江志杰

圓是中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的幾何圖形之一，也是建構(gòu)數(shù)學(xué)問題、探索解題思路的直觀模型.利用圓的軌跡描述、分析數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)與形的聯(lián)系，有助于我們進(jìn)一步發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，增強(qiáng)運(yùn)用圖形和直觀想象思考問題的意識，提升數(shù)形結(jié)合的能力，感悟數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，培養(yǎng)創(chuàng)新思維.下面筆者根據(jù)中學(xué)階段圓的若干定義，談?wù)勅绾卫脠A的定義構(gòu)造圓直觀簡捷地化解相關(guān)數(shù)學(xué)問題，并且在分析和解決問題中發(fā)展直觀想象核心素養(yǎng)！

一、從原始定義構(gòu)造圓

中學(xué)階段圓的最基本定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是圓，其中定點(diǎn)和定長分別為該圓的圓心和半徑.據(jù)此，我們經(jīng)常借助“距離”模型來形象看待有關(guān)含向量（或復(fù)數(shù)）模的方程，進(jìn)而構(gòu)成圓的軌跡雛形.比如復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)落在單位圓上；又如向量AB滿足|AB|=2，則向量AB的長度為2，當(dāng)其中點(diǎn)B的位置固定時，點(diǎn)A落在以點(diǎn)B為圓心、半徑為2的圓上…….我們平時就要有這樣數(shù)形結(jié)合、動靜相輔的眼光以及直觀想象的素養(yǎng)，來觀察、理解、分析各類不同方式表達(dá)的數(shù)學(xué)問題，增強(qiáng)直觀轉(zhuǎn)化、形象化解的能力！

例1 已知a，b是單位向量，a·b=0，若向量c滿足|c-a-b|=1，則|c|的取值范圍是 .

解析：本題|c-a-b|=1即|c-（a+b）|=1，可理解為動向量c的終點(diǎn)P與定向量a+b的終點(diǎn)M的距離為1（兩向量的起點(diǎn)均為原點(diǎn)O），由單位正方形模型易得|a+b|=2，不妨將向量a+b的終點(diǎn)M固定在點(diǎn)（2，0），則點(diǎn)P在以點(diǎn)M為圓心、半徑為1的圓上運(yùn)動，易得|PO|=|c|∈[2-1，2+1].從而使得本題在直觀形象的模型中輕易地化解，我們熟知圓的各種定義其實(shí)就是構(gòu)建合理數(shù)學(xué)模型的思維基礎(chǔ)！

例2 直線l：y=kx+4-3k（k∈R）與函數(shù)f（x）=4x-11x-3的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（x，y）是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)，滿足|PA+PB|=2，則x2+y2的取值范圍是 .

解析：由于函數(shù)f（x）=4x-11x-3=4+1x-3表示對稱中心為O′（3，4）的雙曲線，直線l：y=kx+4-3k（k∈R）即y-4=k（x-3）恰好恒過點(diǎn)O′（3，4），故A，B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)O′對稱，從而|PA+PB|=2可化為|2PO′|=2，|PO′|=1，說明點(diǎn)P在以點(diǎn)O′為圓心、半徑為1的圓上運(yùn)動，所以x2+y2=|OP|2∈[16，36].本題關(guān)鍵點(diǎn)O′（3，4）是一大核心樞紐，使得直線方程、雙曲線解析式、向量模的關(guān)系式三者之間一脈相承，最終由圓的定義匯聚于圓這一常見模型！可見我們平時要善于通過數(shù)學(xué)運(yùn)算、變形變式、直覺猜想、數(shù)學(xué)抽象等過程，從數(shù)學(xué)問題中挖掘、捕捉有用的數(shù)學(xué)信息，才能將抽象費(fèi)解的數(shù)學(xué)問題置換于形象直觀的幾何背景下解決！

例3 設(shè)函數(shù)f（x）=|x2-2x-1|，若a>b≥1，f（a）=f（b），則對任意的實(shí)數(shù)c，（a-c）2+（b+c）2的最小值為 .

解析：本題目標(biāo)“（a-c）2+（b+c）2”給我們最直觀的印象——表示點(diǎn)（a，b）與點(diǎn)（c，-c）之間距離的平方，注意到實(shí)數(shù)c的任意性，進(jìn)而理解為動點(diǎn)（a，b）到定直線y=-x的距離平方，這是順利解決本題的首要基礎(chǔ)！結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象，由a>b≥1，f（a）=f（b）化簡得a2-2a-1=-（b2-2b-1）（其中1≤b<1+2

二、從垂直關(guān)系構(gòu)造圓

值得一提的是上述基本定義并非構(gòu)成圓的唯一方式，還有如下的常見表達(dá)：

平面內(nèi)對兩個定點(diǎn)的張角為直角的點(diǎn)的軌跡是以這兩個定點(diǎn)連線為直徑端點(diǎn)的圓（不含這兩個定點(diǎn)）.注意該定義又有以下的等價變式：

平面內(nèi)，若動點(diǎn)P與兩個定點(diǎn)A，B連線的斜率之積為-1，則動點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓（不含定點(diǎn)A，B和斜率為零時的點(diǎn)）；

平面內(nèi)，若動點(diǎn)P和兩個定點(diǎn)A，B滿足PA·PB=0，則動點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓.

