張瑞

摘? 要：《數(shù)值分析》是高等學校理工類碩士研究生的一門非常重要的數(shù)學基礎課，旨在培養(yǎng)學生利用科學與工程計算這一手段來解決實際問題的能力。在全民創(chuàng)新的大環(huán)境下，當今研究生教育改革面臨一個亟待解決的問題，那就是如何培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神的高素質工程技術人才。近幾年作者為理工類研究生開設《數(shù)值分析》課程，教學過程中開展了“問題解決”教學改革實踐，實踐證明，“問題解決”教學是教與學相互統(tǒng)一的過程，通過“問題解決”教學，可以大大提高學生的學習興趣，激發(fā)他們的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造力，為培養(yǎng)高素質創(chuàng)新型應用型人才打好基礎。

關鍵詞：數(shù)值分析;問題解決教學;傳統(tǒng)教學;教學改革與實踐

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2018）24-0127-03

Abstract： Numerical Analysis is a very important mathematics foundation course for graduate students of science and engineering in colleges and universities. It aims to cultivate students' ability to use scientific and engineering calculations to solve practical problems. Under the general environment of innovation for all， the reform of postgraduate education today faces an urgent problem to be solved， that is， how to cultivate high-quality engineering and technical talents with innovative spirit. In recent years， the author has opened the "Numerical Analysis" course for science and engineering graduate students. In the process of teaching， the "problem solving" teaching reform practice has been carried out. Practice has proved that the "problem solving" teaching is a process of unification of teaching and learning， through "problem solving". Teaching can greatly enhance students' interest in learning， stimulate their innovative spirit and creativity， and lay a solid foundation for cultivating high-quality innovative application-oriented talents.

Keywords： numerical analysis; problem-solving teaching; traditional teaching; teaching reform and practice

傳統(tǒng)的應試教育已走過了幾十年，其本身的弊端也隨時代的變遷而日益凸顯，改革的呼聲此起彼伏。傳統(tǒng)的應試教育將考試分數(shù)看作是唯一的學習成果， 難以培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神的高素質工程技術人才。在全民創(chuàng)新的今天，改革傳統(tǒng)的應試教育已成為歷史的必然。在這種情形下，以“問題解決”為導向的教學方法應運而生，越來越受到人們的廣泛青睞。

相比傳統(tǒng)課堂教學，“問題解決”教學的基本模式是教師設置問題情境，學生在老師的指導下，通過以自主、探究、合作為特征的學習方式開展學習活動。具體地說，就是在教學過程中，模擬科學研究的過程，依循“問題-解決問題-驗證”的流程，通過課堂上以及課外活動中展開自主學習、深入探究、討論交流，對學生進行科學研究能力的訓練。

數(shù)學是科學之母，科學技術離不開數(shù)學，它通過建立數(shù)學模型與數(shù)學產生緊密聯(lián)系，數(shù)學又以各種形式應用于科學技術領域。數(shù)值分析也稱計算數(shù)學，是數(shù)學科學的一個重要分支，它研究用計算機求解各種數(shù)學問題的數(shù)值計算方法及其理論與軟件實現(xiàn)。隨著近年來高等研究生教育改革的全面推進，大家圍繞如何提高教學質量、完善課程體系、豐富教學內容上開展了大量卓有成效的工作，特別在基礎課“數(shù)值分析”方面[1-16]。但是從培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神的高素質工程技術人才來看，還是有較大的差距。以數(shù)值分析教學為例，目前的現(xiàn)狀與問題是：1.教學模式是以傳統(tǒng)的教學模式為主，唯分數(shù)論，忽視了對學生創(chuàng)新精神的開發(fā)。2.學生的學習主動性不強，被動地參與學習，影響了學習效果。為了解決這些問題，我們對教學方法進行了改革，以“問題解決”為導向，旨在探索一種以分析問題、解決問題、教與學互動的教學模式。通過探究各種經過設計的與數(shù)值分析密切相關的研究問題，引導學生深入思考，提高學生分析問題、解決問題的能力，打好理工科研究生的數(shù)學基礎。

