王友林

【摘 要】 數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、分析和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造性思維方式。教學(xué)不能局限于一個(gè)狹窄領(lǐng)域，重要的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用課本知識和思考問題的方法，依靠課本例習(xí)題“窺一斑至全貌”，“舉一例能反三”。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)；創(chuàng)造思維；習(xí)題設(shè)計(jì)

原題：人教版初中數(shù)學(xué)八年級教材《習(xí)題12.3》拓廣探索中的一道題（第52面第7題）

如圖，∠B=∠C=90°，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC.

求證：AE平分∠DAB.

背景分析：本節(jié)教學(xué)內(nèi)容是在學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)了三角形全等的性質(zhì)和判定方法后，應(yīng)用三角形全等的知識來探究角平分線的性質(zhì)和判定.

而這道習(xí)題作用正是為了強(qiáng)化學(xué)生掌握角平分線的性質(zhì)和判定方法，并在一定的問題情景（例如：題中有角的平分線上的點(diǎn)到某一邊的距離的表述或圖形信息）中綜合應(yīng)用.

改編的基點(diǎn)：因?yàn)楸竟?jié)內(nèi)容是全章《全等三角形》知識結(jié)構(gòu)中的最后一個(gè)環(huán)節(jié)，既是本章的重點(diǎn)三角形全等的性質(zhì)和判定方法的應(yīng)用，也是該內(nèi)容的延伸與拓展.用好教材但不拘泥于教材，在了解了本章知識的全貌后，將指向比較單一的習(xí)題作結(jié)構(gòu)上的改編，一方面讓學(xué)生對知識的理解更全面，另一方面開闊學(xué)生的思維，積累對某一類問題的解題經(jīng)驗(yàn).

改編：原題中“∠B=∠C=90°”的條件一是為了得到“DC∥AB”，二是為了突出“點(diǎn)到邊的距離”. 把此條件弱化為“DC∥AB”的基礎(chǔ)上作下列改編：

如圖：

①DC∥AB，

②E是BC的中點(diǎn)，

③DE平分∠ADC，

④AE平分∠DAB，

⑤AE⊥DE，

⑥D(zhuǎn)C+AB=AD.

從這6個(gè)關(guān)系式中任選3個(gè)關(guān)系式作為已知條件，推出剩下的3個(gè)關(guān)系式作為結(jié)論，那么正確的結(jié)論有哪些？不正確的結(jié)論是哪些？

一、基于學(xué)生組合思維的設(shè)計(jì)

學(xué)生從這6個(gè)關(guān)系式中任取3個(gè)關(guān)系式，學(xué)生大都會(huì)選幾種情況，但往往不全面，不完備，不完整，在選取時(shí)缺少系統(tǒng)性和規(guī)律性，我們采用窮盡到底的方法，即按照一定的規(guī)律把某一種可能全部列舉出來，再按照一定的方向把剩下的可能都一一組合出來.比如：

①②③，①②④，①②⑤，①②⑥，①③④，①③⑤，①③⑥……，

②③④，②③⑤，②③⑥……④⑤⑥.通過這樣的訓(xùn)練，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性和完備性. 學(xué)生訓(xùn)練也是高效的.

二、基于學(xué)生構(gòu)造思維的設(shè)計(jì)

我們不妨證明①②③？陴④⑤⑥這個(gè)數(shù)學(xué)命題：

條件：①DC∥AB，

②E是BC的中點(diǎn)，

③DE平分∠ADC.

結(jié)論：④AE平分∠DAB，

⑤AE⊥DE，

⑥D(zhuǎn)C+AB=AD.

分析方法：綜合法. 讀條件，得結(jié)論，從問題入手.

分析（1）：從問題開始，要證明AE平分∠DAB？陴∠DAE=∠BAE？陴證明所在的兩個(gè)三角形全等？陴所在兩個(gè)三角形不全等？陴構(gòu)造全等三角形？陴證明角相等.

分析（2）：要證DC+AB=AD？陴證明不在同一條直線上的兩條線段和等于第三條線段？陴轉(zhuǎn)移到同一條直線上？陴構(gòu)造全等三角形或等腰三角形？陴證明邊相等.

