王延忠，李圓，任少英，趙鵬坤

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基于圓弧嚙合線內(nèi)嚙合齒輪設(shè)計(jì)與特性分析

王延忠，李圓，任少英，趙鵬坤

(北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京，100191)

針對(duì)內(nèi)嚙合齒輪傳動(dòng)，提出1種基于圓弧嚙合線的大重合度內(nèi)嚙合齒輪構(gòu)造方法。選取連接外齒輪和內(nèi)齒圈節(jié)圓交點(diǎn)和齒頂圓交點(diǎn)的圓弧為嚙合線，構(gòu)造在該嚙合線上共軛的外齒輪和內(nèi)齒圈齒頂齒廓；根據(jù)共軛原理設(shè)計(jì)與齒頂齒廓共軛的齒根齒廓，完成內(nèi)齒圈齒根齒廓修形；對(duì)新齒形進(jìn)行根切檢驗(yàn)，分析新齒形嚙合幾何特性及加載接觸；利用數(shù)控加工方法完成內(nèi)嚙合齒輪樣件的加工并進(jìn)行嚙合試驗(yàn)。研究結(jié)果表明：新齒形不產(chǎn)生根切和齒頂干涉；與漸開(kāi)線內(nèi)嚙合齒輪相比，新齒形重合度大大提高，相對(duì)滑動(dòng)率減小，相對(duì)法曲率增大；齒面接觸和齒根彎曲應(yīng)力顯著降低，承載能力大大提高；齒數(shù)比為38/53的新齒形存在7對(duì)齒接觸，驗(yàn)證了新齒形的大重合度嚙合。

大重合度；內(nèi)齒輪；嚙合線；加載接觸分析

內(nèi)嚙合齒輪作為齒輪傳動(dòng)重要部件之一，可傳遞相同方向的動(dòng)力和運(yùn)動(dòng)，與外嚙合齒輪相比，可降低由于共軛齒廓曲線相對(duì)滑動(dòng)引起的動(dòng)力損失，具有傳動(dòng)效率高、承載能力大等優(yōu)點(diǎn)[1]。漸開(kāi)線齒輪作為最重要的內(nèi)嚙合齒形，以其具有容易制造、互換性等優(yōu)點(diǎn)獲得了最廣泛的應(yīng)用。同時(shí)，漸開(kāi)線齒形的嚙合線為配對(duì)齒輪齒頂圓之間的一段線段，限制了重合度的提高。重合度是齒輪設(shè)計(jì)的重要指標(biāo)之一，重合度提高可使更多輪齒分擔(dān)載荷，從而降低單對(duì)輪齒負(fù)載，提高齒輪整體承載能力，降低傳動(dòng)噪聲[2]。為獲得大重合度齒輪，人們對(duì)漸開(kāi)線齒形[3?4]、擺線齒形[5]進(jìn)行改良，通過(guò)增大齒頂高、增大齒數(shù)或減小壓力角[6?7]等方法實(shí)現(xiàn)大重合度嚙合，但受制于漸開(kāi)線、擺線的幾何特性，這些改良方法在提高齒輪重合度的同時(shí)可能導(dǎo)致齒輪強(qiáng)度降低、嚙合性能下降，因此，一些研究者從嚙合原理出發(fā)，開(kāi)發(fā)出了新型齒形。DONG 等[8]建立了根據(jù)嚙合線構(gòu)造共軛齒廓的數(shù)學(xué)模型，構(gòu)造了直線嚙合線、圓弧嚙合線及二次曲線嚙合線的圓柱齒輪和橢圓外嚙合齒輪；王建等[9]以壓力角為設(shè)計(jì)參數(shù)構(gòu)造了嚙合線，根據(jù)共軛原理構(gòu)造齒輪齒廓并研究了壓力角參數(shù)對(duì)重合度的影響，從而獲得了大重合度齒輪設(shè)計(jì)參數(shù)。在內(nèi)嚙合齒輪方面，直線共軛內(nèi)嚙合齒輪在高端齒輪泵領(lǐng)域得到應(yīng)用。魏偉鋒等[10]利用齒廓法線反轉(zhuǎn)法建立直線共軛齒廓參數(shù)化求解和分析方法，提出重疊干涉的判定條件及齒根、齒頂干涉的解決方案。相比于漸開(kāi)線、擺線齒齒形，新型齒輪齒形復(fù)雜，缺少標(biāo)準(zhǔn)的加工工具，而高精度數(shù)控加工技術(shù)的發(fā)展為新齒形的加工制造及應(yīng)用提供了條件。本文作者針對(duì)直齒內(nèi)嚙合齒輪傳動(dòng)，提出基于圓弧嚙合線的大重合度內(nèi)嚙合齒輪設(shè)計(jì)方法。通過(guò)選擇連接外齒輪和內(nèi)齒輪節(jié)圓交點(diǎn)和齒頂圓交點(diǎn)的圓弧為嚙合線，利用共軛原理，構(gòu)造滿足該圓弧嚙合線的內(nèi)嚙合齒輪共軛齒廓及插齒齒條齒廓；研究新齒形的重合度、共軛齒廓相對(duì)滑動(dòng)率及相對(duì)法曲率等幾何特性，通過(guò)有限元加載接觸分析研究齒輪的齒面接觸強(qiáng)度、齒根彎曲強(qiáng)度；通過(guò)加工新齒形內(nèi)嚙合齒輪樣件和嚙合試驗(yàn)，完成重合度驗(yàn)證。

