陳芳

摘要：新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活中需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的理性思維和創(chuàng)新能力方面不可替代的作用.因此，近年中考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行了大幅度改革，規(guī)律探索題頻頻出現(xiàn)在各地試卷中，異彩紛呈，成為熱點(diǎn)、創(chuàng)新題型之一.解規(guī)律探索題的關(guān)鍵是，準(zhǔn)確找出題目中隱含的規(guī)律，即撥開云霧.一旦找對(duì)這個(gè)隱含的規(guī)律，問題就能迎刃而解，即見月明.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)規(guī)律探索題

新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活中需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的理性思維和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用.因此，近年中考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行了大幅度改革，規(guī)律探索題頻頻出現(xiàn)在各地試卷中，異彩紛呈，成為熱點(diǎn)、創(chuàng)新題型之一.

規(guī)律探索題，設(shè)計(jì)獨(dú)特、新穎，蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，沒有現(xiàn)成的模式可套用，需要學(xué)生先從已知的事物中找出規(guī)律，然后解答.規(guī)律探索問題符合人的認(rèn)知規(guī)律，是訓(xùn)練、考查學(xué)生思維的靈活性和深刻性的創(chuàng)新題型.解規(guī)律探索問題，能使學(xué)生感受數(shù)學(xué)文化、拓寬數(shù)學(xué)視野、提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)，還能幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從模仿到創(chuàng)造的思維過程.

解規(guī)律探索題的關(guān)鍵是，準(zhǔn)確找出題目中隱含的規(guī)律，即撥開云霧.一旦找對(duì)這個(gè)隱含的規(guī)律，問題就能迎刃而解，即見月明.

下面結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐談?wù)劷馓剿饕?guī)律題的幾種常用思路.

一、計(jì)算特殊情況，探索一般規(guī)律

探索數(shù)字規(guī)律，一般從運(yùn)算入手，嘗試著做一些特殊情況下的計(jì)算，從所得出的結(jié)果中，分析符號(hào)、系數(shù)、字母、指數(shù)等方面與序號(hào)之間的關(guān)系，從而找出其中的規(guī)律.

例1化簡33…3n個(gè)3×33…3n個(gè)3+199…9n個(gè)9，并說明在結(jié)果中共有多少個(gè)奇數(shù)數(shù)字.

解析：本題粗看似乎無從下手，因?yàn)檫@里的n是一個(gè)不確定的數(shù).為了解決這個(gè)問題，我們可以先觀察n=1，2，3，4時(shí)的簡單情形：

n=1時(shí)，原式=3×3+19=28；

n=2時(shí)，原式=33×33+199=1288；

n=3時(shí)，原式=333×333+1999=112888；

n=4時(shí)，原式=3333×3333+19999=11128888.

在這些特例中，我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

33…3n個(gè)3×33…3n個(gè)3+199…9n個(gè)9=11…1（n-1）個(gè)1288…8n個(gè)8，結(jié)果中奇數(shù)數(shù)字有（n-1）個(gè).

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于較復(fù)雜的圖形類規(guī)律題，常涉及各知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，導(dǎo)致學(xué)生常常無從下手.對(duì)于這類題，可以根據(jù)相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)先算準(zhǔn)初始情況下的基本數(shù)據(jù)，然后找出數(shù)據(jù)規(guī)律.

例2正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如圖1的方式放置.點(diǎn)A1，A2，A3，…和點(diǎn)C1，C2，C3，…分別在直線y=kx+b（k>0）和x軸上.已知點(diǎn)B1（1，1），B2（3，2），則An的坐標(biāo)是，Bn的坐標(biāo)是.

解析：把A1（0，1），A2（1，2）代入y=kx+b，可得y=x+1.由計(jì)算易得A1（0，1），A2（1，2），A3（3，4），A4（7，8），可推得An（2n-1-1，2n-1）.由圖可知，Bn的橫坐標(biāo)與An+1的橫坐標(biāo)一樣，Bn的縱坐標(biāo)與An的縱坐標(biāo)一樣，所以Bn的坐標(biāo)是（2n-1，2n-1）.

點(diǎn)評(píng)：這里主要用到從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.通過對(duì)問題的簡單情形或特殊情況進(jìn)行分析、實(shí)驗(yàn)，從中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律.

二、 抓住主要矛盾，提取有用信息

有些題目看上去很大、很復(fù)雜，實(shí)際上關(guān)鍵性的內(nèi)容并不多.認(rèn)真分析這類題目，并把其中關(guān)鍵的內(nèi)容抽出來，題目的難度就會(huì)降低，問題也就容易解決了.

例3觀察下表.根據(jù)表中反映的規(guī)律，第n行第n列交叉點(diǎn)上的數(shù)應(yīng)為.

第一列第二列第三列第四列

第一行1234

第二行2345

第三行3456

第四行4567

……………

解析：此題看上去數(shù)據(jù)比較多，實(shí)際上結(jié)合所求后我們會(huì)發(fā)現(xiàn)問題很簡單：只需把左上角至右下角對(duì)角線上的數(shù)依次抽取出來，即1，3，5，7，…可見，這是從1開始的奇數(shù)排列，于是問題便轉(zhuǎn)化成求第n個(gè)奇數(shù)的表達(dá)式.答案是2n-1.

