鄭金富

【摘要】初中階段對幾何圖形的研究體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性，從三角形的研究歷程讓學(xué)生感悟到研究幾何圖形從一般到特殊的步驟；研究幾何圖形的套路與方法體現(xiàn)了幾何圖形研究的系統(tǒng)性，通過類比三角形讓學(xué)生得出平行四邊形的研究思路，有利于提高學(xué)生的系統(tǒng)思維能力，發(fā)展學(xué)生核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】幾何研究；系統(tǒng)性；核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)在基礎(chǔ)教育課程體系中的特殊地位，在于它是發(fā)展學(xué)生的智力、培養(yǎng)邏輯思維能力的主要學(xué)科.數(shù)學(xué)教育發(fā)展到今天，人們越來越清楚地認識到：數(shù)學(xué)學(xué)科的最大用處是育人，它不僅能培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力、運算能力、邏輯推理能力、數(shù)據(jù)處理能力等，而且在鍛煉心智、培育理性精神上也是不可替代的.

眾所周知，平面幾何因其基本概念的明確性和推理論證的嚴密性，歷來是培養(yǎng)學(xué)生的理性思維和邏輯推理能力的最好載體.對初中學(xué)生來講，無論是幾何直觀能力的培養(yǎng)和訓(xùn)練，還是其中涉及的很嚴謹?shù)倪壿嬐评砟芰Φ挠?xùn)練，都是非常重要的.同時，由于幾何研究具有高度的系統(tǒng)性，其研究思路及研究方法具有高度的相似性，所以，在課堂教學(xué)中，要以認識問題和解決問題為核心任務(wù)，以數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程和理解數(shù)學(xué)知識的心理過程為基本線索，為學(xué)生構(gòu)建前后一致邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程，使他們在掌握數(shù)學(xué)知識的過程中學(xué)會系統(tǒng)地思考，從而發(fā)展學(xué)生的核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).

下面我以人教版“18.1.1平行四邊形的性質(zhì)”（第1課時）為例，來談?wù)勎覍@方面的思考.

一、主要教學(xué)過程設(shè)計

問題1 觀察這些圖片，你能否看到熟悉的圖形？并能進行簡單的分類嗎？

設(shè)計意圖：通過圖片展示，讓學(xué)生真切感受生活中大量存在平行四邊形的形象.進而從實際背景中抽象出幾何圖形—平行四邊形、三角形、六邊形等，讓學(xué)生感受將實物抽象為圖形的過程.

問題2 我們前面已經(jīng)研究過了許多有關(guān)三角形的知識，積累了很多研究三角形的經(jīng)驗，在這一章里，我們將要研究的是一類特殊的四邊形——平行四邊形，在小學(xué)里，我們對平行四邊形有了一定的認識，你能說說你對平行四邊形有哪些印象嗎？

追問1 在你的生活中出現(xiàn)有平行四邊形的例子嗎？

設(shè)計意圖：強調(diào)定義的兩方面作用，一是可以判定一個四邊形是不是平行四邊形，二是平行四邊形具有兩組對邊分別平行的性質(zhì).

（二）概括證明——探究性質(zhì)

問題3 我們前面已經(jīng)研究過了許多有關(guān)三角形的知識，積累了很多研究三角形的經(jīng)驗，在這一章里，我們將要研究的是一類特殊的四邊形——平行四邊形，我們?nèi)绾窝芯科叫兴倪呅危?/p>

設(shè)計意圖：著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾經(jīng)說過：在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比.類比三角形，等腰三角形的研究歷程，滲透類比思想，進一步明確四邊形，平行四邊形的本質(zhì)屬性與定義形式，也為后續(xù)研究特殊平行四邊形埋下伏筆，學(xué)生對本章知識梗概有個整體的了解，對研究方法、研究思路有整體的把握.

問題4 對平行四邊形，從定義出發(fā)，你能進一步得出它的其他性質(zhì)嗎？能證明這些結(jié)論的正確性嗎？

設(shè)計意圖：猜想結(jié)論并不困難，主要是對猜想的結(jié)論（小學(xué)里的常識）應(yīng)當進行證明，只有經(jīng)過證明才能成為定理，這是追問設(shè)計的意圖所在.