1 基于嚙合線的內(nèi)嚙合齒輪共軛原理

在齒輪傳動(dòng)過(guò)程中，共軛齒輪以設(shè)計(jì)的傳動(dòng)比發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，隨著接觸點(diǎn)在嚙合線上滑動(dòng)，接觸點(diǎn)在齒輪坐標(biāo)系上劃出的軌跡就形成了共軛齒廓曲線[11]，因此，根據(jù)嚙合線可以構(gòu)造出滿足在該嚙合線上嚙合的共軛齒廓曲線。外齒輪與內(nèi)齒輪為1對(duì)共軛內(nèi)嚙合齒輪，假設(shè)其嚙合線為01，根據(jù)該嚙合線構(gòu)造的外齒輪與內(nèi)齒輪共軛齒廓曲線分別為1和2，c為與外齒輪齒廓1共軛的齒條齒廓。齒廓曲線1，2和c在嚙合線上點(diǎn)接觸，法向?yàn)椤?11，222和Xccc分別為與外齒輪、內(nèi)齒輪、齒條固連的坐標(biāo)系，fff為固定坐標(biāo)系。當(dāng)外齒輪和內(nèi)齒輪分別繞中心1和2轉(zhuǎn)過(guò)角位移1和2到位置1和2時(shí)，齒條沿軸平移距離到c位置，它們?cè)诠?jié)點(diǎn)f接觸，且滿足：

式中：1和2分別為外齒輪和內(nèi)齒輪節(jié)圓半徑。設(shè)嚙合線01上點(diǎn)在坐標(biāo)系fff中齊次坐標(biāo)表達(dá)式為

式中：和為自變量。內(nèi)嚙合共軛齒廓曲線構(gòu)造示意圖如圖1所示。

圖1 內(nèi)嚙合共軛齒廓曲線構(gòu)造示意圖

通過(guò)坐標(biāo)變換，分別得到外齒輪和內(nèi)齒輪的共軛齒廓曲線1和2，其向量表示分別為1和2。

式中：1f和2f分別為坐標(biāo)系fff到111和222的坐標(biāo)變換矩陣。

根據(jù)平面齒輪嚙合原理[12]，共軛齒廓曲線在接觸點(diǎn)的公法線通過(guò)瞬時(shí)回轉(zhuǎn)中心，則共軛齒廓曲線在接觸點(diǎn)處的法向量在fff上為

