坐在座板上的小女孩玩蕩秋千運動，假設(shè)這是她人生的第一次“蕩秋千”，沒有任何技巧，只能在家長的幫助下才能蕩起來。稍加留意，人們會注意到：（1）小女孩坐在座板上圍繞一個平衡位置蕩來蕩去；（2）如果沒有大人助推，小女孩的蕩幅會越來越小，直至停止；（3）為了保證小女孩持續(xù)蕩來蕩去，必須有大人助推。然而，家長的助推是否得當，會直接影響到秋千擺動的規(guī)律和幅度。本文運用物理知識，對“蕩秋千”過程中的現(xiàn)象進行分析。

二、理想情況下秋千運動規(guī)律分析

理想情況是指：（1）細繩長度l遠長于擺動幅度；（2）相對于小女孩體重，細繩和座板的重量可忽略；（3）擺動過程中未受到任何阻力作用。在這樣的理想情況下，小女孩蕩秋千可模擬為質(zhì)量為m的擺球的單擺運動[1]，如圖1所示。擺球受到的重力為mg，其中g(shù)=9.8m/s2，該重力可以分解為沿細繩方向的平行分量F∥=mgcosθ和垂直于細繩方向的垂直分量F⊥=mgsinθ。只要擺角θ不超過臨界角θc[2]，平行于細繩的重力分量F∥和細繩張力Fl大小相等、方向相反，以保證細繩始終處于直的狀態(tài)，而垂直于細繩的重力分量mgsinθ驅(qū)使擺球來回擺動。運用牛頓第二定律，可以寫出擺球沿擺動弧線切線方向的運動方程，即md2sdt2=-mgsinθ（1）

其中s是擺動弧長，θ是擺角，兩者間的關(guān)系為θ=sl。根據(jù)理想情況的假設(shè)，sl，故θ很小，以至于sinθ≈θ，方程（1）可近似為

d2θdt2+glθ=0

（2）

該方程的解為θ=θcsin（ω0t+φ0），其中ω0=gl，θc是最大擺角，φ0是初始相位。若取如圖1所示的坐標軸，則沿x軸水平方向擺球相對于O點的位移為x（t）=lsinθ≈lθ，將方程（2）中的θ變換成x，可得到沿x軸水平方向擺球相對于O點的位移隨時間變化的方程為

d2xdt2+ω20x=0

（3）

方程（3）的解為

x（t）=xmsin（ω0t+φ0）

（4）

其中xm=lθc為水平方向最大擺動幅度。

利用初始條件：x（t=0）=xm和

dxdt|t=0=0

，得到φ0=90°。假設(shè)l=9.8m，則ω0=

gl=1

（rad/s），由此可得到沿水平方向相對于平衡點O的相對位移x/xm隨時間變化圖線，如圖2中的實線所示?？梢?，在理想情況下，小女孩蕩秋千實際上就是坐在座板上的小女孩在重力分量作用下圍繞平衡點O做頻率為ω0的周期性振動。

三、阻力和體重對“蕩秋千”的影響

方程（3）所描述的秋千運動是一種簡諧振動，秋千理應會一直蕩下去，且與小女孩體重沒有關(guān)系。但在實際蕩秋千的過程中，人們會注意到，如果沒有大人助推，秋千蕩的幅度會越來越小，直至停止，且秋千蕩的幅度隨時間的衰減與蕩秋千人的體重有關(guān)。究其原因是因為，上述方程是在沒有任何阻力情況下推導出的，實際情況是，阻力總是存在的，最明顯的阻力來自空氣?？梢韵胂螅锴幍迷娇?，阻力會越大，因此，可以合理假設(shè)，在蕩秋千過程中，秋千會受到一個和擺動方向相反的阻力作用，且阻力的大小正比于秋千蕩的快慢，即F阻=-βdxdt，其中β是常數(shù)?？紤]阻力影響后，沿x軸水平方向秋千的運動方程可寫為

md2xdt2+mω20x+βdxdt=0

（5）

假如方程具有如下形式的嘗試解

x（t）=xme-γtsin（ωt+φ0）

（6）

其中γ和ω是兩個待定常數(shù)。將嘗試解代入方程（5）并整理后有

[（γ2-βmγ-ω2+ω20）sin（ωt+φ0）+（-2γω+βmω）cos（ωt+φ0）

]xme-γt=0

上式成立的條件是中括號部分為0，由于sin（ωt+φ0）和cos（ωt+φ0）是兩個正交函數(shù)，中括號部分為0的條件是兩個正交函數(shù)前的系數(shù)同時為0，由此得到γ=

β2m

和ω=ω20-γ2，再由初始條件

dxdt|t=0=0

可確定初始位相為φ0=arctg（ωγ）。若選擇

ω0=gl=1

（rad/s）和β=2（Ns/m），對體重為10kg和20kg的兩個小女孩，則由式（6）計算可得到兩小女孩沿水平方向相對于平衡點O的相對位移x/xm隨時間變化情況，如圖2中的實圓和空圓所示，可見她們蕩秋千的幅度隨時間延長會越來越小，且體重越輕秋千蕩的幅度隨時間的衰減越明顯。

四、助推力對“蕩秋千”的影響

對一個沒有任何蕩秋千技巧的小女孩，很明顯，如果沒有家長助推，秋千會很快停止。為了保證她持續(xù)蕩來蕩去，必須有家長助推。問題是，家長如何助推方可使秋千蕩得有規(guī)律，且蕩得越來越高？假設(shè)家長以沿負x方向的力助推小女孩蕩秋千，且保持助推力的大小按F=-F0cosωt規(guī)律變化。為簡單起見，近似認為相對于

助推力空氣阻力可忽略，我們可以將秋千沿x軸水平方

向的運動方程寫為

md2xdt2+mω20+F0cosωt=0

（7）

其中ω0=

gl=1

（rad/s）?？疾旆匠蹋?）的形式，可以將其嘗試解寫成

x（t）=xmsin（ω0t+φ0）+Acosωt

（8）

將嘗試解代入方程（7）則可得到

A=F0/mω20-ω2

。再利用初始條件x（t=0）=0和dxdt

|t=0=0

，得到

φ0=90°

和

xm=-F0/mω20-ω2=-A

。若寫成歸一化形式，則方程（7）的解為

x/xm=cosω0t-cosωt

（9）

考慮兩種情況：

ω=1.1ω0

和ω=1.5ω0，則由式（9）計算可得到小女孩在家長助推下沿水平方向相對于平衡點O的相對位移隨時間變化情況，如圖3所示。

比較圖3所示的兩種情況，可以看到，當助推力頻率ω和ω0差別較大時，如ω=1.5ω0的情況下，秋千蕩的幅度忽大忽小，而當助推力頻率ω接近ω0時，如ω=1.1ω0的情況下，秋千蕩得不僅有規(guī)律而且幅度越來越大。

[參考文獻]

成思源.用Mathematica軟件計算單擺實驗中大擺角的周期[J].中學教學參考，2016（5）：52-53.

（責任編輯易志毅）