李萍

[摘 要] “邊邊角”是指兩個三角形中有兩邊和其中一邊的對角分別對應(yīng)相等，在教學(xué)過程中，教師往往把“邊邊角”不一定全等偷換成了“邊邊角”一定不全等，這需要引起教師的注意. “邊邊角”的類型較多，教師要充分重視“邊邊角”問題，做到心中有數(shù)，并妥善處理“邊邊角”教學(xué).

[關(guān)鍵詞] “邊邊角”；三角形；不一定全等

煩惱的起因

筆者最近參加了某地初二數(shù)學(xué)的一次教研活動，開課老師講了下面一道題.

試題？搖 如圖1.

（1）若∠ABC=∠DBC，要使△ABC≌△DBC，需要添加的一個條件為______；

（2）若AB=DB，要使△ABC≌△DBC，需要添加的一個條件為______.

講解此題的過程中，教師最后問了一個問題：（2）中添加∠A=∠D可以嗎？問題一經(jīng)提出，學(xué)生齊刷刷地回答：“不可以！”教師也強(qiáng)調(diào)：“不可以，因?yàn)檫@屬于‘邊邊角.”

學(xué)生中沒有一個人懷疑，教師備課時也沒有考慮到這種情況下△ABC與DBC是全等的，這引起了筆者的煩惱與思考.

“邊邊角”的名稱

“邊邊角”是什么？講不清楚，但老師在講，學(xué)生也在講. 大家都知道，三邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等，它可以簡寫成“邊邊邊”. 類似地，有“邊角邊”“角邊角”“角角邊”，它們都可以用來判定兩個三角形全等. 而有兩邊和其中一邊的對角分別對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，它就沒有簡稱了，所以教科書里沒有“邊邊角”這個名稱，它是“山寨”的. 教師和學(xué)生在講“邊邊角”時，實(shí)際上是指兩個三角形中有兩邊和其中一邊的對角分別對應(yīng)相等.

概念轉(zhuǎn)換中概念被偷換了

人教版數(shù)學(xué)教材八年級上冊舉了這樣一個例子：如圖2，△ABC與△ABD滿足兩邊和其中一邊的對角分別對應(yīng)相等，即AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但△ABC與△ABD不全等. 這說明，有兩邊和其中一邊的對角分別對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等. 于是教師“山寨”了“邊邊角”，其意是不能用“邊邊角”來判定兩個三角形全等，也就是說，有兩邊和其中一邊的對角分別對應(yīng)相等的兩個三角形不能判定其全等. 這是概念的一次轉(zhuǎn)換. 而煩惱的是，在部分教師和大部分學(xué)生中，概念被偷換成了：有兩邊和其中一邊的對角分別對應(yīng)相等的兩個三角形一定不全等，即出現(xiàn)“邊邊角”（直角除外）就一定不全等. 這就出現(xiàn)了上述教研活動中的那一幕.

“邊邊角”類型較多，教學(xué)生

不易

大家都知道，當(dāng)兩邊分別對應(yīng)相等，且其中一邊的對角均是直角時，就是三角形全等的另一個判定：斜邊和直角邊分別對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，簡稱為“斜邊、直角邊”. 所以，此時的“邊邊角”能使兩個三角形全等.

回到前面的圖1，連接AD，因?yàn)锳B=DB，所以∠BAD=∠BDA. 又∠BAC=∠BDC，所以∠CAD=∠CDA. 所以AC=DC. 因此可以通過“邊邊邊”判定△ABC≌△DBC. 雖然，這里給定的條件是兩邊和其中一邊的對角分別對應(yīng)相等，即“邊邊角”，但通過連接AD，利用等腰三角形的性質(zhì)和判定，就可將其轉(zhuǎn)化為用“邊邊邊”證明△ABC≌△DBC. 若圖1給定的條件是AB=DB，∠ACB=∠DCB，就真的不能確定這兩個三角形全等了：如圖3，△ABC與△DBC滿足條件，但它們不全等.

當(dāng)圖1變成圖4、圖5，滿足AB=DB，∠A=∠D時，△ABC與△DBC仍然是全等的. 那么，是否兩邊中公共邊所對的角相等時兩三角形就全等呢？事實(shí)上也不一定. 如圖6，當(dāng)A，C，D三點(diǎn)在一條直線上時，這兩個三角形就不能確定全等.

“邊邊角”的類型較多，其中角為直角時，已有“斜邊、直角邊”，其余的有些能確定全等，有些不能確定全等. 八年級學(xué)生剛學(xué)習(xí)簡單的幾何證明，如果教師一股腦兒地讓學(xué)生全部掌握這些類型，豈不是會亂了學(xué)生的思維？所以，怎么教這部分內(nèi)容還挺讓人煩惱的.

煩惱中的思考

從教研活動中開課教師和學(xué)生的反應(yīng)，以及評課時參會教師對上述問題的反應(yīng)（當(dāng)筆者對此問題提出自己的看法時，許多教師還沒有反應(yīng)過來），筆者感受到部分初中教師和學(xué)生對“邊邊角”的理解和應(yīng)用確實(shí)有失偏頗. 數(shù)學(xué)是具有嚴(yán)密邏輯思維的學(xué)科，我們不能讓我們的學(xué)生在剛接觸簡單嚴(yán)密的邏輯思維訓(xùn)練時，就出現(xiàn)漏洞，這會危及嚴(yán)密的邏輯思維能力培養(yǎng). 所以，教師要準(zhǔn)確理解教材中的說法，即有兩邊和其中一邊的對角分別對應(yīng)相等時兩個三角形不一定全等. 教材中說的不一定全等，是指有的全等，有的不全等，決不能把它偷換成一定不全等，不能一見到“邊邊角”就斷定這兩個三角形不全等，這是完全錯誤的. 我們教師要充分重視這個問題，要多了解“邊邊角”的各種情況，做到心中有數(shù)，同時也要根據(jù)量力性原則，不要向?qū)W生硬灌輸這些知識，造成學(xué)生剛學(xué)邏輯證明時便有負(fù)擔(dān)，影響其思維的條理性. 不過一定要強(qiáng)調(diào)“邊邊角”只是不能判定全等，并不是說這兩個三角形一定不全等，是否全等，還要具體問題具體分析. 遇到“邊邊角”，但要確定兩個三角形全等時，要用其他方法來證明；而要確定它們不全等，可參考圖2和圖6. 值得注意的是，教師在八年級第一學(xué)期編題時，應(yīng)盡量避開能全等的“邊邊角”情況.