追問 通過解決以上問題，你能歸納解決四邊形問題的一般方法嗎？

設(shè)計意圖：歸納環(huán)節(jié)的設(shè)計是對探究過程中形成的思想策略和得到的結(jié)論（知識）進行回顧與整理.這有助于學(xué)生理解定理，體會通過構(gòu)造圖形把四邊形問題轉(zhuǎn)化為全等三角形問題的基本想法.

（三）應(yīng)用知識，解決問題

例題略.

設(shè)計意圖：設(shè)置基礎(chǔ)和有一定挑戰(zhàn)性的問題，調(diào)動上中下層次的學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)思維，培養(yǎng)分析能力，對難題的設(shè)置，對學(xué)困生也可以在聽懂思路的過程中有所收獲.

（四）歸納小結(jié)與展望

可以圍繞以下幾方面進行：

1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識？

2.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)和過去三角形的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，你覺得對一個幾何圖形的研究通常是怎樣進行的？

3.你還對平行四邊形的哪些方面感興趣，覺得有必要進一步研究思考的呢？

設(shè)計意圖：通過小結(jié)，使學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，掌握本節(jié)課的核心，通過問題3，大致和學(xué)生介紹本章知識框架與脈絡(luò)，在學(xué)生展望的過程中逐步出示下面的框圖，讓學(xué)生對本章的知識有一個整體的了解，對本章知識脈絡(luò)有一個整體性的了解，同時對數(shù)學(xué)研究一個幾何圖形的套路有整體的認識，做到心中有數(shù).

（五）布置作業(yè)

略.

二、注重幾何研究的系統(tǒng)性，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)

（一）類比思想——建立知識系統(tǒng)之間關(guān)聯(lián)的紐帶

當前教學(xué)中仍存在的幾個問題：如教師教學(xué)就事論事，對學(xué)科課程整體理解不夠，導(dǎo)致學(xué)生以知識獲取為主，對學(xué)科核心思想思考的不夠；教師對課時教學(xué)改進多，對單元整體性設(shè)計研究不夠，導(dǎo)致學(xué)生獲取知識再現(xiàn)為主，關(guān)注遷移解決新問題不夠.新課標在“教學(xué)建議”中也指出：數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累是提高學(xué)生核心素養(yǎng)的重要標志.

我們知道，數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)之間往往是關(guān)聯(lián)的，數(shù)學(xué)材料的邏輯組織化，不僅僅停留在不同的局部內(nèi)容的邏輯組織，還需要通過邏輯構(gòu)建，建立不同的局部知識系統(tǒng)之間的關(guān)聯(lián)，把已經(jīng)建立的知識系統(tǒng)及其學(xué)習(xí)經(jīng)驗運用于新的內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，類比是建立類似的知識系統(tǒng)之間的關(guān)聯(lián)的紐帶.

對三角形的研究思路整理可以知道，我們先從一般的三角形開始研究其性質(zhì)，了解其要素及相關(guān)要素，再研究這些要素及相關(guān)要素之間的關(guān)系，謂之性質(zhì)；然后再研究一些特殊的三角形，如等腰三角形，直角三角形，體現(xiàn)出從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想，在研究任何一種特殊的圖形中，我們都研究了其性質(zhì)及判定，并且性質(zhì)與判定之間呈現(xiàn)出一種互逆的關(guān)系，所以研究判定我們只要寫出性質(zhì)的逆命題加以證明即可，這點在勾股定理及其逆定理中加以明示，這些都是研究一個圖形的套路與方法.

而在平行四邊形中延續(xù)了這種思路與方法，如我們研究平行四邊形，再研究特殊的平行四邊形，即矩形，菱形，正方形，研究任何一種特殊的四邊形時，都研究其性質(zhì)與判定，且都遵循著這種互逆的方式.這體現(xiàn)了平面幾何研究的系統(tǒng)性與整體性.

