楊海霞
一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共計70分)
1.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=2i1+i(i為虛數(shù)單位)對應(yīng)點的坐標(biāo)是 .
2.設(shè)集合A={0,a},B={2a,b},若A∩B={1},則A∪B= .
3.“x=π4”是“tanx=1”成立的 條件.(填“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分也不必要”.)
4.為了了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長情況,隨機(jī)測量了其中100株樹木的底部周長(單位:cm)所得數(shù)據(jù)如圖,那么在這100株樹木中,底部周長不小于110cm的有 株.
5.在△ABC的邊AB上隨機(jī)取一點P,記△CAP和△CBP的面積分別為S1和S2,則S1>2S2的概率是 .
6.已知一個圓錐的母線長為2,側(cè)面展開圖是半圓,則該圓錐的體積為 .
7.若雙曲線x2m-y2m+2=1的一個焦點與拋物線y2=8x的焦點相同,則雙曲線的離心率為 .
8.當(dāng)x∈[2,8]時,關(guān)于x的不等式log2x+logx16-a≥0恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是 .
9.如圖是一個算法流程圖,則輸出的P= .
10.已知角α的終邊過點P(-4a,3a)(a≠0),則sin(π+α)sin(π2-α)的值是 .
11.設(shè)x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),若|a+b|=|a-b|,則a與a+b的夾角是 .
12.若x>12,則4x+41-x2x-21-x的最小值為 .
13.設(shè)函數(shù)f(x)是偶函數(shù),且當(dāng)x≥0時,f(x)=||x-a|-b|(a,b>0),若方程f(x)=2有8個不同實數(shù)根,且它們成等差數(shù)列,則a-b= .
14.在等差數(shù)列{an}中,若a21+a27=18,則數(shù)列{an}前15項和S15的最大值為 .
二、解答題(本大題共6小題,共計90分)
15.(本題滿分14分)
如圖,在四棱錐OABCD中,底面ABCD為菱形,OA⊥平面ABCD,E為OA的中點,F(xiàn)為BC的中點.
(1)求證:直線BD⊥平面ACO;
(2)求證:直線EF∥平面OCD.
16.(本題滿分14分)
已知在△ABC中,角A、B、C所對的邊為a、b、c.若向量m=(cosB,sinC),n=(cosC,-sinB),且m·n=-22.
(1)求∠A的大?。?/p>
(2)若邊a=2且cosB=35,求△ABC的邊c的大小.
17.(本題滿分14分)
如圖所示,有一塊半徑長為2米的圓形鋼板,現(xiàn)要從中截取一個內(nèi)接四邊形ABCD加工成一個零部件,已知A、B為圓O上的兩個固定點,且∠AOB=π2,P為優(yōu)弧AB的中點.設(shè)C、D(C在D左側(cè))為優(yōu)弧AB上的兩個不同的動點,且CD∥AB.記∠POD=α,四邊形ABCD的面積為S平方米.
(1)求S關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式,并指出其定義域;
(2)當(dāng)α為何值時,S取得最大值?并求出S的最大值.
18.(本題滿分16分)
如圖,橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和圓C2:x2+y2=b22,橢圓C1短軸的上端點為A,左焦點為F,直線AF與圓C2相切,且與橢圓交于另一點B,橢圓C1左焦點到左準(zhǔn)線的距離為1.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè)點N為橢圓C1上異于A、B的任意一點,求△ABN面積的最大值;
(3)試探求x軸上是否存在定點M,使得∠AMF=∠BMF,若存在,求點M的坐標(biāo),若不存在,則說明理由.
19.(本題滿分16分)
設(shè)數(shù)列{an}的首項a,前n項和為An,且An+An+1=2n2+2n+1(n∈N*),
(1)設(shè){an}為等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)A2015=2014×2016,求a;
(3)設(shè)bn=|2a2n-2a2n-1|,數(shù)列{bn}的前n項和為Bn,求B10.
20.(本題滿分16分)
已知函數(shù)fn(x)=xn(a-x),(n∈N*,a∈R).且曲線y=f2(x)在x=1處的切線方程為x+y+b=0.
(1)求實數(shù)a,b;
(2)求函數(shù)y=fn(x)(n∈N*,n為常數(shù))在區(qū)間[0,2]上的最小值;
(3)證明:x∈(0,+∞),n∈N*,均有n·fn(x)<1e.
附加題
21.
B.選修42:矩陣與變換(本小題滿分10分)
已知矩陣M=12
2x的一個特征值為-1,求其另一個特征值.
C.選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(本小題滿分10分)
在極坐標(biāo)系中,已知圓C經(jīng)過點P(3,π6),圓心為直線ρsin(π3-θ)=32與極軸的交點,求圓C的極坐標(biāo)方程.
22.(本小題滿分10分)
如圖,四棱錐PABCD的底面ABCD是正方形,PD=CD,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,E是PC的中點.
(1)求二面角BDEC的平面角的余弦值;
(2)在棱PB上是否存在點F,使PB⊥平面DEF?若存在,求點F的坐標(biāo),若不存在說明理由.
23.(本小題滿分10分)
設(shè)f(n)=2Cn2nCn+12n+2,(n∈N*).
(1)若f(n)=611,求n的值;
(2)求證:2<[2f(n)]2n+1<3(n∈N*).
參考答案
一、填空題
1.(1,1)
2.{0,1,2}
3.充分不必要
4.30
5.13
6.33π
7.2
8.(-∞,4]
9.56
10.1225
11.π4
12.4
13.4
14.75
二、解答題
15.(1)因為OA⊥面ABCD,BD面ABCD,
所以O(shè)A⊥BD.
又因為四邊形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,
因為OA,AC面ACO且OA∩AC=A,
所以BD⊥面ACO.
(2)取OD的中點G,連結(jié)EG,CG,
在△AOD中,E為OA的中點,G為OD的中點,
在菱形ABCD中,F(xiàn)是BC的中點,
所以EF∥CG.
又因為CG平面OCD,EF平面OCD,
所以EF∥平面OCD.