王向陽

一、數(shù)形結(jié)合思想的含義

數(shù)形結(jié)合思想就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想.它包含兩個方面：（1）“以形助數(shù)”，把抽象問題具體化，這主要是指用幾何的方法去解決代數(shù)或三角問題；（2）“以數(shù)解形”，把直觀圖形數(shù)量化，使形更加精確，這主要是指用代數(shù)或三角的方法去解決幾何問題.

二、運用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題的三個原則

（1）等價性原則，在數(shù)形結(jié)合時，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價的，否則解題將會出現(xiàn)漏洞，有時，由于圖形的局限性，不能完整地表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明.

（2）雙向性原則，在數(shù)形結(jié)合時，既要進行幾何直觀的分析，又要進行代數(shù)抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對代數(shù)問題進行幾何分析（或僅對幾何問題進行代數(shù)分析）在許多時候是很難行得通的.

（3）簡單性原則，找到解題思路之后，至于用幾何方法還是用代數(shù)方法或者兼用兩種方法來敘述解題過程，則取決于哪種方法更為簡單.

三、在運用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題時，需做到以下四點

1.要清楚一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征.

2.要恰當(dāng)設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化.

3.要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復(fù)和遺漏.

4.精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，以便于問題求解.

四、四點注意

在高考試題中，數(shù)形結(jié)合思想主要用于解填空題，有直觀、簡單、快捷等特點；而在解答題中，考慮到推理論證的嚴密性，圖形只是輔助手段，最終還是要用“數(shù)”寫出完整的解答過程.

在運用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題時，還需做到以下四點：

（1）要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征；

（2）要恰當(dāng)設(shè)參數(shù)，合理用參數(shù)，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；

（3）要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復(fù)和遺漏；

（4）精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，以便于問題求解.

五、數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想方法可以解決很多數(shù)學(xué)問題，由于很多數(shù)學(xué)概念都具有明顯的幾何意義，因此善于利用這些幾何意義，往往能達到事半功倍的效果.比如：在解析幾何中與斜率、距離、截距、定義等相關(guān)的問題，在函數(shù)中與零點、單調(diào)性、比較數(shù)值大小等相關(guān)的問題，還可以運用數(shù)形結(jié)合思想解不等式、解三角函數(shù)、集合、線性規(guī)劃、立體幾何等相關(guān)的問題.下面通過幾個例題來感受數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用.

1.數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)、平面向量等知識中的應(yīng)用

例1 如圖所示，半圓的直徑AB=4，O為圓心，C是半圓上不同于A、B的任意一點，若P為半徑OC上的動點，則（PA+PB）·PC的最小值是 .

解析：由平行四邊形法則得PA+PB=2PO，故（PA+PB）·PC=2PO·PC，

|PC|=2-|PO|，且PO、PC反向，設(shè)|PO|=t（0≤t≤2），

則（PA+PB）·PC=2PO·PC=-2t（2-t）

=2（t2-2t）=2[（t-1）2-1].

∵0≤t≤2，∴當(dāng)t=1時，（PA+PB）·PC取最小值，為-2.

點評：在解決與平面幾何有關(guān)的數(shù)量積問題時，充分利用向量的線性運算，將所求向量用共同的基底表示出來，再利用平面向量的數(shù)量積運算法則求解.

2.數(shù)形結(jié)合解決集合問題

例2 已知函數(shù)f（x）=x2-4x+3，集合M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N={（x，y）|f（x）-f（y）≥0}，則集合M∩N的面積是 .

解析：由已知可得M={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}={（x，y）|（x-2）2+（y-2）2≤2}，N={（x，y）|f（x）-f（y）≥0}={（x，y）|（x-y）（x+y-4）≥0}.

則M∩N=（x-2）2+（y-2）2≤2

（x-y）（x+y-4）≥0

作出其交集部分可得如圖所示，其面積為圓面積的一半，

即為12π·（2）2=π.

點評：求限制條件（一般用不等式組來表示）所表示平面區(qū)域的面積，一般分為如下步驟：①化簡不等式②分析不等式表示的平面區(qū)域③畫出草圖分析可行域④結(jié)合平面幾何知識求出面積.