共軛齒廓曲線在接觸點(diǎn)上的法向量1在111坐標(biāo)中為

式中：1f為矩陣1f左上角2×2矩陣。根據(jù)齒輪嚙合原理，嚙合方程可表示為

根據(jù)式(1)可得到內(nèi)齒輪的角位移2。式(7)和(1)描述了嚙合線上共軛點(diǎn)與外齒輪和內(nèi)齒輪共軛齒廓上的齒形點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此，當(dāng)已知嚙合線方程式(2)，將式(7)和(1)代入式(3)就得到了滿足設(shè)計(jì)嚙合線的外齒輪、內(nèi)齒輪的共軛齒廓方程表達(dá)式。

2 圓弧嚙合線及共軛齒廓

2.1 圓弧嚙合線及齒頂齒廓

為提高內(nèi)嚙合齒輪的重合度，選擇連接外齒輪和內(nèi)齒輪節(jié)圓交點(diǎn)和齒頂圓交點(diǎn)的圓弧01為嚙合線，圓弧嚙合線構(gòu)造如圖2所示。與直線嚙合線相比，圓弧嚙合線大大增加了內(nèi)嚙合齒輪的重合度。根據(jù)幾何原理，可求出圓弧的半徑及弧度max，則圓弧嚙合線在fff坐標(biāo)系中的方程表達(dá)式為

將式(8)代入式(6)，得到外齒輪角位移表達(dá)式

由于設(shè)計(jì)的圓弧嚙合線位于齒輪的節(jié)圓和齒頂圓之間，構(gòu)造的共軛齒廓曲線為齒頂?shù)焦?jié)點(diǎn)的齒頂齒廓曲線。得到的外齒輪齒頂齒廓曲線a1在111上的方程表達(dá)式為

同樣地，得到內(nèi)齒輪齒頂齒廓曲線a2的方程表達(dá)式為

2.2 齒根齒廓

已知內(nèi)齒輪齒頂齒廓曲線方程式(11)及傳動(dòng)比=2/1，根據(jù)齒輪嚙合原理，與內(nèi)齒輪齒頂齒廓a2共軛的外齒輪齒根齒廓曲線d1可表示為

式(13)存在2個(gè)解：

第1個(gè)解對(duì)應(yīng)著與內(nèi)齒輪齒頂齒廓共軛的外齒輪齒頂齒廓，因此，將式(11)和式(14)中第2式代入式(12)得到外齒輪齒根齒廓曲線d1的方程表達(dá)式。

由式(16)可知外齒輪齒根齒廓與內(nèi)齒輪齒頂齒廓的嚙合線為一圓弧(半徑為2?)，且與設(shè)計(jì)的圓弧嚙合線01在節(jié)點(diǎn)0相切。

同樣地，內(nèi)齒輪齒根齒廓曲線d2可表示為

根據(jù)式(18)可知內(nèi)齒輪齒根齒廓與外齒輪齒頂齒廓的嚙合線為一圓弧(半徑為?1)，且與設(shè)計(jì)的圓弧嚙合線01在節(jié)點(diǎn)0相切。

2.3 插齒齒條齒廓

已知外齒輪齒廓曲線方程表達(dá)式及外齒輪與齒條的運(yùn)動(dòng)關(guān)系式=11，根據(jù)共軛原理，得到的與外齒輪齒頂齒廓共軛的齒條齒根齒廓可表示為