一、數(shù)值分析的“問題解決”教學法具體實施

2015-2017年連續(xù)三年，筆者分別為山東理工大學工科類研究生開設了數(shù)值分析這門課程，每年一個教學大班，約130人，授課學時48學時。教學過程中我們進行了“問題解決”教學改革試點。由于是大班授課，加上授課學時少，授課內容又多，對教學改革試點帶來了很大的麻煩，有一些比較好的想法沒法得到實施，只能根據(jù)實際情況加以調整，一定程度上影響了改革試點的效果。整體教學安排是，在開始階段，向學生簡單介紹即將開展的“問題解決”教學法的基本要求。授課過程中，根據(jù)實際情況，有時是課前給學生提出問題，給他們留出20-30分鐘時間去討論，前后左右的同學都可以在一起討論，因為學生沒有固定的座位，所以沒有安排固定的分組，然后讓幾個學生代表對討論的結果進行闡述，有好的想法及時進行鼓勵表揚。有時，在每次課程結束前給學生留出下一次課的問題，讓學生在課余時間去查資料，也可以討論解決提出的問題;下一次課上課時對上一次提出的問題，隨機抽取幾人回答解決辦法，最后根據(jù)學生回答的情況，對所提出的問題，加以詳細系統(tǒng)的闡述，重點闡述將所研究問題的實際背景如何升華為數(shù)學問題，再如何通過引入數(shù)學概念，建立數(shù)學理論與方法，又反過來指導實際問題的解決。

開展“問題解決”教學方法改革的關鍵環(huán)節(jié)是設計和選擇各類數(shù)值計算方法的“問題”，設置各種各樣的問題情境，由于課時的限制，對數(shù)值分析這門課，僅限于介紹科學與工程計算中最常用的基本數(shù)值計算方法，包括插值與逼近、線性方程組與非線性方程求根、數(shù)值積分與常微分方程數(shù)值解法等，問題的提出，就是基于這幾方面展開。

第一組問題：插值與逼近的方法。研究問題：1. 多項式插值的存在性與唯一性的問題;2. 拉格朗日插值方法以及余項問題;3. 根據(jù)拉格朗日插值的優(yōu)點及缺陷，提出如何改進缺陷的問題，這就產生了牛頓插值;4. 根據(jù)龍格現(xiàn)象，提出低階插值問題;5. 對于工程上對導數(shù)的更高要求，提出了艾爾米特插值和樣條理論;6. 基于插值理論在某些應用方面的不足，提出了數(shù)據(jù)擬合的問題，相應產生最有代表性算法：最小二乘法;7. 最小二乘法是解決離散數(shù)據(jù)的擬合問題，但對于連續(xù)函數(shù)，它并不適應，由此提出函數(shù)的最佳平方逼近問題。

第二組問題：線性方程組的數(shù)值解法及非線性方程根的數(shù)值解法。研究問題：1.根據(jù)學生在本科階段學到的線性方程組的消元法，提出了數(shù)值求解線性方程組的高斯消元法和主元素消元法;2.根據(jù)矩陣分解理論，提出三角分解法、平方根方法;3.根據(jù)方程組的特點，提出迭代法的思想，并進一步提出雅克比迭代、高斯-賽德爾迭代、松弛法迭代;4.根據(jù)學生在本科數(shù)學課上學到的根的存在定理，提出數(shù)值求解方法：包括迭代法、牛頓法等。

第三組問題：數(shù)值積分與常微分方程數(shù)值解法。研究問題：1. 對于學生在本科階段學到的積分學存在的實際問題：函數(shù)雖然可積，但原函數(shù)無法用初等函數(shù)表示，所以也就無法計算積分，根據(jù)這一實際問題，提出數(shù)值解法的問題，結合插值理論，自然地引入牛頓-柯特斯求積公式、復化求積公式、龍貝格求積公式;2. 依據(jù)正交多項式理論，提出高斯求積公式;3. 對常微分方程，依據(jù)導數(shù)定義，提出數(shù)值求解方法：歐拉方法，改進的歐拉方法;4. 利用泰勒公式，提出龍格-庫塔方法。