3.數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)圖象交點（函數(shù)的零點、方程的根）的個數(shù)問題

例3 定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0時，f（x）=log12（x+1），x∈[0，1），

1-|x-3|，x∈[1，+∞），則關(guān)于x的函數(shù)F（x）=f（x）-a（0

解答：∵當(dāng)x≥0時，

f（x）=log12（x+1），x∈[0，1），

1-|x-3|，x∈[1，+∞），

即x∈[0，1）時，f（x）=log12（x+1），

x∈[1，3]時，f（x）=x-2∈[-1，1]；

x∈（3，+∞）時，f（x）=4-x∈（-∞，1）；

畫出x≥0時f（x）的圖象，

再利用奇函數(shù)的對稱性，畫出x<0時f（x）的圖象，如圖所示；

則直線y=a，與y=f（x）的圖象有5個交點，則方程f（x）-a=0共有五個實根，

最左邊兩根之和為-6，最右邊兩根之和為6，

∵x∈（-1，0）時，-x∈（0，1），

∴f（-x）=log12（-x+1），

又f（-x）=-f（x），

∴f（x）=-log12（-x+1）=log12（1-x）-1=log2（1-x），

∴中間的一個根滿足log2（1-x）=a，即1-x=2a，

解得x=1-2a，

∴所有根的和為1-2a.

點評：將函數(shù)F（x）=f（x）-a（0

4.利用數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)極值點問題

例4 已知函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是 .

解析：函數(shù)f（x）=x（lnx-ax），

則f′（x）=lnx-ax+x（1x-a）=lnx-2ax+1，

令f′（x）=lnx-2ax+1=0得lnx=2ax-1，

函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點，等價于f′（x）=lnx-2ax+1有兩個零點，

等價于函數(shù)y=lnx與y=2ax-1的圖象有兩個交點，

在同一個坐標(biāo)系中作出它們的圖象（如圖）

過點（0，-1）作y=lnx的切線，設(shè)切點為（x0，y0），則切線的斜率k=1x0，切線方程為y=1x0x-1.切點在切線上，則y0=x0x0-1=0，又切點在曲線y=lnx上，則lnx0=0x0=1，即切點為（1，0）.切線方程為y=x-1.再由直線y=2ax-1與曲線y=lnx有兩個交點，知直線y=2ax-1位于兩直線y=0和y=x-1之間，如圖所示，其斜率2a滿足：0<2a<1，解得實數(shù)a的取值范圍是（0，12）.

點評：本題利用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)的零點問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單獨性和極值問題.先求導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值點，等價于f′（x）=lnx-2ax+1有兩個零點，等價于函數(shù)y=lnx與y=2ax-1的圖象有兩個交點，在同一個坐標(biāo)系中作出它們的圖象，再解出切線方程，由圖可求得實數(shù)a的取值范圍.

5.數(shù)形結(jié)合解決具有明顯幾何意義的式子

例5 已知函數(shù)f（x）=ax2+bx-1（a，b∈R且a>0）有兩個零點，其中一個零點在區(qū)間（1，2）內(nèi)，則ba+1的取值范圍為 .

分析：先根據(jù)圖象確定a，b滿足的條件，然后利用ba+1的幾何意義——兩點（a，b），（-1，0）連線斜率求范圍.

解析：因為a>0，所以二次函數(shù)f（x）的圖象開口向上.

又f（0）=-1，所以要使函數(shù)f（x）的一個零點在區(qū)間（1，2）內(nèi)，則有a>0

f（1）<0

f（2）>0即a>0

a+b-1<0

4a+2b-1>0，

如圖所示的陰影部分是上述不等式組所確定的平面區(qū)域，式子ba+1表示平面區(qū)域內(nèi)的點P（a，b）與點Q（-1，0）連線的斜率.

而直線QA的斜率k=1-00-（-1）=1，直線4a+2b-1=0的斜率為-2，顯然不等式組所表示的平面區(qū)域不包括邊界，所以P，Q連線的斜率的取值范圍為（-2，1）.

點評：如果等式、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)蘊含著明顯的幾何特征，就要考慮用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解題，即所謂的幾何法求解，比較常見的對應(yīng)有：（1）b-na-m（a，b）、（m，n）連線的斜率；（2）（a-m）2+（b-n）2（a，b）、（m，n）之間的距離；（3）a2+b2=c2a、b、c為直角三角形的三邊；（4）f（a-x）=f（b+x）f（x）圖象的對稱軸為x=a+b2.只要具有一定的觀察能力，再掌握常見的數(shù)與形的對應(yīng)類型，就一定能得心應(yīng)手地運用數(shù)形結(jié)合的思想方法.

6.數(shù)形結(jié)合解決解析幾何問題

例6 過點（0，3）作直線l，如果它與雙曲線x24-y23=1有且只有一個公共點，則直線l的條數(shù)是 .

