陳健

考綱解讀

（1）抽樣方法的選擇、與樣本容量相關(guān)的計(jì)算，尤其是分層抽樣中的相關(guān)計(jì)算，A級(jí)要求.

（2）圖表中的直方圖、莖葉圖都可以作為考查點(diǎn)，尤其是直方圖更是考查的熱點(diǎn)，A級(jí)要求.

（3）方差、標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算都是考查的熱點(diǎn)，B級(jí)要求.

（4）隨機(jī)事件的概率計(jì)算，通常以古典概型、幾何概型的形式出現(xiàn)，B級(jí)要求.

真題感悟

1.（2015·江蘇卷）已知一組數(shù)據(jù)4，6，5，8，7，6，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 .

解析：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16（4+6+5+8+7+6）=6.

2.（2016·江蘇卷）已知一組數(shù)據(jù)4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是 .

解析：=4.7+4.8+5.1+5.4+5.55=5.1，

則方差s2=15[（4.7-5.1）2+（4.8-5.1）2+（5.1-5.1）2+（5.4-5.1）2+（5.5-5.1）2]=0.1.

3.（2017·江蘇卷）某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200，400，300，100件.為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取 件.

解析：所求件數(shù)為60×3001000=18.

4.（2015·江蘇卷）袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為 .

解析：用a表示1只白球，b表示1只紅球，c1，c2表示2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球的所有基本事件有如下6種：（a，b），（a，c1），（a，c2），（b，c1），（b，c2），（c1，c2），其中除了（c1，c2）余下的5種均表示取出的兩球顏色不同，故所求概率為56.

5.（2016·江蘇卷）將一顆質(zhì)地均勻的骰子（一種各個(gè)面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具）先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10的概率是 .

解析：基本事件共有36個(gè).如下：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），其中滿足點(diǎn)數(shù)之和小于10的有30個(gè).故所求概率為P=3036=56.

6.（2017·江蘇卷）記函數(shù)f（x）=6+x-x2的定義域?yàn)镈.在區(qū)間[-4，5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x∈D的概率是 .

解析：由6+x-x2≥0，即x2-x-6≤0得-2≤x≤3，根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式得x∈D的概率是3-（-2）5-（-4）=59.

考點(diǎn)整合

1.概率問題

（1）求某些較復(fù)雜的概率問題時(shí)，通常有兩種方法：一是將其分解為若干個(gè)彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A的對立事件的概率，然后利用P（A）=1-P（）可得解；

（2）用列舉法把古典概型試驗(yàn)的基本事件一一列出來，然后再求出事件A中的基本事件，利用公式P（A）=mn求出事件A的概率，這是一個(gè)形象、直觀的好辦法，但列舉時(shí)必須按照某一順序做到不重復(fù)，不遺漏；

（3）求幾何概型的概率，最關(guān)鍵的一步是求事件A所包含的基本事件所占據(jù)區(qū)域的測度，這里需要解析幾何的知識(shí)，而最困難的地方是找出基本事件的約束條件.

2.統(tǒng)計(jì)問題

（1）統(tǒng)計(jì)主要是對數(shù)據(jù)的處理，為了保證統(tǒng)計(jì)的客觀和公正，抽樣是統(tǒng)計(jì)的必要和重要環(huán)節(jié)，抽樣的方法有三：簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣；

（2）用樣本頻率分布來估計(jì)總體分布一節(jié)的重點(diǎn)是：頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制及用樣本頻率分布估計(jì)總體分布；難點(diǎn)是：頻率分布表和頻率分布直方圖的理解及應(yīng)用；

（3）用莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是原有信息不會(huì)抹掉，能夠展示數(shù)據(jù)分布情況，但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時(shí)，莖葉圖就顯得不太方便了.

熱點(diǎn)聚焦

熱點(diǎn)一 統(tǒng)計(jì)中的命題熱點(diǎn)

1.抽樣方法

例1 （1）某校高一年級(jí)有學(xué)生400人，高二年級(jí)有學(xué)生360人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從全校學(xué)生中抽出55人，其中從高一年級(jí)學(xué)生中抽出20人，則從高三年級(jí)學(xué)生中抽取的人數(shù)為 .

（2）在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動(dòng)員的成績（單位：分鐘）的莖葉圖如圖所示：

若將運(yùn)動(dòng)員按成績由好到差編為1～35號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間[139，151]上的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是 .

解析：（1）由題意可得從高二年級(jí)學(xué)生中抽取的人數(shù)為20400×360=18，故從高三年級(jí)學(xué)生中抽取的人數(shù)為55-20-18=17.

