摘要：逆向思維是創(chuàng)新思維的特定表達(dá)方式，在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)鼓勵(lì)廣大學(xué)生針對(duì)相同數(shù)學(xué)問題從不同角度分析思考，本著求同存異，大膽革新科學(xué)態(tài)度，幫助學(xué)生應(yīng)用逆向思維分析和解決問題，加強(qiáng)他們解決疑難雜癥能力，有效克服個(gè)別學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知恐懼感，從而培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和求知精神。

關(guān)鍵詞：課堂教學(xué)；逆向思維；創(chuàng)新精神；有效訓(xùn)練

新課程改革已經(jīng)實(shí)施多年，學(xué)生逐步成為課堂教學(xué)主角，教師也慢慢變成課堂教學(xué)輔導(dǎo)員，但這種角色轉(zhuǎn)變反而對(duì)教師要求越來越苛刻、嚴(yán)格，如何更好培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，也成為擺在未來教育家面前研究課題，這就要求我們大膽創(chuàng)新，勇于實(shí)踐，積極轉(zhuǎn)變陳舊思維，廣泛汲取科學(xué)經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，以加強(qiáng)學(xué)生發(fā)散思維能力為著力點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生愛動(dòng)腦、善動(dòng)腦的好習(xí)慣，而逆向思維作為創(chuàng)新思維的特定表達(dá)方式，若能在課堂教學(xué)中應(yīng)用，必將提升學(xué)生接受水平，對(duì)教師構(gòu)建寬松、和諧、高效課堂也大有裨益。

一、 課堂教學(xué)實(shí)施逆向思維現(xiàn)狀

（一） 逆向思維研究的重要意義

所謂逆向思維，就是對(duì)一些俗語、成語或者公認(rèn)的定義、道理進(jìn)行反向推理，得出相反觀點(diǎn)。數(shù)學(xué)是鮮活的。而逆向思維作為數(shù)學(xué)催化劑，其特點(diǎn)主要體現(xiàn)在：分門別類進(jìn)行探索研究，當(dāng)某一想法停頓時(shí)，能夠準(zhǔn)確有效地通過歸納推理遷移到另一種思路上，逐步形成逆向思維，從而幫助和指導(dǎo)同學(xué)們更好感悟、理解數(shù)學(xué)本源問題，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（二） 阻礙學(xué)生逆向思維的表現(xiàn)

1. 缺乏顯而易見的逆向聯(lián)想

由于同學(xué)們?cè)谇髮W(xué)中，往往進(jìn)行大量的題海訓(xùn)練，忽視了逆向思維的發(fā)散，因而造成了片面的思維定式和不良的思考習(xí)慣。比如：“1，0，-1的立方根分別是”，學(xué)生回答非常輕松；但對(duì)“若一個(gè)實(shí)數(shù)的立方根是它本身，則這個(gè)數(shù)是”這一題，卻只有少數(shù)學(xué)生才能完全填對(duì)。像這些顯而易見的問題，在課堂教學(xué)中不勝枚舉，但學(xué)生解答起來卻很生疏。

2. 混淆重要定理的正逆關(guān)系

對(duì)于互逆數(shù)學(xué)命題，學(xué)生常把條件與結(jié)論搞混。比如在勾股定理逆定理的運(yùn)用中就有這樣一個(gè)問題：在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，那么△ABC是直角三角形嗎？學(xué)生運(yùn)用勾股定理，理由是因?yàn)锳C2+ BC2= AB2，所以52+122=132，所以△ABC是直角三角形。但我們通過仔細(xì)回想，其實(shí)已經(jīng)有“AC2+ BC2= AB2”，是直角三角形，還要“52+122=132”干什么呢？