解：如圖：過A點可以做雙曲線的兩條切線，以及兩條與漸近線平行的直線.

所以，有4條直線與雙曲線有且只有一個公共點.答案：4條.

點評：利用數(shù)形結(jié)合思想討論直線與雙曲線的公共點的個數(shù).用代數(shù)方法判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用方程組、判別式等求解.當(dāng)直線位置比較特殊時，如過原點、過定點等，結(jié)合圖形，討論直線與雙曲線的公共點的個數(shù).

7.數(shù)形結(jié)合在數(shù)列中的應(yīng)用

例7 某廠2017年生產(chǎn)利潤逐月增加，且每月增加的利潤相同，但由于廠方正在改造建設(shè)，元月份投入資金建設(shè)恰好與元月的利潤相等，隨著投入資金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建設(shè)資金又恰好與12月的生產(chǎn)利潤相同，問全年總利潤M與全年總投入N的大小關(guān)系是 .

解析：每月的利潤組成一個等差數(shù)列{an}，且公差d>0，每月的投資額組成一個等比數(shù)列{bn}，且公比q>1.a1=b1，且a12=b12，比較S12與T12的大小.

若直接求和，很難比較出其大小，但注意到等差數(shù)列的通項公式an=a1+（n-1）d是關(guān)于n的一次函數(shù)，其圖象是一條直線上的一些點列.等比數(shù)列的通項公式bn=b1·qn-1是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，其圖象是指數(shù)函數(shù)上的一些點列.在同一坐標(biāo)系中畫出圖象如圖所示，直觀地可以看出ai≥bi，則S12>T12，即M>N.

點評：仔細閱讀題目，明確題目表述的含義：每月的利潤組成一個等差數(shù)列，每月的投資額組成一個等比數(shù)列.比較全年總利潤M與全年總投入N的大小關(guān)系即比較S12與T12的大小.難于直接比較，利用數(shù)形結(jié)合思想易解.

8.數(shù)形結(jié)合解不等式問題

例8 設(shè)有函數(shù)f（x）=a+-x2-4x和g（x）=43x+1，已知x∈[-4，0]時恒有f（x）≤g（x），求實數(shù)a的取值范圍.

解：f（x）≤g（x），即a+-x2-4x≤43x+1，

變形得-x2-4x≤43x+1-a，

令y=-x2-4x， ①

y=43x+1-a. ②

①變形得（x+2）2+y2=4（y≥0），

即表示以（-2，0）為圓心，2為半徑的圓的上半圓；②表示斜率為43，縱截距為1-a的平行直線系.

設(shè)與圓相切的直線為AT，AT的直線方程為：

y=43x+b（b>0），

則圓心（-2，0）到AT的距離為d=|-8+3b|5，由|-8+3b|5=2得，b=6或-23（舍去）.

∴當(dāng)1-a≥6即a≤-5時，f（x）≤g（x）.

點評：解決含參數(shù)的不等式和不等式恒成立問題，可以將題目中的某些條件用圖象表現(xiàn)出來，利用圖象間的關(guān)系以形助數(shù)，求方程的解集或其中參數(shù)的范圍.

9.數(shù)形結(jié)合解幾何概型問題

例9 在區(qū)間[0，1]上隨機取兩個數(shù)x，y，記p1為事件“x+y≥12”的概率，p2為事件“|x-y|≤12”的概率，p3為事件“xy≤12”的概率，則（ ）

A.p1

C.p3

答案：B

解析：因為x，y∈[0，1]，對事件“x+y≥12”，如圖（1）陰影部分S1，

對事件“|x-y|≤12”，如圖（2）陰影部分S2，

對為事件“xy≤12”，如圖（3）陰影部分S3，

由圖知，陰影部分的面積從小到大依次是S2

根據(jù)幾何概型公式可得p2

點評：首先認真閱讀題目，把其中的有用信息向我們熟悉的知識方面轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)知識的遷移，然后再利用概率的知識去解決.數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的解法.用圖解題的關(guān)鍵：用圖形準(zhǔn)確表示出試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的不等式，在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域，利用公式Ρ（Α）=

構(gòu)成事件Α的區(qū)域長度（面積或體積）試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）可求.

10.數(shù)形結(jié)合思想在求幾何量中最值問題中的應(yīng)用

例10 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點C（0，p）作直線與拋物線x2=2py（p>0）相交于A，B兩點.