與外齒輪齒根齒廓共軛的齒條齒頂齒廓可表示為

齒條的齒廓由齒頂齒廓和齒根齒廓2部分組成，分別與外齒輪的齒根齒廓和齒頂齒廓共軛，在排除根切的情況下可通過(guò)齒條刀具可加工出完整的外齒輪齒廓曲線。

2.4 內(nèi)齒輪齒根齒廓修形

圖3 新型大重合度內(nèi)嚙合齒輪嚙合線

2.5 根切和干涉檢查

齒輪齒廓曲線在奇異點(diǎn)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，即d/d0時(shí)，在奇異點(diǎn)處可能出現(xiàn)根切[1]。對(duì)外齒輪、內(nèi)齒輪及齒條齒廓曲線進(jìn)行奇異點(diǎn)檢查后發(fā)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)0是齒頂齒廓和齒根齒廓的奇異點(diǎn)。然而，由于節(jié)點(diǎn)0位于齒頂齒廓和齒根齒廓的端點(diǎn)，且嚙合線在節(jié)點(diǎn)0的切向量垂直于中心連線12，共軛齒廓在節(jié)點(diǎn)0嚙合時(shí)，其公法線的方向與相同，則在0點(diǎn)處壓力角為0°，這種情況與擺線齒在其節(jié)點(diǎn)處的情況相同[1]。因此，雖然節(jié)點(diǎn)0是齒廓曲線奇異點(diǎn)，但不會(huì)產(chǎn)生根切。在齒輪嚙合過(guò)程中，外齒輪齒頂齒廓與內(nèi)齒輪齒頂齒廓共軛，外齒輪的齒根齒廓與內(nèi)齒輪齒頂齒廓共軛，且內(nèi)齒輪齒根齒廓經(jīng)修形后不參與嚙合，因而不會(huì)發(fā)生齒頂干涉。但大重合度內(nèi)嚙合齒輪的齒頂齒廓與齒頂齒廓共軛，將發(fā)生徑向干涉，故只能采用軸向安裝的方式完成齒輪裝配。

圖4 新齒形內(nèi)嚙合齒輪三維模型及接觸區(qū)仿真結(jié)果

3 齒輪嚙合特性分析

齒輪嚙合特性主要包括重合度、相對(duì)滑動(dòng)率、相對(duì)法曲率和齒輪接觸疲勞強(qiáng)度、齒根彎曲疲勞強(qiáng)度等指標(biāo)[13]，下面將研究新型大重合度內(nèi)嚙合齒輪嚙合特性并與漸開(kāi)線內(nèi)嚙合齒輪進(jìn)行對(duì)比。

3.1 重合度

表1 新齒形和漸開(kāi)線齒形內(nèi)嚙合齒輪重合度

3.2 相對(duì)滑動(dòng)率

相對(duì)滑動(dòng)率是衡量齒面磨損和齒輪潤(rùn)滑條件的重要指標(biāo)，相對(duì)滑動(dòng)率降低，齒面磨損減小，潤(rùn)滑條件越好。設(shè)d1和d2分別為外齒輪和內(nèi)齒輪齒廓曲線的弧長(zhǎng)元素，滿足ds=|dr/dθ| (=1,2)，則共軛齒輪相對(duì)滑動(dòng)率[8]可定義為

新齒形內(nèi)嚙合齒輪相對(duì)滑動(dòng)率曲線如圖5(a)所示。新齒形的嚙合過(guò)程可分為2個(gè)階段：當(dāng)2＞0時(shí)，外齒輪齒頂齒廓與內(nèi)齒輪齒頂齒廓在嚙合線01上嚙合，接觸點(diǎn)沿齒廓曲線從齒頂滑動(dòng)到節(jié)點(diǎn)；當(dāng)2＜0時(shí)，外齒輪齒根齒廓與內(nèi)齒輪齒頂齒廓在嚙合線02上嚙合，外齒輪接觸點(diǎn)沿齒根齒廓從節(jié)點(diǎn)滑動(dòng)到齒根，內(nèi)齒輪接觸點(diǎn)沿齒頂齒廓從節(jié)點(diǎn)返回齒頂，因此新齒形的相對(duì)滑動(dòng)率曲線在節(jié)點(diǎn)處0(2=0)出現(xiàn)拐點(diǎn)。漸開(kāi)線齒形相對(duì)滑動(dòng)率曲線如圖5(b)所示。對(duì)比圖5(a)和5(b)可以發(fā)現(xiàn)：新齒形的相對(duì)滑動(dòng)率為定值，且相比漸開(kāi)線齒形的相對(duì)滑動(dòng)率大大降低，有利于齒輪潤(rùn)滑及降低齒面磨損。