（2）由題意知，將1～35號(hào)分成7組，每組5名運(yùn)動(dòng)員，落在區(qū)間[139，151]的運(yùn)動(dòng)員共有4組，故由系統(tǒng)抽樣法知，共抽取4名.

評(píng)注：系統(tǒng)抽樣又稱“等距”抽樣，被抽到的各個(gè)號(hào)碼間隔相同；分層抽樣滿足：各層抽取的比例都等于樣本容量在總體容量中的比例.

2.用樣本估計(jì)總體

例2 （1）為了了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長情況，隨機(jī)抽測了其中60株樹木的底部周長（單位：cm），所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80，130]上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的60株樹木中，有 株樹木的底部周長小于100cm.

（2）某射擊選手連續(xù)射擊5槍命中的環(huán)數(shù)分別為97，99，101，102，101，則這組數(shù)據(jù)的方差為 .

解析：（1）由頻率分布直方圖可知，抽測的60株樹木中，底部周長小于100cm的株數(shù)為（0.015+0025）×10×60=24.

（2）由題意得這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為15×（9.7+99+10.1+10.2+10.1）=10，則其方差為15×[（97-10）2+（9.9-10）2+（10.1-10）2+（10.2-10）2+（10.1-10）2]=0.032.

評(píng)注：（1）頻率分布直方圖是表達(dá)和分析數(shù)據(jù)的重要工具，求解此類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握數(shù)與形的相關(guān)轉(zhuǎn)換，注意頻率分布直方圖中每一個(gè)小矩形都是等寬的，且寬都等于組距，高是“頻率組距”.因此，每一個(gè)小矩形的面積表示這一組的頻率，所有小矩形的面積之和等于1.（2）準(zhǔn)確把握方差的計(jì)算公式.

熱點(diǎn)二 概率中的命題熱點(diǎn)

1.古典概型

例3 （1）從1，2，3，6這4個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取2個(gè)數(shù)，則所取2個(gè)數(shù)的乘積為6的概率是 .

（2）為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是 .

解析：（1）取兩個(gè)數(shù)的所有情況有：（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6），共6種情況.乘積為6的情況有：（1，6），（2，3），共2種情況.所求事件的概率為26=13.

（2）從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，共有6種選法.紅色和紫色的花不在同一花壇的有4種選法，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式，所求的概率為46=23.

評(píng)注：求古典概型概率的關(guān)鍵是求試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹形圖法，具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)需要靈活選擇.

2.幾何概型

例4 （1）某公司的班車在7：30，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是 .

（2）設(shè)復(fù)數(shù)z=（x-1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，則y≥x的概率為 .

解析：（1）如圖所示，畫出時(shí)間軸：

小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段AB中，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段AC或DB時(shí)，才能保證他等車的時(shí)間不超過10分鐘，根據(jù)幾何概型得所求概率P=10+1040=12.

（2）由|z|≤1可得（x-1）2+y2≤1，表示以（1，0）為圓心，半徑為1的圓及其內(nèi)部，滿足y≥x的部分為如圖陰影所示，由幾何概型概率公式可得所求概率為：

p=14π×12-12×12π×12=π4-12π=14-12π.

評(píng)注：幾何概型的概率求解，一般要將問題轉(zhuǎn)化為長度、面積或體積等幾何問題.在轉(zhuǎn)化中，面積問題的求解常常用到線性規(guī)劃知識(shí)，也就是用二元一次不等式（或其他簡單不等式）組表示區(qū)域.幾何概型的試驗(yàn)中事件A的概率P（A）只與其所表示的區(qū)域的幾何度量（長度、面積或體積）有關(guān)，而與區(qū)域的位置和形狀無關(guān).

要點(diǎn)總結(jié)

1.幾何概型與古典概型的異同：幾何概型與古典概型是經(jīng)常用的兩種概率模型，二者的共同點(diǎn)是基本事件是等可能的；不同點(diǎn)是幾何概型的基本事件數(shù)是無限的，古典概型的基本事件數(shù)是有限的.

2.在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應(yīng)的頻率，各小長方形的面積和為1.

3.眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的異同：眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量，平均數(shù)是最重要的量.

4.當(dāng)總體的個(gè)體數(shù)較少時(shí)，可直接分析總體取值的頻率分布規(guī)律而得到總體分布；當(dāng)總體容量很大時(shí)，通常從總體中抽取一個(gè)樣本，分析它的頻率分布，以此估計(jì)總體分布.