3. 忽視正逆轉(zhuǎn)化的限制條件

我們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中，經(jīng)常遇到利用限制條件解決問題的典型例題，如：已知a=b，則|a|=|b|；但反過來由|a|=|b|推出“a=b”就不全面了，遺漏了另一種情況“a=-b”。特別遇到有關(guān)逆向思維練習(xí)和反向限制條件，學(xué)生更是無從下手，如：當(dāng)a時(shí)，|a-a2|=-2a；若（x-1）2=1-x，則x取值是等。

（三） 阻礙學(xué)生逆向思維的因素

從課堂表現(xiàn)看，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，多采用“構(gòu)造定理——推導(dǎo)定理——實(shí)際應(yīng)用”三段模式，忽視了逆向思維生成與發(fā)散，導(dǎo)致學(xué)生很難快速準(zhǔn)確調(diào)整到逆向思維的邏輯頻道上。

從思維邏輯看，從正向思維到逆向思維實(shí)質(zhì)上經(jīng)歷了將固有反向邏輯打散又重新拼接的過程。這種轉(zhuǎn)化容易給學(xué)生造成畏難情緒，所以兩種思維碰撞缺一不可。

從操作內(nèi)容看，因?yàn)橹袑W(xué)生邏輯思維正處于螺旋上升期，所以學(xué)生在解決問題時(shí)往往束手束腳；記憶和模仿還是主流，容易形成思維定勢(shì)，難以自拔和修正。

二、 如何在課堂教學(xué)中實(shí)施逆向思維訓(xùn)練

研究表明，中學(xué)生在思維發(fā)展中表現(xiàn)出的能力、態(tài)度有明顯差異。能力較強(qiáng)的學(xué)生，可以通過自我創(chuàng)新和獨(dú)立探究逐漸形成逆向思維；能力適中的學(xué)生，形成逆向思維需要借助教師點(diǎn)撥；能力稍差的學(xué)生，形成逆向思維難度很大，對(duì)于這些學(xué)生還是應(yīng)當(dāng)將主要精力放在基礎(chǔ)知識(shí)上，抓住基本定義、定理，待鞏固后，教師再引導(dǎo)這部分學(xué)生進(jìn)行有針對(duì)性的專項(xiàng)訓(xùn)練，從而逐步地接受。那么，如何更好更快實(shí)施逆向思維訓(xùn)練呢？

（一） 定義教學(xué)中的逆向思維訓(xùn)練

數(shù)學(xué)命題逆命題常存在且為真。因此，學(xué)習(xí)一個(gè)基本概念，如果從逆向思維角度發(fā)散，學(xué)生不僅對(duì)概念理解得清楚直觀，而且能夠激發(fā)他們利用不同角度解決問題。如：在立體幾何講授中，應(yīng)用逆向思維能夠使學(xué)生對(duì)涉及空間想象能力的邏輯思維有更深刻的了解。需要強(qiáng)調(diào)的是，教師雖反復(fù)強(qiáng)調(diào)某定理的逆命題不一定成立，但操作中如不強(qiáng)調(diào)可逆性，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)定義的使用含糊不清且雜亂無章，代數(shù)問題同樣如此，又如：已知1m2+1m-1=0，n4+n2-1=0，且1m≠n2，求mn2+1m的值。按照常規(guī)做法，同學(xué)們計(jì)算易得1m2+1m-1=0，（n2）2+n2-1=0，且1m≠n2，但若反向思考，可聯(lián)想到方程x2+x-1=0，1m、n2恰為方程兩不等實(shí)根，從而根據(jù)韋達(dá)定理知1m+n2=-1，即：原式=-1。