本節(jié)課中，通過回顧整理三角形的研究歷程，發(fā)現(xiàn)研究圖形過程的共性，進而類比得出平行四邊形研究的思路與方法，通過類比舊知識的活動經(jīng)驗，得出研究圖形的思路與方法，整個過程，運用類比思想，學(xué)生完全自主構(gòu)建，教師做引導(dǎo)者和合作者.在最后的小結(jié)中，教師通過循循善誘，引導(dǎo)學(xué)生將邊，角分別進行特殊化，從而構(gòu)建出本章的知識體系，對提高學(xué)生系統(tǒng)地思考問題的能力起到很好的引導(dǎo)作用.

（二）推理是數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)之一

數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)，必須體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的無疑是數(shù)學(xué)的基本思想：抽象、推理和模型，這三種基本思想涵蓋了數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展.另外，數(shù)學(xué)的三大特征：高度的抽象性、邏輯的嚴謹性和廣泛的應(yīng)用性，與三種基本數(shù)學(xué)思想高度對應(yīng).因而，三大基本數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)發(fā)展歷程中起著關(guān)鍵的核心作用，在教學(xué)中應(yīng)時刻關(guān)注這三大核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展.

在本節(jié)課的教學(xué)中，對平行四邊形的性質(zhì)的研究，教師沒有采用以往通過“實驗、觀察、猜想、論證”的步驟進行，而是通過直接通過“觀察猜想，論證”兩個步驟得出其性質(zhì)，這是實現(xiàn)從“實驗幾何”到“論證幾何”的進步.在八年級上冊之前，學(xué)生對邏輯推理的經(jīng)驗還需要通過實驗幾何進行猜想，而此時，學(xué)生通過了大量邏輯推理訓(xùn)練，已經(jīng)具備論證推理的基礎(chǔ)，也可以說，平行四邊形的性質(zhì)的得出是實驗幾何與論證幾何的分界線，從此，學(xué)生基本告別實驗來推理，而進入論證推理的時代.同時，將論證幾何的方法進一步應(yīng)用到本章特殊的平行四邊形的研究中，多次的重復(fù)的鞏固應(yīng)用，將論證推理的思想方法進一步內(nèi)化，形成一種習(xí)慣，即是核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)所需要的.

（三）構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，整體設(shè)計教學(xué)

在整體教學(xué)、系統(tǒng)邏輯構(gòu)建的教學(xué)思想下，先引導(dǎo)學(xué)生立足整體內(nèi)容提出問題，規(guī)劃研究的思路和方法，制訂研究計劃，然后，完成研究內(nèi)容.在這種整體邏輯構(gòu)建的教學(xué)設(shè)計中，是先有整體視野，聚焦數(shù)學(xué)觀念和思想方法，再根據(jù)需要對各種子問題進行研究，可以給學(xué)生宏觀的數(shù)學(xué)視野，在見森林的基礎(chǔ)上再見樹木，這符合大腦信息加工的從整體到部分、從粗略到精細、從定性到定量的規(guī)律.

在平行四邊形的教學(xué)中，利用小結(jié)的契機，對平行四邊形的整章的內(nèi)容加以展望，利用系統(tǒng)性思維，對平行四邊形的兩大要素，即邊和角進行特殊化，再對邊角同時特殊化，得出今后研究的內(nèi)容與方向，初步形成了本章的知識框架，從而對本章的知識概貌有了初步的認識，這種認識對整體性了解本章知識起到了重要的作用，使得在以后的學(xué)習(xí)中有了方向，對平行四邊形整塊研究的內(nèi)容構(gòu)建了網(wǎng)絡(luò)，從而做到心中有數(shù).

整體把握知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，不僅能深化對每個部分的理解和應(yīng)用，而且還能從中提煉出數(shù)學(xué)思想，這樣的學(xué)習(xí)方式，不僅有助于掌握知識、技能和方法，提升學(xué)習(xí)效率，而且加深了數(shù)學(xué)中通性通法的認識，提升學(xué)生學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的水平，提升數(shù)學(xué)思維的能力.同時，也是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的必要舉措.

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