例4 已知m∈R，若點(diǎn)M為直線l1：my=-x和l2：mx=y+m-3的交點(diǎn)，l1和l2分別過定點(diǎn)A和B，則|MA|·|MB|的最大值為 .

解析：本題入手首要在于從兩個含參的直線方程中發(fā)現(xiàn)l1⊥l2，意味著點(diǎn)M在以定點(diǎn)A（0，0），B（1，3）為直徑端點(diǎn)的圓上運(yùn)動，而|MA|·|MB|的幾何意義表示Rt△MAB面積的2倍，因此借助幾何直觀有：|MA|·|MB|=|AB|·dMAB≤2r2=5.這就說明垂直關(guān)系往往蘊(yùn)含著圓的模型，其就是我們構(gòu)造圓解題的重要依據(jù)！

例5 已知兩點(diǎn)A（-m，0）和B（m+2，0）（m>0），若在直線l：x+3y-9=0上存在點(diǎn)P，使得PA⊥PB，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .

解析：若能注意到點(diǎn)P落在以AB為直徑的圓（x-1）2+y2=（m+1）2上，則問題轉(zhuǎn)為直線l：x+3y-9=0與該圓存在公共點(diǎn)，由d=|1+0-9|12+（3）2=4≤m+1得m≥3.可見構(gòu)造圓這一經(jīng)典模型有助于化解問題的抽象性、提升數(shù)形結(jié)合的直觀性.類似地，本題還有如下變式：

變式：已知圓C：（x-3）2+（y-4）2=1和兩點(diǎn)A（-m，0），B（m，0）（m>0），若圓上存在點(diǎn)P，使得∠APB=90°，則m的取值范圍是 .（答案：[4，6]）

三、從性質(zhì)定理構(gòu)造圓

上述從垂直關(guān)系構(gòu)造圓的軌跡，還可以進(jìn)行一般化的推廣和補(bǔ)充.我們知道圓具有這樣的性質(zhì)：在圓內(nèi)，同弧（或同弦）所對的圓周角相等.反之，平面內(nèi)對兩個定點(diǎn)的張角為定值的點(diǎn)落在以兩個定點(diǎn)連線為弦的一側(cè)圓弧上，于是即有：

平面內(nèi)，若動點(diǎn)P和兩個定點(diǎn)A，B滿足∠APB=θ（θ∈（0，π2）∪（π2，π）），則動點(diǎn)P的軌跡是弦AB一側(cè)的圓?。ú缓@兩個定點(diǎn)）；

這其實(shí)上告訴我們可以此逆用圓的性質(zhì)定理來構(gòu)造圓的模型，并用之輔助解題！

例6 如圖在△ABC中，∠ACB=60°，點(diǎn)D在AB的延長線上，AB=2BD=23，則CD長的最小值為 .

解析：本題中抓住∠ACB=60°和AB=23的不變性，

視頂點(diǎn)C在△ABC的外接圓O（半徑為2）上運(yùn)動，求得圓心O到邊AB的距離為1，故|OD|=12+（23）2=13，從而有|CD|min=13-2.

例7 設(shè)向量a，b，c滿足：|a|=|b|=1，a·b=-12，=60°，則|c|的最大值等于 .

解析：本題良好的解題素養(yǎng)體現(xiàn)于將相關(guān)的向量元素巧妙地整合在同一個圓的模型中：如圖，設(shè)OA=a，OB=b，OC=c，則CA=a-c，CB=b-c，∠ACB=60°，∠AOB=120°，故頂點(diǎn)C、O在△ABC的外接圓上（其中AB=3，外接圓的半徑r=1）.從而|c|max=|OC|max=2.本題表面上雖為平面向量背景，但借助數(shù)學(xué)直觀想象，便可發(fā)現(xiàn)其與上述例6有著異曲同工之妙！

四、從定比關(guān)系構(gòu)造圓

平面內(nèi)，若動點(diǎn)P到兩個定點(diǎn)A，B距離之比為常數(shù)λ（λ≠1），則動點(diǎn)P的軌跡是一個圓.而且這是以定比λ內(nèi)分和外分線段AB的兩個分點(diǎn)的連線為直徑的圓，這種軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的，因此這種圓也稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓；有關(guān)阿氏圓的定義應(yīng)用一直層出無窮、經(jīng)久不衰！

例8 已知等腰三角形腰上的中線長為2，則該三角形的面積最大值是 .