（二） 公式教學(xué)中的逆向思維訓(xùn)練

許多數(shù)學(xué)公式在不同領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用，然而很多學(xué)生對(duì)公式的理解尚且停留在表層上，對(duì)逆用，尤其是利用公式反向推理還很生疏。如果教師能夠有效指導(dǎo)學(xué)生靈活逆用公式，那么他們?cè)诮忸}時(shí)就能左右逢源，手到擒來，這里我強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：第一、要特別關(guān)注公式的“組合”與“拆分”。如：a=（a）2，x-y=（x+y）（x-y），a2=|a|，（a±b）2=a2±2ab+b2等；第二、把逆用公式作為化簡、計(jì)算、代入、求值的必備良藥。如：已知a+b=1，求a3+3ab+b3的值。根據(jù)a+b=1，只需逆用立方和、完全平方公式，就得a3+3ab+b3=（a+b）（a2-ab+b2）+3ab=a2-ab+b2+3ab=（a+b）2=1。又如：計(jì)算1-1221-1321-142…1-1200421-120052。顯然，直接相乘并非明智之舉，根據(jù)各因式特點(diǎn)，將平方差公式逆用就可化難為易。原式=1-121+121-131+131-141+14…1-120041+120041-120051+12005=12×32×23×43×34×54×…×20032004×20052004×20042005×20062005=12×20062005=10032005。

（三） 運(yùn)算律和運(yùn)算法則中逆向思維應(yīng)用

將逆向思維應(yīng)用到同級(jí)運(yùn)算，可以逐步形成互惠互利、相輔相成良性循環(huán)，如：利用相反數(shù)變減為加。特別在乘方運(yùn)算中，這樣的例子更是數(shù)不勝數(shù)，如：已知xm=3，xn=7，求x3m-2n值。本題只需將同底數(shù)相除法則逆用便可得出結(jié)論，把原式轉(zhuǎn)化為=x3m÷x2n=（xm）3÷（xn）2=33÷72=2749。又如：已知a=355，b=444，c=533，比較a、b、c大小。通過應(yīng)用逆向思維，原式可轉(zhuǎn)化為a=（35）11=24311，b=（44）11=25611，c=（53）11=12511，因?yàn)?25<243<256。所以c

（四） 定理教學(xué)中的逆向思維訓(xùn)練

教師需要在平時(shí)教學(xué)中不斷滲透、引導(dǎo)學(xué)生探究原定理及逆命題真假，這對(duì)學(xué)生自信心建立和興趣激發(fā)大有裨益。在教學(xué)中我遇到過類似數(shù)學(xué)問題，如設(shè)a、b、c滿足a2-bc-8a+7=0b2+c2+bc-6a+6=0，求a的取值范圍。本題初看無從下手，不過我們可逐步將原方程組變形得到b+c=±（a-1）bc=a2-8a+7， 再根據(jù)韋達(dá)定理逆定理，可知b、c為一元二次方程x2（a-1）x+a2-8a+7=0兩根，所以Δ=（a-1）2-4（a2-8a+7）=-3（a-1）（a-9）≥0，即1≤a≤9。

三、 逆向思維在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中施行辦法

許多同學(xué)在解題過程中，常會(huì)遇到種種困惑，正面突破沒有思路、無從下手，若從反向切入，往往會(huì)出現(xiàn)新的轉(zhuǎn)機(jī)。實(shí)施逆向思維訓(xùn)練常采用以下兩種策略：

（一） “正”難則“反”

反證法是演繹推理和逆向思維代表，是“數(shù)學(xué)家常備武器”。若條件中出現(xiàn)“至少”或“至多”等邏輯聯(lián)結(jié)詞，或以否定形式給出，可用反證法，如：三個(gè)方程x2+4mx-4m+3=0，x2+（m-1）x+m2=0，x2+2mx-2m=0中至少一個(gè)方程有實(shí)根，求m的取值范圍。若從正面入手，情況繁雜，需要逐一討論。如果應(yīng)用逆向思維，從反面假設(shè)“三個(gè)方程都無實(shí)數(shù)根”，再從全體實(shí)根中排除反面求得結(jié)論，便能輕松解決。假設(shè)三個(gè)方程均無實(shí)根，則16m2-4（-4m+3）<0（m-1）2-4m2<04m2+8m<0，即：-3213或m<-1-20，得-3-2。

