謝寶瑩，楊斌堂，楊詣坤，曹逢雨，易思成

（上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240）

振動(dòng)臺(tái)在航空、航天、汽車、鐵路等領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用，通過模擬環(huán)境振動(dòng)，可對(duì)各類結(jié)構(gòu)與設(shè)備進(jìn)行故障診斷、可靠性測(cè)試與疲勞測(cè)試。隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，高性能振動(dòng)臺(tái)的開發(fā)顯得尤為重要。電磁振動(dòng)臺(tái)具有響應(yīng)靈敏，頻率范圍寬，輸出加速度大等特點(diǎn)，且驅(qū)動(dòng)環(huán)節(jié)靠電磁能實(shí)現(xiàn)，控制方便，在寬頻測(cè)試中應(yīng)用廣泛[1]。但傳統(tǒng)電磁振動(dòng)臺(tái)存在行程小、難以實(shí)現(xiàn)5 Hz以下低頻振動(dòng)、波形失真嚴(yán)重等問題。如英國(guó)Ling公司的電磁振動(dòng)臺(tái)，工作原理基于音圈電機(jī)，動(dòng)子工作時(shí)處于懸浮狀態(tài)，因此無(wú)法實(shí)現(xiàn)5 Hz以下低頻振動(dòng)且驅(qū)動(dòng)位移較小。針對(duì)此問題，上海交通大學(xué)楊斌堂等[2–4]設(shè)計(jì)了一種基于共軛等徑凸輪型復(fù)合磁能往復(fù)擺驅(qū)動(dòng)方法的新型電磁振動(dòng)臺(tái)，可以實(shí)現(xiàn)大位移、低頻5 Hz以下及高至五千赫茲的寬頻振動(dòng)輸出，對(duì)于電磁振動(dòng)臺(tái)的發(fā)展具有重要意義。

開環(huán)工況下，新型電磁振動(dòng)臺(tái)在低頻、大位移輸出時(shí)存在復(fù)雜的磁滯非線性問題，波形失真較大，影響了振動(dòng)臺(tái)的低頻輸出性能。為降低磁滯非線性因素對(duì)系統(tǒng)的影響，現(xiàn)有文獻(xiàn)已提出并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了兩種解決方案。一種是基于磁滯逆模型的前饋控制方法，以磁滯模型的精確辨識(shí)為前提。Mohammad Al Janaideh等[5]根據(jù)Prandtl-Ishlinskii模型獲得了磁滯逆模型，將其作為前饋控制器，仿真結(jié)果顯示，該方法可有效補(bǔ)償磁滯非線性，但磁滯建模過程復(fù)雜。另一種方法將被控系統(tǒng)分解為線性系統(tǒng)與磁滯非線性系統(tǒng)兩部分，針對(duì)不同的系統(tǒng)特性，分別設(shè)計(jì)控制器，避免了磁滯建模的復(fù)雜過程[6]。上海交通大學(xué)谷國(guó)迎[7]將磁滯非線性視為系統(tǒng)干擾，應(yīng)用魯棒控制策略進(jìn)行補(bǔ)償。

本文采用磁滯分解方法，將周期性信號(hào)輸入下的磁滯非線性視為有界周期性干擾。針對(duì)分解得到的線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了PI控制器，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，魯棒性好。針對(duì)磁滯非線性干擾，以選頻濾波器理論為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)改進(jìn)型重復(fù)控制器，避免了重復(fù)控制算法對(duì)非倍頻成分引起的誤差、干擾的放大，有效地抑制了系統(tǒng)的磁滯非線性，系統(tǒng)波形輸出的失真度減小。眾所周知，由系統(tǒng)特性引起的跟蹤誤差在周期性信號(hào)的輸入下也具有周期性，因此，改進(jìn)型重復(fù)控制器可對(duì)系統(tǒng)特性與磁滯非線性引起的跟蹤誤差同時(shí)進(jìn)行補(bǔ)償，對(duì)新型電磁振動(dòng)臺(tái)的低頻波形控制具有重要意義。

1 磁滯非線性分解

包含磁滯非線性環(huán)節(jié)的系統(tǒng)模型可用圖1框圖表示。

圖1 非線性系統(tǒng)模型

其中：i(t)為新型電磁振動(dòng)臺(tái)的控制電流輸入；q(t)為磁滯非線性輸出，且不可通過測(cè)量直接獲得；y(t)為系統(tǒng)的位移輸出；(s)描述q(t)與y(t)之間關(guān)系的線性時(shí)不變系統(tǒng)；H(·)表征i(t)與q(t)之間的磁滯非線性關(guān)系，表達(dá)式為

根據(jù)文獻(xiàn)[8]，任何率相關(guān)的磁滯非線性可分解為一個(gè)線性增益α和一個(gè)周期且有界的干擾d()t，如圖2所示。即

其中：

圖2 磁滯分解模型

i是i(t) 的縮寫 ；是(t)的縮寫，i的1階導(dǎo)數(shù)，q0表示q(0)；i0表示i(0)；當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)sgn(x)=1，否則sgn(x)=-1；d(t)滿足