（1）若點N是點C關(guān)于坐標(biāo)原點O的對稱點，求△ANB面積的最小值；

（2）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由.

分析：（1）在直線AB變動的過程中，△ABN中存在一條長度不變的線段CN（長為2p），將△ABN面積分割為△ANC與△BNC的面積和，∴S△ABN=S△ANC+S△BNC=p|x1-x2|.（2）求弦長時，構(gòu)造直角三角形，求解.

解析：（1）如圖所示，依題意，

點N的坐標(biāo)為（0，-p），可設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）.

直線AB的方程為y=kx+p，與x2=2py聯(lián)立，

消去y得x2-2pkx-2p2=0.

由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2pk，x1x2=-2p2.

于是S△ABN=S△BCN+S△ACN=12×2p|x1-x2|

=p|x1-x2|=p（x1+x2）2-4x1x2

=p4p2k2+8p2=2p2k2+2.

∴當(dāng)k=0時，（S△ABN）min=22p2.

（2）如圖所示，假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a.

設(shè)AC的中點為O′，l與以AC為直徑的圓相交于點P、Q，PQ的中點為H.

則O′H⊥PQ，O′點的坐標(biāo)為（x12，y1+p2）.

∵|O′P|=12|AC|

=12x21+（y1-p）2

=12y21+p2，

|O′H|=|a-y1+p2|=12|2a-y1-p|，

∴|PH|2=|O′P|2-|O′H|2=14（y21+p2）-14（2a-y1-p）2=（a-p2）y1+a（p-a），

∴|PQ|2=（2|PH|）2=4[（a-p2）y1+a（p-a）].

令a-p2=0，得a=p2，此時|PQ|=p為定值，

故滿足條件的直線l存在，其方程為y=p2，即拋物線的通徑所在的直線.

點評：本題是一個考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系的開放性問題，數(shù)形結(jié)合思想中一個非常重要的方面是以數(shù)解形，通過方程等代數(shù)的方法來研究幾何問題，也就是解析法，解析法與幾何法結(jié)合來解題，會有更大的功效.此類題目的求解要結(jié)合該類圖形的幾何性質(zhì)，將條件信息和結(jié)論信息結(jié)合在一起，觀察圖形特征，轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言，即方程（組）或不等式（組），從而將問題解決.

11.數(shù)形結(jié)合思想在立體幾何中的應(yīng)用

例11 在空間中，過點A作平面π的垂線，垂足為B，記B=fπ（A）.設(shè)α，β是兩個不同的平面，對空間任意一點P，Q1=fβ[fα（P）]，Q2=fα[fβ（P）]，恒有PQ1=PQ2，則（ ）

A.平面α與平面β垂直

B.平面α與平面β所成的（銳）二面角為45°

C.平面α與平面β平行

D.平面α與平面β所成的（銳）二面角為60°

解析：結(jié)合四個選項，采用依托立體模型（三棱錐、四棱錐、長方體、正方體及它們的殘缺）找?guī)缀误w的特征及幾何量之間的位置關(guān)系.畫出四個棱長為1的正方體，記平面A1B1C1D1為β，不妨設(shè)P∈α，如圖1，取平面ADD1A1為α，恒有PQ1=PQ2；圖2，取平面AB1C1D為α，P=A∈α，PQ1=1，PQ2=22，不滿足PQ1=PQ2；圖3，取平面ABCD為α，PQ1=1，P與Q2重合，PQ2=0，不滿足PQ1=PQ2；圖4，取平面EFA1D1為α，PQ1=1，PQ2=233，不滿足PQ1=PQ2，易得選項A.

點評：本題根據(jù)所給出的新定義，采用依托立體模型（三棱錐、四棱錐、長方體、正方體及它們的殘缺）找?guī)缀误w的特征及幾何量之間的位置關(guān)系判定兩平面α，β所成角的大小，考查線面垂直的性質(zhì)、二面角的平面角和面面垂直的定義等知識.

上述幾個例題從不同側(cè)面說明：在用代數(shù)與解析法解某些題遇到困難時，借助于幾何圖形來解，往往收到事半功倍的效果.但要注意利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題時，要注意數(shù)與形的完整結(jié)合，由數(shù)想形時，一定要準(zhǔn)確、全面，特別是圖形一定要準(zhǔn)確.數(shù)形結(jié)合常用的輔助工具有：數(shù)軸（直角坐標(biāo)系）、兩點間距離公式、向量的模、函數(shù)的圖象、曲線的方程、直線的斜率、截距、二元一次不等式表示平面區(qū)域等.