我們在上述題目設計中，盡量考慮研一學生的知識結構，結合本科階段所學的數(shù)學知識點，比如線性代數(shù)中的線性方程組的解法、高等數(shù)學中的零點定理、中值定理、積分學中的牛頓萊布尼茲定理等。對于理論問題的推證方面，盡量用他們學到的數(shù)學知識，這樣學生在接受方面就不會很吃力，既復習了在本科階段學到的數(shù)學知識，又鍛煉了他們運用數(shù)學知識進行推理的能力，提高了他們對這門課的學習興趣。

二、“問題解決”教學實踐對學生產生的影響

“問題解決”教學方法產生了什么效果？給學生帶來了哪些變化？通過學生反饋、問卷調研以及學生的考試成績等幾個方面，總結有以下幾點：

（一）加深了學生對所學知識的理解，提高了學生分析問題和解決實際問題的能力

“問題解決”教學十分注重學生的主體性、主動性、自主性的發(fā)揮，注重引導學生通過問題的分析、推導，運用概念與理論較好地解決實際問題，在這個過程中學生要學會收集各方面的資料和信息，學會對已有的資料做多方面的分析，可促使學生的思維不斷深化，并在力圖對一個問題尋找多種解決方案的過程中培養(yǎng)和形成創(chuàng)造性思維。

（二）“問題解決”教學有利于促使學生學會學習

學會學習是創(chuàng)新型社會對人們能力的基本要求。在“問題解決”教學中教師通過有意識的引導，讓學生自己去查資料，通過個體或群體合作的方式做出分析和判斷，積極尋求答案，這樣經過反復多次的積淀后，就會獲得自主學習的方法，使學會學習成為現(xiàn)實。

（三）“問題解決”教學有利于促使學生學會溝通與合作

教學過程中，通常要經過小組、大組合作的思維撞擊，在合作中互相溝通，在溝通中增進合作，在這個過程中教會學生相互溝通、尊重他人、關心他人，同時也增強了說服別人以及聆聽他人的能力。

（四）在教學改革試點中，基于網(wǎng)絡的自主學習成為學生們的一種很重要的學習方式

近年來網(wǎng)絡的迅猛發(fā)展，為教與學方式的變革創(chuàng)造了條件，學生們通過網(wǎng)絡可以進行信息搜索與處理。我們因勢利導，將網(wǎng)絡學習與資料查詢作為“問題解決”教學改革的必要手段，學生通過網(wǎng)絡了解所研究問題的應用背景，知道如何將其升華為數(shù)學問題，通過引入數(shù)學概念，建立數(shù)學理論與方法，又反過來指導實際問題的解決。

三、“問題解決”教學法在研究生數(shù)學基礎課教學實踐的幾點思考

通過近三年的“問題解決”教學法改革實踐，我們對數(shù)值分析這門數(shù)學基礎課的教學改革有了一定的認識，也引起了我們更深入的理性思考。原來改革的初衷在于啟發(fā)學生學習的興趣，希望學生從聽課、做習題、復習考試這一典型學習流程，過渡到學生參入到教與學的進程，通過學生與老師一起對數(shù)值分析這門課各種問題的解決，深化學生對所學知識的理解，激發(fā)他們學習這門課的積極性，打下堅實的數(shù)學基礎，為將來做科學研究做好必要的數(shù)學知識儲備。三年的教學實踐，讓我們感覺有必要從教與學的角度重新審視這一過程。

（一）“教”與“學”有了一些明顯的變化

以往老師在教學過程中，特別是基礎數(shù)學課的教學過程中，往往只重視“教”這一環(huán)節(jié)，而忽視了“學”這一環(huán)節(jié)，將“學”這一環(huán)節(jié)就簡單的理解成學生聽課、做作業(yè)、復習、考試，當然這與課時少、教學內容多也有一定關系，但不是根本的問題，根本的問題在于大家已“習慣”了這種傳統(tǒng)的教學模式，在這種教學模式下，學生不能積極主動的參入到“教學”這一環(huán)節(jié)中來，只是被動的接受知識，很多人會感覺數(shù)學枯燥乏味，學習數(shù)學沒有什么用處，也就不能激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。