即 |d(t) |≤supt≥0|d(t) |，因此，d(t)有界。當(dāng)系統(tǒng)有周期為T的信號(hào)i(t)輸入時(shí)，得到i(t+T)=i(t)，(t+T)=(t)，根據(jù)公式可得到d(t+T)=d(t)，因此，d(t)可視為系統(tǒng)周期性且有界性的干擾。

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 線性控制器

線性控制器的設(shè)計(jì)以能夠精確辨識(shí)系統(tǒng)的線性模型為前提。將上一章磁滯非線性分解得到的線性增益與被控系統(tǒng)線性模型合并，如圖3所示，得到磁滯分解模型的等效分解模型。

圖3 磁滯分解等效模型

新型電磁振動(dòng)臺(tái)在小電流輸入時(shí)，被控系統(tǒng)可以等效為線性模型。為辨識(shí)系統(tǒng)線性模型，振動(dòng)臺(tái)在開環(huán)工況下，通入0～20 Hz小幅值帶限白噪聲電流信號(hào)，實(shí)驗(yàn)測(cè)量輸出位移。應(yīng)用MATLAB系統(tǒng)辨識(shí)工具箱，根據(jù)輸入電流與輸出位移，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

對(duì)比圖4實(shí)驗(yàn)得到的系統(tǒng)頻響（虛線）與辨識(shí)模型的頻響（實(shí)線），0～5 Hz區(qū)間內(nèi)辨識(shí)模型精確度為84%。

系統(tǒng)對(duì)線性控制器的要求較低，因此，線性控制器C(z-1)選用最簡(jiǎn)單的PI控制器，易于實(shí)現(xiàn)，魯棒性好，與非線性控制器互不影響。C(z-1)的離散形式為

圖4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與系統(tǒng)辨識(shí)頻響

其中：Kp為比例增益，Ki為積分增益。

2.2 改進(jìn)型重復(fù)控制器

針對(duì)磁滯非線性，本節(jié)設(shè)計(jì)了改進(jìn)型重復(fù)控制器。重復(fù)控制（RC）器適用于往復(fù)運(yùn)動(dòng)的系統(tǒng)，因此傳統(tǒng)振動(dòng)臺(tái)在周期輸入時(shí)，多采用重復(fù)控制算法。重復(fù)控制基于內(nèi)模原理[9]，將外部作用的信號(hào)發(fā)生器1(1-z-N（)N為干擾信號(hào)一個(gè)周期的采樣點(diǎn)數(shù)）嵌入原有閉環(huán)控制系統(tǒng)。RC控制器閉環(huán)靈敏度函數(shù)的頻響具有梳齒狀，使得各倍頻處的幅值增益大幅度降低，能夠有效抑制由倍頻引起的跟蹤誤差。

然而，RC控制器的缺點(diǎn)是放大非倍頻周期性干擾。針對(duì)此問題，本文應(yīng)用一種改進(jìn)型重復(fù)控制器，引入選頻濾波器，僅允許周期性干擾中的倍頻成分通過重復(fù)控制器，改善了傳統(tǒng)重復(fù)控制器的缺陷。

圖5 改進(jìn)型重復(fù)控制框圖

圖5 為改進(jìn)型重復(fù)控制框圖。r(k)是參考輸入；e(k)是跟蹤誤差；u(k)是控制輸入；u*(k)是由C(z-1)控制器獲得的控制輸入；c(k)是由重復(fù)控制器獲得的控制輸入；d′(k)是輸入干擾；y(k)是位移輸出。

P(z-1)代表線性被控系統(tǒng)，表達(dá)式為

其中：d為系統(tǒng)延遲，Bs(z-1)包含穩(wěn)定零點(diǎn)，Bu(z-1)包含不穩(wěn)定零點(diǎn)。A(z-1)包含系統(tǒng)的所有極點(diǎn)。

Pn-1(z-1)是被控系統(tǒng)P(z-1)的逆模型，由零相位誤差跟蹤數(shù)字控制算法[10]獲得

其中：Buf(z-1)是Bu(z-1)的直接逆，z-nu是Bu(z-1)的最高次項(xiàng)，z-nc是保證Pn-1(z-1)為因果的系統(tǒng)延時(shí)項(xiàng)。

z-m為系統(tǒng)延時(shí)項(xiàng)，且z-m≈Pn-1(z-1)P(z-1)。

選擇有限脈沖響應(yīng)濾波器作為選頻濾波器Q(z-1)，表達(dá)式為

其中：λ為決定選頻濾波器性能的重要參數(shù)。以2 Hz信號(hào)為例，采樣頻率為1000 Hz，得到Q(z-1)的頻率響應(yīng)曲線，如圖6所示，可以明顯看到僅基頻與倍頻成分可以通過選頻濾波器。λ=0時(shí)，選頻濾波器不起作用，隨著λ的增大，選頻濾波器對(duì)非倍頻成分的過濾能力越好。

圖6 Q(z -1)頻率響應(yīng)

由系統(tǒng)框圖得到閉環(huán)靈敏度函數(shù)