三、善于比較鑒別，尋找異同點(diǎn)

“有比較，才有鑒別”.通過比較，我們可以發(fā)現(xiàn)事物的異同點(diǎn)，因而容易發(fā)現(xiàn)事物的變化規(guī)律.規(guī)律探索題，通常會(huì)先按照一定的順序給出一系列量，要求我們根據(jù)這些已知的量找出一般規(guī)律.揭示的規(guī)律，常常與事物的序列號(hào)有關(guān)，所以把變量和序列號(hào)放在一起加以比較，就容易發(fā)現(xiàn)其中的奧秘.

例4觀察下列各式.

13=12；

13+23=32；

13+23+33=62；

13+23+33+43=102；

……

猜想：13+23+33+…+103=.

解析：此題給出的都是等式.對(duì)于等式，我們要左右兩邊分別來考慮，需要進(jìn)行比較的因素也比較多.從上到下觀察左邊，發(fā)現(xiàn)第n個(gè)等式的左邊就是從1到n這n個(gè)連續(xù)自然數(shù)的立方和；而右邊都是某個(gè)數(shù)的平方，關(guān)鍵是要發(fā)現(xiàn)這些底數(shù)的變化規(guī)律：僅將這些底數(shù)1，3，6，10，…與序列號(hào)相比較其規(guī)律表述不方便.換個(gè)角度，將右邊的這個(gè)底數(shù)與左邊的各加數(shù)的底數(shù)相比較，發(fā)現(xiàn)右邊的底數(shù)等于左邊的各加數(shù)的底數(shù)和.故13+23+33+…+103=（1+2+3+…+10）2=552.

四、找出關(guān)鍵變量，探究變化規(guī)律

規(guī)律探索題，一般都會(huì)涉及一個(gè)或者幾個(gè)變化的量.找出規(guī)律，在多數(shù)情況下，就是要找出變量的變化規(guī)律.抓住了變量，就等于抓住了解決問題的關(guān)鍵.

例5如圖2，探索n×n的正方形釘子板上（n是釘子板每邊上的釘子數(shù)），連接任意兩個(gè)釘子所得到的不同長度值的線段種數(shù).

當(dāng)n=1時(shí)，釘子板上所連不同線段的長度值只有1與2，所以不同長度值的線段只有2種，若用S表示不同長度值的線段種數(shù)，則S=2；

當(dāng)n=2時(shí)，釘子板上所連不同線段的長度值只有1，2，2，5，22五種，比n=2時(shí)增加了3種，即S=2+3=5.

對(duì)n×n的釘子板，寫出用n表示S的代數(shù)式.

解析：比較圖2中第1、2兩張圖，發(fā)現(xiàn)實(shí)際上第2張圖中包含有第一張圖，即深色的那一部分，所以數(shù)第2張圖中的線段種數(shù)只需數(shù)出不包含在深色部分的線段種數(shù)，即3種，再加上第1張圖中的2種，即有2+3=5種.再比較第2、3兩張圖，易見第3張圖比第2張圖多4種，故第3張圖共有2+3+4=9種；同樣，可知第4張圖共有2+3+4+5=14種.再利用上述講到的第二種比較的思路，可知對(duì)n×n的釘子板，S=2+3+…+（n+1）=n（n+3）2.

五、尋覓循環(huán)規(guī)律，計(jì)算具體位置

有些題目包含著事物的循環(huán)規(guī)律，找到了事物的循環(huán)規(guī)律，問題就能迎刃而解.解決這類規(guī)律題，首先要找出一個(gè)循環(huán)節(jié)需要幾次變化，并清楚循環(huán)節(jié)內(nèi)數(shù)或圖形的變化規(guī)律，其次要得到關(guān)于循環(huán)節(jié)節(jié)數(shù)的商和余數(shù)，最后由商和余數(shù)的實(shí)際意義作答即可.

例6把多塊大小不同的30°直角三角板按如圖3擺放在平面直角坐標(biāo)系中，第一塊三角板AOB的一條直角邊與y軸重合且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），∠ABO=30°；第二塊三角板的斜邊BB1與第一塊三角板的斜邊AB垂直且交y軸于點(diǎn)B1；第三塊三角板的斜邊B1B2與第二塊三角板的斜邊BB1垂直且交x軸于點(diǎn)B2；第四塊三角板的斜邊B2B3與第三塊三角板的斜邊B1B2C垂直且交y軸于點(diǎn)B3；…按此規(guī)律繼續(xù)下去，則點(diǎn)B2017的坐標(biāo)為.

OB=OA·tan60°=1×3=3，

OB1=OB·tan60°=3×3=（3）2=3，

OB2=OB1·tan60°=（3）3，…

∵2017÷4=506…1，

∴點(diǎn)B2017的坐標(biāo)為（0，-（3）2018）.

總之，“條條道路通羅馬”.解規(guī)律探索題的思路還有很多，這里只是簡單地總結(jié)了一些常用的解題思路.要讓學(xué)生快速、準(zhǔn)確地解該類型的題，教師就要引領(lǐng)學(xué)生身臨其境，從不同的角度去觀察、分析、探索，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，使學(xué)生在深入思考、尋找本質(zhì)規(guī)律的過程中提高解題能力，從而適應(yīng)時(shí)代的發(fā)展.