證明：嘗試截長法：

如圖，在AD上截取DF=DC，連接EF

則在△ECD與△EFD中

∵DF=DC，∠FDE=∠CDE，DC為共同邊

∴△ECD≌△EFD（SAS）

∴∠C=∠EFD，EC=EF（全等△對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等）

∵E為BC的中點(diǎn)

∴CE=BE，又EC=EF

∴EF=BE ①

∵DC∥AB

∴∠C+∠B=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

又∵∠DFE+∠AFE=180°

∴∠B=∠AFE（等角的補(bǔ)角相等）②

又∵AE為共同邊③

然而由①②③無法證明△AEF和△AEB全等的，故用截長法證明是失敗的.

證明：嘗試補(bǔ)短法：

如圖，延長DE交AB的延長線于F，

∵DC∥AB

∴∠C=∠EBF，∠CDE=∠F

∵E為BC的中點(diǎn)

∴CE=BE，

在△DCE與△FBE中

∠C=EBF，∠CDE=∠F，CE=BE

∴△DCE≌△FBE（AAS）

∴DC=BF DE=EF（全等三角形對應(yīng)邊相等）

又∵DE平分∠ADC

∴∠ADE=∠CDE

又∵∠F=∠CDE

∴∠ADE=∠F

∴AD=AF，即AD=AB+BF=AB+CD⑥

又∵DE=EF

∴AE⊥DE④

AE平分∠DAB⑤

（等腰三角形三線合一性質(zhì)）.

反思：

（1）用截長法證明此題時(shí)，是以△ABE為模板構(gòu)造與之全等的三角形是失敗的，看似無效勞動(dòng)，但我們在思考時(shí)，卻是一種有效的選擇，沒有這個(gè)失敗，就沒有后續(xù)的校正思考.

（2）用補(bǔ)短法證明此題時(shí)，是以△DAE為模板構(gòu)造與之全等的三角形是可行的，一方面說明選擇哪一個(gè)三角形來構(gòu)造全等三角形很重要，另一方面說明截長法和補(bǔ)短法是想通的.

（3）證兩邊或兩角相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，當(dāng)證明的邊或角所在的兩個(gè)三角形不全等時(shí)，一般就要構(gòu)造全等的三角形或等腰三角形來轉(zhuǎn)化.

三、基于學(xué)生建模思維的設(shè)計(jì)

本題的條件和結(jié)論的不同組合形式共有20余種，但證明的主要思路還是截長補(bǔ)短法. 其作輔助線方法有（1）作平行線，（2）截取，（3）延長，（4）延長加倍等作法。其中只能用截長法證明但不能用補(bǔ)短法證明，如②③⑥？陴①④⑤；能用補(bǔ)短法證明但不能用截長法證明，如①②③？陴④⑤⑥；既能用截長法證明又能用補(bǔ)短法證明，如①③④？陴②⑤⑥；既不能用截長法證明又不能用補(bǔ)短法證明有5種，即①⑤⑥？陴②③④，②③④？陴①⑤⑥，②⑤⑥？陴①③④，③⑤⑥？陴①②④，④⑤⑥？陴①②③事實(shí)上在所有組合中只有這5種組合是假命題.

數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、分析和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造性思維方式.我們的教學(xué)不能局限于一個(gè)狹窄領(lǐng)域，理解課本固然重要，更重要的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用課本知識和思考問題的方法，依靠課本例習(xí)題“窺一斑至全貌”，“舉一例能反三”.作為數(shù)學(xué)老師要善于領(lǐng)會(huì)和研究課本例習(xí)題，以課本題為綱，或改變命題的題設(shè)討論結(jié)論的變化以否；或保持命題的題設(shè)不變討論其他形式的結(jié)論成立以否；或交換命題的題設(shè)與結(jié)論討論命題真?zhèn)蔚鹊龋ㄟ^例習(xí)題的變式教學(xué)一方面促進(jìn)學(xué)生對知識的更深入的理解，掌握解決一類問題基本套路；另一方面拓寬學(xué)生的思維，提升學(xué)生的能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1] 陳愛蘭. 巧設(shè)“開放”式習(xí)題培養(yǎng)思維創(chuàng)造性——淺析小學(xué)數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)設(shè)計(jì)[J]. 新課程（上旬），2017（6）.

[2] 崔杰. 創(chuàng)造性設(shè)計(jì)練習(xí)題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)[J]. 新課程（中），2017（3）.