(a) 新齒形；(b) 漸開(kāi)線齒形

1—相對(duì)滑動(dòng)率1；2—相對(duì)滑動(dòng)率2。

圖5 相對(duì)滑動(dòng)率曲線

Fig. 5 Curves of sliding ratios of tooth profiles

3.3 相對(duì)法曲率

相對(duì)法曲率越小，接觸區(qū)越大。新齒形內(nèi)嚙合齒輪的相對(duì)法曲率曲線如圖6(a)所示。由于節(jié)點(diǎn)0為奇異點(diǎn)，在該點(diǎn)共軛齒廓的相對(duì)法曲率為無(wú)窮大。當(dāng)2＞0時(shí)，新齒形齒頂齒廓與齒頂齒廓為凸?凸接觸，而漸開(kāi)線內(nèi)嚙合齒廓為凹?凸接觸，因此與漸開(kāi)線內(nèi)嚙合齒輪相對(duì)法曲率相比，新齒形內(nèi)嚙合齒輪相對(duì)法曲率較大，接觸區(qū)較??；當(dāng)2＜0時(shí)，新齒形齒根齒廓與齒頂齒廓凹?凸接觸，其相對(duì)法曲率降低，接觸區(qū)增大。鑒于新齒形重合度大，單齒承載載荷低，因此，下面將進(jìn)一步研究新齒形在齒面接觸強(qiáng)度方面相較于漸開(kāi)線齒形的優(yōu)劣。

(a) 新齒形；(b) 漸開(kāi)線齒形

3.4 加載接觸分析

利用有限元方法研究了加載條件下齒輪接觸區(qū)位置和大小、齒面接觸強(qiáng)度和齒根彎曲強(qiáng)度等[13?14]。為避免嚙合過(guò)程中齒頂應(yīng)力集中，對(duì)齒頂進(jìn)行倒角處理，因此齒輪重合度減小。新齒形內(nèi)嚙合齒輪外齒輪在500 N?m加載力矩下的應(yīng)力云圖如圖7所示。此時(shí)共軛齒廓在節(jié)點(diǎn)嚙合，共有6對(duì)輪齒參與嚙合，最大齒面接觸應(yīng)力為592.5 MPa，出現(xiàn)在節(jié)點(diǎn)附近，最大齒根彎曲應(yīng)力為198.654 MPa。圖8所示為新齒形內(nèi)嚙合齒輪及漸開(kāi)線內(nèi)嚙合齒輪外齒輪分別在加載力矩為100，300和500 N?m條件下1個(gè)嚙合周期內(nèi)的齒面接觸應(yīng)力曲線和齒根彎曲應(yīng)力曲線。由圖8可知：齒輪的齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力隨著加載力矩增大而增大。新齒形的最大齒面接觸應(yīng)力及最大齒根彎曲應(yīng)力比漸開(kāi)線齒形的低。當(dāng)新齒形外齒齒根齒廓與內(nèi)齒齒頂齒廓凹凸接觸時(shí)，接觸區(qū)較大，齒面接觸應(yīng)力較低。當(dāng)外齒齒頂齒廓與內(nèi)齒齒頂齒廓凸?凸接觸時(shí)，接觸區(qū)減小，齒面接觸應(yīng)力增大。與漸開(kāi)線齒形彎曲應(yīng)力相比，新齒形齒根彎曲應(yīng)力明顯降低。

圖7 新型大重合度內(nèi)嚙合外齒輪應(yīng)力云圖(加載力矩為500 N?m)

