劉啟明 劉立紅 孟明強(qiáng)

摘 要：定積分是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)重要概念。文章主要分析了從定積分概念出發(fā)而引出的一些解決問題的方法與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的啟示。

關(guān)鍵詞：定積分；計(jì)算；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G640 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2096-000X（2018）11-0069-03

Abstract： The definite integral is a very important conception in higher mathematics. From the conception of definite integral， this thesis analyzes the methods of solving some problems and enlightenment of learning mathematics.

Keywords： definite integral； computation； application

數(shù)學(xué)是一門自然科學(xué)，數(shù)學(xué)書籍幾乎是公理體系來呈現(xiàn)內(nèi)容的，數(shù)學(xué)內(nèi)容是概念、定理、法則與公式表現(xiàn)出來的，而數(shù)學(xué)概念則是構(gòu)成數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)，它是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式。概念是思維的基本形式，是對(duì)一切事物進(jìn)行判斷和推理的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)概念也不例外。

定積分是高等數(shù)學(xué)的重要概念?？梢哉f，導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)的核心概念，而定積分則是積分學(xué)的核心概念。本文主要分析定積分概念的理論應(yīng)用、實(shí)際應(yīng)用與學(xué)習(xí)啟示。

一、定積分概念的理解

現(xiàn)在先闡明定積分概念。

定積分是高等數(shù)學(xué)的基本概念，是微積分學(xué)中積分學(xué)的基礎(chǔ)概念。它是一個(gè)在有限區(qū)間上一個(gè)有界函數(shù)通過“分割、近似、求和與取極限”得到特殊和式的極限：

二、定積分概念的應(yīng)用

定積分概念是一個(gè)至關(guān)重要的概念，以其為基礎(chǔ)，可以解決許多的理論問題與實(shí)際問題。

這樣基于定積分概念就得到了微積分基本公式，而且很容易理解。

（二）解決幾何、物理的問題

（三）求數(shù)列極限

定積分是一種和式的極限，如果一個(gè)和式的極限式符合定積分定義，就可以借助定積分計(jì)算解題。

（四）函數(shù)求證

這里使用了定積分概念所體現(xiàn)的積分對(duì)區(qū)間的可加性。

（五）重積分與定積分的轉(zhuǎn)化

我們知道重積分最終都化為若干次定積分的計(jì)算。反之，我們也可以把定積分轉(zhuǎn)化為重積分式來計(jì)算定積分，核心技巧就是利用定積分與積分變量記法的無關(guān)性。

利用相同的技巧，可以證明如下不等式

（六）定積分的數(shù)值計(jì)算方法

掌握好定積分定義，我們完全容易理解定積分的數(shù)值計(jì)算方法。在數(shù)值分析中，積分與微分的數(shù)值計(jì)算是一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)。

定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，通過分割、近似、求和與取極限來定義曲邊梯形的面積。定積分定義本身就是借助于有限項(xiàng)和的極限來實(shí)現(xiàn)無限項(xiàng)求和問題。利用定積分定義，通過分割、近似、求和可以得到的曲邊梯形的面積的近似數(shù)值，分割的越細(xì)，近似程度越高。在數(shù)值分析中，就是依據(jù)此原理來近似計(jì)算定積分的。常用的簡(jiǎn)單易行的公式有復(fù)合梯形公式與復(fù)合型辛普森公式等，這兩個(gè)公式中都是把積分區(qū)間分割，前者把每一個(gè)積分區(qū)間對(duì)應(yīng)的小曲邊梯形近似看作是頂端是斜線的直角梯形，后者則把每一個(gè)積分區(qū)間對(duì)應(yīng)的小曲邊梯形近似看作是頂端是二次曲線的曲邊梯形。

（七）定積分與積分變換

在定積分基礎(chǔ)上將定積分的積分區(qū)間由有限推廣到無限或?qū)⒈环e函數(shù)由有界推廣到無界，就形成反常積分（也叫廣義積分）。不過，當(dāng)積分被積函數(shù)可以求出原函數(shù)時(shí)，反常積分仍然可以借助于牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算。

在工科院校中，積分變換是一門重要課程，它的重要意義是變換本質(zhì)是一種映射，把要在時(shí)域上函數(shù)轉(zhuǎn)化為頻域上的函數(shù)，使得工程問題便于解決。積分變換是自動(dòng)控制領(lǐng)域和電信技術(shù)等領(lǐng)域分析問題的有效工具。如傅里葉變換與其逆變換形式如下

但是從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看無論是傅里葉變換還是拉普拉斯變換都是無窮限的反常積分，只不過稍微復(fù)雜了一點(diǎn)，是含參變量的反常積分。這樣我們掌握好定積分概念，積分變換的基本概念也就得到掌握，進(jìn)一步可以更好的學(xué)習(xí)積分變換的性質(zhì)與應(yīng)用。

當(dāng)然依據(jù)定積分的定義來解決的問題很多，筆者僅僅在此舉出一些常見的概念的應(yīng)用。

三、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)理論體系中最基本的知識(shí)單元。對(duì)高等數(shù)學(xué)的積分學(xué)而言，如果對(duì)于定積分概念理解的比較深刻，通過定積分概念與其他知識(shí)點(diǎn)之間形成一個(gè)相互促進(jìn)的關(guān)系實(shí)現(xiàn)了對(duì)定積分概念的學(xué)以致用的目的，這對(duì)于我們學(xué)習(xí)后面的高等數(shù)學(xué)起到了不可估量的作用，它的作用不僅涉及到本門課程，而且涉及到后續(xù)其他課程。對(duì)于定積分概念的作用分析，啟迪我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)要時(shí)刻關(guān)注概念的內(nèi)涵與后續(xù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，使得對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)學(xué)以致用、融匯貫通的目的，滿足了高等教育中學(xué)生應(yīng)用能力培養(yǎng)的要求。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2015.

[2]李慶揚(yáng)，王能超，易大義.數(shù)值分析（第五版）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2008.

[3]張?jiān)?積分變換[M].北京：高等教育出版社，2012.

[4]高峻 .定積分與二重積分的轉(zhuǎn)換[J].襄樊職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，7（1）：12-14.

[5]韓振芳，張青，楊小姝.數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)[J].河北北方學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，22（2）：74-77+82.

[6]呼青英，張宏偉.定積分概念中蘊(yùn)涵的對(duì)立統(tǒng)一思想[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2008，24（5）：204-206.

[7]黃敢基，盧小梅，韋琳娜.淺談大學(xué)數(shù)學(xué)的概念教學(xué)設(shè)計(jì)[J].高教學(xué)刊，2016，12：83-84.