解析：如圖在等腰△ABC中，設(shè)點(diǎn)D為腰AC的中點(diǎn)，注意到AB=AC=2AD，且中線BD=2.不妨?xí)簳r固定D，B兩點(diǎn)，且以點(diǎn)D為原點(diǎn)，直線BD為x軸，則由|AB|=2|AD|可求得動點(diǎn)A的軌跡方程為：（x+23）2+y2=169，即點(diǎn)A在以（-23，0）為圓心、半徑為43的圓上運(yùn)動，顯然當(dāng)點(diǎn)A到直線BD的最大距離為dmax=r=43時，

S△ABC|max=（2S△ABD）max=2×12×2×43=83.本題之所以建系設(shè)點(diǎn)，緣于由|AB|=2|AD|發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A在某一定圓上運(yùn)動，說明通過兩線段的定比關(guān)系是我們構(gòu)造圓的又一重要來源，也是形成直觀想象素養(yǎng)的知識基礎(chǔ)！

變式：在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且c=2，b=2a，則△ABC面積的最大值是 .（答案：22）

解析：首先由b=2a注意到動點(diǎn)C在以定比2內(nèi)分和外分線段AB的兩個分點(diǎn)的連線為直徑的圓上運(yùn)動，以此求得AB邊上高的最大值為22，S△ABC|max=22.無疑比用正、余弦定理入手解三角形更為直截了當(dāng)、更為直觀形象，問題本質(zhì)更為鮮明清晰！

例9 在三棱錐PABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=23，O為AC的中點(diǎn)，過C作BO的垂線，交BO，AB分別于R，D.若∠DPR=∠CPR，則三棱錐PABC體積的最大值為 .

解析：憑借直覺感知，要求三棱錐PABC體積的最大值，關(guān)鍵求點(diǎn)P到平面ABC的最大距離d，這就要求平面PCD⊥平面PBC，且點(diǎn)P到直線CD的距離最大.在含30°的Rt△ABC中，易得CR=3，DR=1.在△PCD中，由PR平分∠DPC得到：PCPD=CRDR=3，根據(jù)阿氏圓的定義說明：點(diǎn)P在以定比3內(nèi)分和外分線段CD的兩個分點(diǎn)R，R′（RR′=3）的連線為直徑的圓上運(yùn)動，故dmax=32，于是有：VPABC|max=13·12·6·23·32=33.

點(diǎn)評：本例充分體現(xiàn)：只有在熟練運(yùn)用圓的各種定義、具備一定直觀想象核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)上，方能在動態(tài)變幻的空間幾何體發(fā)現(xiàn)或感知圓的軌跡存在.

例10 已知點(diǎn)P在邊長為2的等邊三角形ABC的內(nèi)切圓上運(yùn)動，則AP+2PB的最小值是 .

解析：根據(jù)阿氏圓定義，等邊三角形ABC的內(nèi)切圓可看作是到某兩個定點(diǎn)距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡.為此我們猜想存在某一定點(diǎn)E，使得目標(biāo)式AP+2PB中AP=2PE，從而轉(zhuǎn)為求2（PE+PB）的最小值.注意到中線AD的端點(diǎn)D恰在該內(nèi)切圓上，猜想定點(diǎn)E應(yīng)位于中線AD的中點(diǎn)，并且內(nèi)切圓與中線AD的另一交點(diǎn)F點(diǎn)恰也滿足AF=2EF，印證了△ABC的內(nèi)切圓可看作是到兩個定點(diǎn)A，E距離之比為2的點(diǎn)的軌跡，2（PE+PB）|min=2BE.在△ABE中，

BE=22+（32）2-2·2·32cos30°=72，

故AP+2PB的最小值為7.

點(diǎn)評：本例逆用阿氏圓定義，將已知圓視作到某兩定點(diǎn)距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡，從而使將目標(biāo)式AP+2PB巧妙轉(zhuǎn)化、直觀求解！

【結(jié)束語】 筆者以為：數(shù)學(xué)定義是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，是數(shù)學(xué)解題的基礎(chǔ)和推理的依據(jù)，也是發(fā)揮直觀想象、形成學(xué)科素養(yǎng)的知識載體.由上可知，圓的定義豐富多樣，圓的軌跡形成方式多樣善變！只有牢固緊扣圓的各種定義，方能尋找或捕捉隱藏在數(shù)學(xué)問題中有關(guān)圓的軌跡，并利用它來化解問題.譬如某些數(shù)學(xué)問題用常規(guī)方法難以奏效或求解難度大，但若能針對問題的本質(zhì)特征，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造圓的模型直觀輔助分析，巧妙地運(yùn)用圓的有關(guān)知識找到解題捷徑，往往可以化抽象為直觀、化繁雜為簡捷.因此，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)定義不但要認(rèn)識定義的來源及意義，理解定義的性質(zhì)及相互關(guān)系，而且要在運(yùn)用定義解決問題過程中追求數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.