①總體期望的估計(jì)，計(jì)算樣本平均值=1n∑ni=1xi.

②總體方差（標(biāo)準(zhǔn)差）的估計(jì)：方差=1n∑ni=1（xi-）2，標(biāo)準(zhǔn)差=方差，方差（標(biāo)準(zhǔn)差）較小者較穩(wěn)定.

預(yù)測訓(xùn)練

1.某報(bào)社做了一次關(guān)于“什么是新時(shí)代的雷鋒精神”的調(diào)查，在A，B，C，D四個(gè)單位回收的問卷數(shù)依次成等差數(shù)列，且共回收1000份，因報(bào)道需要，再從回收的問卷中按單位分層抽取容量為150的樣本，若在B單位抽30份，則在D單位抽取的問卷是 份.

2.某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調(diào)查，將840人按1，2，…，840隨機(jī)編號(hào)，則抽取的42人中，編號(hào)落入?yún)^(qū)間[481，720]的人數(shù)為 人.

3.將某選手的9個(gè)得分去掉1個(gè)最高分，去掉1個(gè)最低分，7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91.現(xiàn)場作的9個(gè)分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來有1個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法辨認(rèn)，在圖中以x表示：

則7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的方差為 .

4.為了解某校高三學(xué)生聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績情況，從該校參加聯(lián)考學(xué)生的數(shù)學(xué)成績中抽取一個(gè)樣本，并分成五組，

繪成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組至第五組的頻率之比為1∶2∶8∶6∶3，第五組的頻數(shù)為6，則樣本容量為 .

5.某天下課以后，教室里還剩下2位男同學(xué)和2位女同學(xué).若他們依次走出教室，則第2位走出的是男同學(xué)的概率是 .

6.盒中有3張分別標(biāo)有1，2，3的卡片，從盒中隨機(jī)抽取一張記下號(hào)碼后放回，再隨機(jī)抽取一張記下號(hào)碼，則兩次抽取的卡片號(hào)碼中至少有一個(gè)為偶數(shù)的概率為 .

7.設(shè)x∈[0，π]，則sinx<12的概率為 .

8.點(diǎn)P在邊長為2的正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離|PA|<1的概率為 .

預(yù)測訓(xùn)練答案與解析

1.60 解析：由題意依次設(shè)在A，B，C，D四個(gè)單位回收的問卷數(shù)分別為a1，a2，a3，a4，則30a2=1501000， ∴a2=200.又a1+a2+a3+a4=1000，即3a2+a4=1000，∴a4=400.設(shè)在D單位抽取的問卷數(shù)為n，∴n400=1501000，解得n=60.

2.12 解析：按照系統(tǒng)抽樣的規(guī)則，將840名職工分成42組，每組抽取1人，其中編號(hào)481在第25組，編號(hào)720在第36組，其中共有12組.因而編號(hào)落入?yún)^(qū)間[481，720]的人數(shù)為12.

3.367 解析：由圖可知去掉的兩個(gè)數(shù)是87，99，所以87+90×2+91×2+94+90+x=91×7，x=4.s2=17[（87-91）2+（90-91）2×2+（91-91）2×2+（94-91）2×2]=367.

4.40 解析：因?yàn)榈谝唤M至第五組的頻率之比為1∶2∶8∶6∶3，所以可設(shè)第一組至第五組的頻率分別為k，2k，8k，6k，3k，又頻率之和為1，所以k+2k+8k+6k+3k=1，解得k=120=0.05，所以第五組的頻率為3×0.05=0.15，又第五組的頻率為6，所以樣本容量為60.15=40.

5.12 解析：已知2位女同學(xué)和2位男同學(xué)走出的所有可能順序有（女，女，男，男），（女，男，女，男），（女，男，男，女），（男，男，女，女），（男，女，男，女），（男，女，女，男），所以第2位走出的是男同學(xué)的概率P=36=12.

6.59 解析：對立事件為：兩次抽的卡片號(hào)碼中都為奇數(shù)，共有2×2=4種抽法.而有放回的兩次抽了卡片共有3×3=9種基本事件，因此所求事件概率為1-49=59.

7.13 解析：由sinx<12且x∈[0，π]，借助于正弦曲線可得x∈[0，π6]∪[5π6，π]，∴P=π6×2π-0=13.

8.π16 解析：在正方形ABCD中，其中滿足動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離|PA|<1的平面區(qū)域如圖中陰影所示，則正方形的面積S=4，陰影部分的面積S陰影=π4，故動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離|PA|<1的概率P=π16.