基建檔案資料的歸檔和管理貫穿于整個(gè)項(xiàng)目的始終，可以真實(shí)地反映工程的質(zhì)量，一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)、規(guī)范的基建檔案可以為整個(gè)工程項(xiàng)目在施工過程中提供真實(shí)可靠的依據(jù)和憑證。

僅采用C()

z-1控制器時(shí)，系統(tǒng)的靈敏度函數(shù)為

對(duì)比式(11)與式(12)，可以發(fā)現(xiàn)改進(jìn)型重復(fù)控制器的作用主要在于1-z-mQ項(xiàng)，其頻率響應(yīng)曲線如圖7所示。

λ=1時(shí)，改進(jìn)重復(fù)控制器不起作用；0≤λ＜1時(shí)，可以明顯看到重復(fù)控制器對(duì)于各倍頻成分的誤差能起到很好的抑制作用。

選頻濾波器在實(shí)際應(yīng)用中，往往會(huì)引起信號(hào)的延遲[11]，本文在選頻濾波器后加入零相位低通濾波器，其表達(dá)式為

圖7 1-z-mQ()z-1頻率響應(yīng)

因此，實(shí)際應(yīng)用中Q(z-1)的表達(dá)式為

其中：z-nq是保證q(z,z-1)為因果系統(tǒng)的延時(shí)項(xiàng)，nq是q(z,z-1)的最高階數(shù)。

3 實(shí)驗(yàn)研究

3.1 硬件系統(tǒng)

為驗(yàn)證改進(jìn)型重復(fù)控制器對(duì)新型電磁振動(dòng)臺(tái)低頻輸出位移控制的有效性，搭建如圖8所示實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。

擴(kuò)展臺(tái)用以安裝、定位被測(cè)件，通過夾具與新型電磁振動(dòng)臺(tái)剛性連接。選用Keyence激光位移傳感器測(cè)量臺(tái)面位移；數(shù)據(jù)采集使用NI Compact RIO系統(tǒng)，采樣頻率為1000 Hz，上位機(jī)控制程序通過采集到的位移信號(hào)計(jì)算控制電流，并通過NI Compact RIO輸出模塊給功率放大器（NF BP4610），放大后的驅(qū)動(dòng)電流作為振動(dòng)臺(tái)的輸入，以實(shí)現(xiàn)電磁振動(dòng)臺(tái)的低頻位移波形跟蹤控制。

3.2 跟蹤控制

針對(duì)新型電磁振動(dòng)臺(tái)5 Hz以下低頻段，采用改進(jìn)型重復(fù)控制器進(jìn)行跟蹤控制。選取1 Hz，2 Hz，5 Hz作為跟蹤控制測(cè)試頻率，以不同頻率的正弦信號(hào)作為參考信號(hào)輸入。出于振動(dòng)臺(tái)自身振動(dòng)特性的限制，選取1 Hz參考信號(hào)的峰-峰值為1 mm，2 Hz與5 Hz參考信號(hào)的峰-峰值為2 mm。圖9-（a）為期望、實(shí)際、開環(huán)位移。圖9（b）對(duì)比開環(huán)與跟蹤誤差。表1為各測(cè)試頻率處，開環(huán)與跟蹤定位波形輸出均方根誤差。

圖8 實(shí)驗(yàn)硬件系統(tǒng)

表1 開環(huán)與跟蹤定位波形輸出均方根誤差

開環(huán)工況下，振動(dòng)臺(tái)在1 Hz與2 Hz正弦輸出時(shí)波形誤差較大，最大誤差可占幅值的53.6%。本文所設(shè)計(jì)的改進(jìn)型重復(fù)控制器顯著改善了振動(dòng)臺(tái)的低頻輸出性能，1 Hz測(cè)試頻率處，波形輸出均方根誤差降低了63.4%；2 Hz測(cè)試頻率處，波形輸出均方根誤差降低了57.6%；5 Hz測(cè)試頻率處，振動(dòng)臺(tái)開環(huán)位移輸出與跟蹤控制輸出性能幾乎無(wú)差異，波形輸出均方根誤差僅降低了5.6%，這一點(diǎn)也證明了新型電磁振動(dòng)臺(tái)驅(qū)動(dòng)機(jī)理優(yōu)勢(shì)，即5 Hz以上單頻位移輸出性能良好，開環(huán)輸出即滿足測(cè)試要求。

4 結(jié)語(yǔ)

（1）本文應(yīng)用磁滯非線性分解方法，將磁滯非線性分解為線性增益與有界周期性干擾，避免了磁滯建模的復(fù)雜過程。

（2）針對(duì)新型電磁振動(dòng)臺(tái)的低頻位移波形失真問題，提出一種改進(jìn)型重復(fù)控制器。引入選頻濾波器，避免了RC控制器對(duì)非倍頻周期誤差、干擾的放大，改善了傳統(tǒng)RC控制器的性能。

（3）實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該控制器可以顯著改善振動(dòng)臺(tái)的低頻輸出性能，位移跟蹤效果好，波形輸出誤差減小。

圖9 1Hz跟蹤效果

圖10 2Hz跟蹤效果

圖11 5Hz跟蹤效果

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