通過幾年的“問題解決”教學實踐，學生在“學”這一環(huán)節(jié)上有了一些新的變化，他們由開始的傳統(tǒng)學習習慣，慢慢學會了基于“問題”自主進行學習，學會了思考和數(shù)學推理，學會了同學之間的溝通與合作，知道了合作的重要性，也加深了對所學內容的理解，比如說插值理論，有其實際應用背景，如何解決實際問題，提出了各種各樣的解決方法：拉爾朗日插值、牛頓插值、低階插值、艾爾米特插值、三次樣條等等，但每一種解決方法都不是萬能的，都有其一定的優(yōu)勢和局限性，如何熟練的運用這些方法解決實際問題，就要具體問題具體分析，作出合理的決策。

當然，“問題解決”教學法成倍的增加了教師的工作量，需要教師具有奉獻精神，熱愛教學、舍得投入精力研究教學。課堂教學質量的好壞是“問題解決”教學法是否成功的關鍵，教師要重視課堂教學的啟發(fā)式教學方式，通過提出問題，引導學生思考，培養(yǎng)學生運用學到的數(shù)學知識分析和解決問題，在習題課討論中，精選一些綜合的題目，讓學生充分討論，做到舉一反三的目的。

（二）提高了學生的綜合素質

“問題解決”教學法激發(fā)了學生的內在學習動力，當學生們?yōu)橐粋€研究問題所吸引或所困擾的時候，就會多方尋覓解決問題的辦法，學生投入的學習時間成倍于以往的課后做習題的時間，正是這種全身心的學習投入，研讀思辨，用研究探尋的科學態(tài)度來學習，幫助學生最終抓住解決問題之道。在這一“問題解決”教學法的過程之中，學生利用網(wǎng)絡自主學習，提高了學習興趣，拓展了學生視野，學生們在思與辨的過程中深化了研究內容。這種基于問題的學習已經超越了以往學生課外“自學”的內涵，教學與素質培養(yǎng)實現(xiàn)了該課程范圍內一種無聲的統(tǒng)一。

（三）遇到的問題與不足

雖然課程的教學改革取得了一定的成功，但也遇到了一些新問題與困難。從幾年的實踐來看，有以下幾個問題需要加以解決。1. 沒有比較合適的教材，開始我們選用清華大學李慶陽等編著的《數(shù)值分析》，該教材理論性偏強，課后練習基本以證明為主，學生學習難度頗大，不太適合工科類研究生，后來又選用了北京理工大學丁麗娟等編著的《數(shù)值計算方法》，該教材難易程度上比較適合作為工科類研究生教材。上述兩種教材都缺少實際應用背景，僅僅介紹了相應的理論與方法，這可能是數(shù)學教材普遍存在的問題;2. 學時太少，教授內容又偏多，既要把內容講授完，還要在課堂上充分調動學生的主動學習熱情，一定程度上限制了教師與學生互動的發(fā)揮;3. 課上討論或課后討論上，部分學生不積極參與，敷衍了事，沒有行之有效的辦法去約束他們;4. 考試方面，還是傳統(tǒng)的考試方式，對于學生自主學習與討論的效果沒有考慮進去，因為這方面確實不好量化，學校也沒有相應的政策;5. 采用大班上課，一個班130余人，分組討論十分不便，也不是每一個小組都能發(fā)表意見，由于時間的限制，僅有個別小組的代表發(fā)言，這在調動大家的積極性方面受到一定影響;6. 我校教師教學與科研壓力較大，投入到教學改革方面的時間相對偏少，一定程度上會影響到教學質量。

以上是我們從近幾年對研一理工類研究生開設《數(shù)值分析》的教學設計與教學心得。將“問題解決”教學方法應用于研究生的數(shù)值分析課中，有成功的經驗，也有待進一步提高之處，需要進一步總結。下一步還要進一步完善、豐富問題庫，這是一個更重要的、更基礎性的工作，也是“問題解決”教學成敗的關鍵。

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