Fig. 7 Stress distribution of pinion to the novel internal gear drive

4 齒輪樣件試制

新齒形齒輪的加工精度要求較高，只有合理地選擇加工設(shè)備和加工工藝才能滿足精度要求。新齒形內(nèi)嚙合齒輪可利用插齒齒條加工出外齒輪，利用與外齒輪齒廓相同的插齒刀加工出內(nèi)齒輪，并通過(guò)數(shù)控加工完成內(nèi)齒輪齒根齒廓修形。隨著數(shù)控加工設(shè)備加工能力的提升，特殊齒形齒輪的加工正逐漸變得和普通齒輪的加工一樣簡(jiǎn)單、高效。新齒形齒輪同樣可以采用銑齒、插齒及磨齒的工藝進(jìn)行大批量生產(chǎn)。對(duì)于小批量齒輪的加工，可完全采用數(shù)控加工，本文作者采用高精度的慢走絲線切割加工出新齒形齒輪樣件，使用的機(jī)床型號(hào)為沙迪克AQ560L，加工精度達(dá)到0.005 mm，表面質(zhì)量接近磨削水平。利用紅丹粉檢測(cè)接觸區(qū)，結(jié)果如圖9所示。由圖9可知：共有7對(duì)輪齒參與嚙合，與圖4中接觸區(qū)仿真結(jié)果大致一致。

(a) 新齒形齒面接觸應(yīng)力曲線，(b) 新齒形齒根彎曲應(yīng)力曲線；(c) 漸開(kāi)線齒形齒面接觸應(yīng)力曲線，(d) 漸開(kāi)線齒形齒根彎曲應(yīng)力曲線 加載力矩/(N?m)：1—100；2—300；3—500。

(a) 齒輪樣件；(b) 外齒輪接觸區(qū)域；(c) 內(nèi)齒輪接觸區(qū)域

5 結(jié)論

1) 新齒形內(nèi)嚙合齒輪的重合度大大提高，對(duì)齒數(shù)差較小的齒輪對(duì)其重合度可達(dá)到漸開(kāi)線齒形的4倍以上。

2)新齒形內(nèi)嚙合齒輪不會(huì)發(fā)生根切現(xiàn)象，也不會(huì)發(fā)齒頂干涉現(xiàn)象。

3) 與漸開(kāi)線內(nèi)嚙合齒輪相比，新齒形相對(duì)滑動(dòng)率大大降低，有利于齒輪潤(rùn)滑及降低齒面磨損，其相對(duì)法曲率較大；其齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力顯著減低，有利于提高承載能力、降低齒面磨損、提升精度保持性、延長(zhǎng)使用壽命。

4) 齒數(shù)比為38/53的內(nèi)嚙合齒輪有7對(duì)輪齒嚙合，達(dá)到設(shè)計(jì)要求。

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(編輯 伍錦花)

Design and analysis of internal gear drive with arc contact path

WANG Yanzhong, LI Yuan, REN Shaoying, ZHAO Pengkun

(School of Mechanical Engineering & Automation, Beihang University, Beijing 100191, China)

A high contact ratio internal gear drive with arc contact path was proposed for internal gear transmission. The circular arc connecting the intersection point of addendum circles and the intersection point of pitch circles was chosen as the path of contact. The addendum tooth profiles of pinion and internal gear conjugated with each other were constructed based on the given path of contact. According to gearing theory, the dedendum tooth profile was designed as conjugate curve of the addendum tooth profile of the mating gear and modification of dedendum tooth profile to internal gear was carried out. Geometric properties analysis and loaded contact analysis of the novel internal gear were also carried out. The results show that undercutting and addendum interference do not occur for the novel internal gear. The novel internal gear drive has higher contact ratio, smaller sliding ratio, but bigger induced curvature compared with the involute internal gear drive. The stress, especially the bending stress of the novel high contact ratio internal gear drive decreases remarkably. The novel high contact ratio internal gear with tooth number of 38/53 has 7 tooth being in meshing, which confirms the high contact ratio for the novel internal gear drive.

high contact ratio; internal gear; contact path; loaded tooth contact analysis

10.11817/j.issn.1672-7207.2018.05.013

TH132.417

A

1672?7207(2018)05?1118?08

2017?05?20；

2017?06?27

“十二五”國(guó)家科技支撐計(jì)劃(2014BAF08B01) (Project(2014BAF08B01) supported by the National Science and Technology Pillar Program during the 12th “Five-year” Plan Period of China)

王延忠，博士，教授，博士生導(dǎo)師，從事齒輪傳動(dòng)、摩擦片設(shè)計(jì)研究；E-mail: yzwang63@126.com