（二） 以“退”為“進(jìn)”

同學(xué)們往往想不到，將整式方程通過逆向思維訓(xùn)練轉(zhuǎn)化成分式方程求解，也會(huì)產(chǎn)生出其不意的效果。如：解方程x4+x3-6x2-2x+4=0，其計(jì)算過程相當(dāng)繁瑣。若兩邊同除x2，“退”至分式方程，以“退”為“進(jìn)”，便迎刃而解。顯然x≠0，方程兩邊同除x2，得x2+x-6-2x+4x2=0，x2+4x2+x-2x-6=0，x-2x2+x-2x-2=0。所以x1=-1+3，x2=-1-3，x3=2，x4=-1。又如：探究5-32和3-63大小關(guān)系。通用解法是將分母有理化，但本題若將分子有理化，則更簡潔直觀、一目了然。因?yàn)?-32=15+3，3-63=13+6，所以5-32>3-63。

（三） 正反互換

逆向思維的獨(dú)特之處在于其創(chuàng)造性，我們?cè)倥e兩個(gè)互換正反條件的實(shí)例，如：方程x3-ax2-2ax+a2-1=0有且只有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。通用解法，取x為主元，再對(duì)a進(jìn)行分類討論，計(jì)算量可想而知，本題若設(shè)a為主元，會(huì)起到反客為主、立竿見影效果，原方程轉(zhuǎn)化為a2-（x2+2x）a+x3-1=0，[a-（x-1）][a-（x2+x+1）]=0，解得x=a+1或x2+x+1-a=0，因?yàn)樵匠逃星抑挥幸粋€(gè)實(shí)根，所以方程x2+x+1-a=0無實(shí)根，通過Δ=1-4（1-a）<0，得到a<34。又如：方程a2x2-（3a2-8a）x+2a2-13a+15=0（a為非負(fù)整數(shù)），至少有一個(gè)整數(shù)根，則a=。原方程結(jié)構(gòu)復(fù)雜，若反向思考，設(shè)a為主元，分類討論，將原方程變形為（x2-3x+2）a2+（8x-13）a+15=0?？傻肹（x-2）a+3][（x-1）a+5]=0，a=-3x-2或a=-5x-1，因?yàn)閍為非負(fù)整數(shù)，x為整數(shù)根，所以當(dāng)x=0時(shí)，a=5；當(dāng)x=-4或x=-1時(shí)，a=1；當(dāng)x=1時(shí)，a=3。

四、 逆向思維訓(xùn)練的注意事項(xiàng)

逆向思維從建立、到培養(yǎng)、最終形成應(yīng)始終遵循實(shí)事求是的科學(xué)原則。在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)側(cè)重培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的速度和深度，杜絕填鴨式灌輸，不做無用功。教師應(yīng)努力做到以下四點(diǎn)：首先，必須具備大量知識(shí)儲(chǔ)備和大膽創(chuàng)新意識(shí)；其次，要注意類比、演繹、歸納等邏輯推理的培養(yǎng)，播種良好習(xí)慣；再次，鼓勵(lì)有條件的學(xué)校針對(duì)基礎(chǔ)較好的學(xué)生進(jìn)行變式教學(xué)；最后，量力而行，通過調(diào)研反饋考查學(xué)生對(duì)逆向思維訓(xùn)練的接受程度和認(rèn)知水平，不可操之過急，更不能喧賓奪主。教師應(yīng)鼓勵(lì)并引領(lǐng)學(xué)生創(chuàng)新解題技巧，開拓解題思路，回歸數(shù)學(xué)本源，落實(shí)核心素養(yǎng)，構(gòu)建高效課堂，學(xué)生學(xué)有所得、學(xué)有所成，讓逆向思維種子在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂上萌芽、開花、結(jié)果。

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作者簡介：

吳滌，天津市，天津市小站第一中學(xué)。